MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smadiadetlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smadiadetlem2 22488
Description: Lemma 2 for smadiadet 22494: The summands of the Leibniz' formula vanish for all permutations fixing the index of the row containing the 0's and the 1 to itself. (Contributed by AV, 31-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
marep01ma.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
marep01ma.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
marep01ma.r ๐‘… โˆˆ CRing
marep01ma.0 0 = (0gโ€˜๐‘…)
marep01ma.1 1 = (1rโ€˜๐‘…)
smadiadetlem.p ๐‘ƒ = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
smadiadetlem.g ๐บ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
madetminlem.y ๐‘Œ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
madetminlem.s ๐‘† = (pmSgnโ€˜๐‘)
madetminlem.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
smadiadetlem2 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘žโ€˜๐พ) = ๐พ}) โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐บ ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘›(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, 1 , 0 ), (๐‘–๐‘€๐‘—)))(๐‘โ€˜๐‘›))))))) = 0 )
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐‘—,๐‘›,๐ต   ๐‘–,๐‘ž,๐พ,๐‘—,๐‘›   ๐‘–,๐‘€,๐‘—,๐‘›   ๐‘–,๐‘,๐‘—,๐‘›   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘—,๐‘›,๐‘ž   ๐‘…,๐‘–,๐‘—,๐‘›   1 ,๐‘–,๐‘—,๐‘›   0 ,๐‘–,๐‘—,๐‘›   ๐‘›,๐บ   ๐‘›,๐‘,๐ต   ๐พ,๐‘   ๐‘€,๐‘   ๐‘,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘   ๐‘…,๐‘,๐‘–,๐‘—   ๐‘ž,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–,๐‘—,๐‘›,๐‘ž,๐‘)   ๐ต(๐‘ž)   ๐‘…(๐‘ž)   ๐‘†(๐‘–,๐‘—,๐‘›,๐‘ž,๐‘)   ยท (๐‘–,๐‘—,๐‘›,๐‘ž,๐‘)   1 (๐‘ž,๐‘)   ๐บ(๐‘–,๐‘—,๐‘ž,๐‘)   ๐‘€(๐‘ž)   ๐‘(๐‘ž)   ๐‘Œ(๐‘–,๐‘—,๐‘›,๐‘ž,๐‘)   0 (๐‘ž,๐‘)

Proof of Theorem smadiadetlem2
StepHypRef Expression
1 marep01ma.a . . 3 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
2 marep01ma.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
3 marep01ma.r . . 3 ๐‘… โˆˆ CRing
4 marep01ma.0 . . 3 0 = (0gโ€˜๐‘…)
5 marep01ma.1 . . 3 1 = (1rโ€˜๐‘…)
6 smadiadetlem.p . . 3 ๐‘ƒ = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
7 smadiadetlem.g . . 3 ๐บ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
8 madetminlem.y . . 3 ๐‘Œ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
9 madetminlem.s . . 3 ๐‘† = (pmSgnโ€˜๐‘)
10 madetminlem.t . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10smadiadetlem1a 22487 . 2 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘žโ€˜๐พ) = ๐พ}) โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐บ ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘›(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, 1 , 0 ), (๐‘–๐‘€๐‘—)))(๐‘โ€˜๐‘›))))))) = 0 )
12113anidm23 1418 1 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘žโ€˜๐พ) = ๐พ}) โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐บ ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘›(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, 1 , 0 ), (๐‘–๐‘€๐‘—)))(๐‘โ€˜๐‘›))))))) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {crab 3424   โˆ– cdif 3937  ifcif 4520   โ†ฆ cmpt 5221   โˆ˜ ccom 5670  โ€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   โˆˆ cmpo 7403  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  0gc0g 17384   ฮฃg cgsu 17385  SymGrpcsymg 19276  pmSgncpsgn 19399  mulGrpcmgp 20029  1rcur 20076  CRingccrg 20129  โ„คRHomczrh 21354   Mat cmat 22229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-word 14462  df-lsw 14510  df-concat 14518  df-s1 14543  df-substr 14588  df-pfx 14618  df-splice 14697  df-reverse 14706  df-s2 14796  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18703  df-submnd 18704  df-efmnd 18784  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-mulg 18986  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-gim 19174  df-cntz 19223  df-oppg 19252  df-symg 19277  df-pmtr 19352  df-psgn 19401  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-rhm 20364  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-sra 21011  df-rgmod 21012  df-cnfld 21229  df-zring 21302  df-zrh 21358  df-dsmm 21595  df-frlm 21610  df-mat 22230
This theorem is referenced by:  smadiadet  22494
  Copyright terms: Public domain W3C validator