Theorem fprodaddrecnncnv 46191

Description: The sequence 𝑆 of finite products, where every factor is added an "always smaller" amount, converges to the finite product of the factors. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodaddrecnncnv.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodaddrecnncnv.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
fprodaddrecnncnv.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprodaddrecnncnv.4	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴 + (1 / 𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
fprodaddrecnncnv	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝑋 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝑆(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem fprodaddrecnncnv

Dummy variables 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodaddrecnncnv.1	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		fprodaddrecnncnv.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
3		fprodaddrecnncnv.3	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		fprodaddrecnncnv.4	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴 + (1 / 𝑛)))
5		eqid 2735	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴 + 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴 + 𝑥))
6		oveq2 7366	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (1 / 𝑚) = (1 / 𝑛))
7	6	cbvmptv 5201	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑚)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	fprodaddrecnncnvlem 46190	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝑋 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  (class class class)co 7358  Fincfn 8885  ℂcc 11026  1c1 11029   + caddc 11031   / cdiv 11796  ℕcn 12147   ⇝ cli 15409  ∏cprod 15828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-iin 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-fi 9316  df-sup 9347  df-inf 9348  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-xneg 13028  df-xadd 13029  df-xmul 13030  df-icc 13270  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-prod 15829  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19248  df-cmn 19713  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-cnfld 21312  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22892  df-cn 23173  df-cnp 23174  df-tx 23508  df-hmeo 23701  df-xms 24266  df-ms 24267  df-tms 24268  df-cncf 24829

This theorem is referenced by:  vonicclem1  46964