Theorem fta 26466

Description: The Fundamental Theorem of Algebra. Any polynomial with positive degree (i.e. non-constant) has a root. This is Metamath 100 proof #2. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fta	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) → ∃𝑧 ∈ ℂ (𝐹‘𝑧) = 0)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐹   𝑧,𝑆

Proof of Theorem fta

Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
3		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ)
5		eqid 2731	. . . 4 ⊢ if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘((coeff‘𝐹)‘(deg‘𝐹))) / 2)), ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘((coeff‘𝐹)‘(deg‘𝐹))) / 2)), if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1)) = if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘((coeff‘𝐹)‘(deg‘𝐹))) / 2)), ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘((coeff‘𝐹)‘(deg‘𝐹))) / 2)), if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
6		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘((coeff‘𝐹)‘(deg‘𝐹))) / 2)) = ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘((coeff‘𝐹)‘(deg‘𝐹))) / 2))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ftalem2 26460	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑦) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦))))
8		simpll 765	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑦) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦))))) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
9		simplr 767	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑦) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦))))) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ)
10		eqid 2731	. . . 4 ⊢ {𝑠 ∈ ℂ ∣ (abs‘𝑠) ≤ 𝑟} = {𝑠 ∈ ℂ ∣ (abs‘𝑠) ≤ 𝑟}
11		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
12		simprl 769	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑦) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦))))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
13		simprr 771	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑦) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦))))) → ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑦) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦))))
14		fveq2 6847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (abs‘𝑦) = (abs‘𝑥))
15	14	breq2d 5122	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑟 < (abs‘𝑦) ↔ 𝑟 < (abs‘𝑥)))
16		2fveq3 6852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) = (abs‘(𝐹‘𝑥)))
17	16	breq2d 5122	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦)) ↔ (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑥))))
18	15, 17	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑟 < (abs‘𝑦) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑥)))))
19	18	cbvralvw 3223	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑦) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑥))))
20	13, 19	sylib 217	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑦) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦))))) → ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑥))))
21	1, 2, 8, 9, 10, 11, 12, 20	ftalem3 26461	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑦) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦))))) → ∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
22	7, 21	rexlimddv 3154	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) → ∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
23		simpll 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) ≠ 0)) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
24		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) ≠ 0)) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ)
25		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) ≠ 0)) → 𝑧 ∈ ℂ)
26		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) ≠ 0)) → (𝐹‘𝑧) ≠ 0)
27	1, 2, 23, 24, 25, 26	ftalem7 26465	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) ≠ 0)) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
28	27	expr 457	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑧) ≠ 0 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
29	28	necon4ad 2958	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)) → (𝐹‘𝑧) = 0))
30	29	reximdva 3161	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) → (∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)) → ∃𝑧 ∈ ℂ (𝐹‘𝑧) = 0))
31	22, 30	mpd 15	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) → ∃𝑧 ∈ ℂ (𝐹‘𝑧) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  {crab 3405  ifcif 4491   class class class wbr 5110  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  ℂcc 11058  0cc0 11060  1c1 11061   < clt 11198   ≤ cle 11199   / cdiv 11821  ℕcn 12162  2c2 12217  ℝ⁺crp 12924  abscabs 15131  TopOpenctopn 17317  ℂ_fldccnfld 20833  Polycply 25582  coeffccoe 25584  degcdgr 25585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9586  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138  ax-addf 11139  ax-mulf 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9356  df-sup 9387  df-inf 9388  df-oi 9455  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12423  df-z 12509  df-dec 12628  df-uz 12773  df-q 12883  df-rp 12925  df-xneg 13042  df-xadd 13043  df-xmul 13044  df-ioo 13278  df-ioc 13279  df-ico 13280  df-icc 13281  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-fl 13707  df-mod 13785  df-seq 13917  df-exp 13978  df-fac 14184  df-bc 14213  df-hash 14241  df-shft 14964  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-limsup 15365  df-clim 15382  df-rlim 15383  df-sum 15583  df-ef 15961  df-sin 15963  df-cos 15964  df-pi 15966  df-struct 17030  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-mulr 17161  df-starv 17162  df-sca 17163  df-vsca 17164  df-ip 17165  df-tset 17166  df-ple 17167  df-ds 17169  df-unif 17170  df-hom 17171  df-cco 17172  df-rest 17318  df-topn 17319  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-topgen 17339  df-pt 17340  df-prds 17343  df-xrs 17398  df-qtop 17403  df-imas 17404  df-xps 17406  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-submnd 18616  df-mulg 18887  df-cntz 19111  df-cmn 19578  df-psmet 20825  df-xmet 20826  df-met 20827  df-bl 20828  df-mopn 20829  df-fbas 20830  df-fg 20831  df-cnfld 20834  df-top 22280  df-topon 22297  df-topsp 22319  df-bases 22333  df-cld 22407  df-ntr 22408  df-cls 22409  df-nei 22486  df-lp 22524  df-perf 22525  df-cn 22615  df-cnp 22616  df-haus 22703  df-cmp 22775  df-tx 22950  df-hmeo 23143  df-fil 23234  df-fm 23326  df-flim 23327  df-flf 23328  df-xms 23710  df-ms 23711  df-tms 23712  df-cncf 24278  df-0p 25071  df-limc 25267  df-dv 25268  df-ply 25586  df-idp 25587  df-coe 25588  df-dgr 25589  df-log 25949  df-cxp 25950

This theorem is referenced by: (None)