Theorem fta 27275

Description: The Fundamental Theorem of Algebra. Any polynomial with positive degree (i.e. non-constant) has a root. This is Metamath 100 proof #2. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fta	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) → ∃𝑧 ∈ ℂ (𝐹‘𝑧) = 0)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐹   𝑧,𝑆

Proof of Theorem fta

Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
3		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ)
5		eqid 2765	. . . 4 ⊢ if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘((coeff‘𝐹)‘(deg‘𝐹))) / 2)), ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘((coeff‘𝐹)‘(deg‘𝐹))) / 2)), if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1)) = if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘((coeff‘𝐹)‘(deg‘𝐹))) / 2)), ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘((coeff‘𝐹)‘(deg‘𝐹))) / 2)), if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
6		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘((coeff‘𝐹)‘(deg‘𝐹))) / 2)) = ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘((coeff‘𝐹)‘(deg‘𝐹))) / 2))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ftalem2 27269	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑦) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦))))
8		simpll 779	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑦) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦))))) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
9		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑦) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦))))) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ)
10		eqid 2765	. . . 4 ⊢ {𝑠 ∈ ℂ ∣ (abs‘𝑠) ≤ 𝑟} = {𝑠 ∈ ℂ ∣ (abs‘𝑠) ≤ 𝑟}
11		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
12		simprl 783	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑦) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦))))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
13		simprr 785	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑦) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦))))) → ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑦) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦))))
14		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (abs‘𝑦) = (abs‘𝑥))
15	14	breq2d 5123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑟 < (abs‘𝑦) ↔ 𝑟 < (abs‘𝑥)))
16		2fveq3 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) = (abs‘(𝐹‘𝑥)))
17	16	breq2d 5123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦)) ↔ (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑥))))
18	15, 17	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑟 < (abs‘𝑦) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑥)))))
19	18	cbvralvw 3245	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑦) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑥))))
20	13, 19	sylib 221	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑦) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦))))) → ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑥))))
21	1, 2, 8, 9, 10, 11, 12, 20	ftalem3 27270	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑦) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦))))) → ∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
22	7, 21	rexlimddv 3174	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) → ∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
23		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) ≠ 0)) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
24		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) ≠ 0)) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ)
25		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) ≠ 0)) → 𝑧 ∈ ℂ)
26		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) ≠ 0)) → (𝐹‘𝑧) ≠ 0)
27	1, 2, 23, 24, 25, 26	ftalem7 27274	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) ≠ 0)) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
28	27	expr 462	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑧) ≠ 0 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
29	28	necon4ad 2979	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)) → (𝐹‘𝑧) = 0))
30	29	reximdva 3180	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) → (∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)) → ∃𝑧 ∈ ℂ (𝐹‘𝑧) = 0))
31	22, 30	mpd 16	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) → ∃𝑧 ∈ ℂ (𝐹‘𝑧) = 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  {crab 3418  ifcif 4489   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  0cc0 11111  1c1 11112   < clt 11254   ≤ cle 11255   / cdiv 11882  ℕcn 12244  2c2 12306  ℝ⁺crp 13028  abscabs 15305  TopOpenctopn 17492  ℂ_fldccnfld 21552  Polycply 26372  coeffccoe 26374  degcdgr 26375

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-addf 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13149  df-xadd 13150  df-xmul 13151  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-fl 13839  df-mod 13917  df-seq 14052  df-exp 14112  df-fac 14324  df-bc 14353  df-hash 14381  df-shft 15124  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-limsup 15542  df-clim 15559  df-rlim 15560  df-sum 15758  df-ef 16139  df-sin 16141  df-cos 16142  df-pi 16144  df-struct 17225  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-starv 17343  df-sca 17344  df-vsca 17345  df-ip 17346  df-tset 17347  df-ple 17348  df-ds 17350  df-unif 17351  df-hom 17352  df-cco 17353  df-rest 17493  df-topn 17494  df-0g 17512  df-gsum 17513  df-topgen 17514  df-pt 17515  df-prds 17518  df-xrs 17574  df-qtop 17579  df-imas 17580  df-xps 17582  df-mre 17656  df-mrc 17657  df-acs 17659  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-submnd 18866  df-mulg 19158  df-cntz 19411  df-cmn 19876  df-psmet 21544  df-xmet 21545  df-met 21546  df-bl 21547  df-mopn 21548  df-fbas 21549  df-fg 21550  df-cnfld 21553  df-top 23081  df-topon 23098  df-topsp 23120  df-bases 23133  df-cld 23206  df-ntr 23207  df-cls 23208  df-nei 23285  df-lp 23323  df-perf 23324  df-cn 23414  df-cnp 23415  df-haus 23502  df-cmp 23574  df-tx 23750  df-hmeo 23943  df-fil 24034  df-fm 24126  df-flim 24127  df-flf 24128  df-xms 24508  df-ms 24509  df-tms 24510  df-cncf 25068  df-0p 25860  df-limc 26056  df-dv 26057  df-ply 26376  df-idp 26377  df-coe 26378  df-dgr 26379  df-log 26752  df-cxp 26753

This theorem is used by:  cjnpoly  47659