MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fta 26584
Description: The Fundamental Theorem of Algebra. Any polynomial with positive degree (i.e. non-constant) has a root. This is Metamath 100 proof #2. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
fta ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ β„‚ (πΉβ€˜π‘§) = 0)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐹   𝑧,𝑆
Proof of Theorem fta
Dummy variables 𝑠 π‘Ÿ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (coeffβ€˜πΉ) = (coeffβ€˜πΉ)
2 eqid 2733 . . . 4 (degβ€˜πΉ) = (degβ€˜πΉ)
3 simpl 484 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
4 simpr 486 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•)
5 eqid 2733 . . . 4 if(if(1 ≀ 𝑠, 𝑠, 1) ≀ ((absβ€˜(πΉβ€˜0)) / ((absβ€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜(degβ€˜πΉ))) / 2)), ((absβ€˜(πΉβ€˜0)) / ((absβ€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜(degβ€˜πΉ))) / 2)), if(1 ≀ 𝑠, 𝑠, 1)) = if(if(1 ≀ 𝑠, 𝑠, 1) ≀ ((absβ€˜(πΉβ€˜0)) / ((absβ€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜(degβ€˜πΉ))) / 2)), ((absβ€˜(πΉβ€˜0)) / ((absβ€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜(degβ€˜πΉ))) / 2)), if(1 ≀ 𝑠, 𝑠, 1))
6 eqid 2733 . . . 4 ((absβ€˜(πΉβ€˜0)) / ((absβ€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜(degβ€˜πΉ))) / 2)) = ((absβ€˜(πΉβ€˜0)) / ((absβ€˜((coeffβ€˜πΉ)β€˜(degβ€˜πΉ))) / 2))
71, 2, 3, 4, 5, 6ftalem2 26578 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ (π‘Ÿ < (absβ€˜π‘¦) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
8 simpll 766 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ (π‘Ÿ < (absβ€˜π‘¦) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦))))) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
9 simplr 768 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ (π‘Ÿ < (absβ€˜π‘¦) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦))))) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•)
10 eqid 2733 . . . 4 {𝑠 ∈ β„‚ ∣ (absβ€˜π‘ ) ≀ π‘Ÿ} = {𝑠 ∈ β„‚ ∣ (absβ€˜π‘ ) ≀ π‘Ÿ}
11 eqid 2733 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
12 simprl 770 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ (π‘Ÿ < (absβ€˜π‘¦) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦))))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
13 simprr 772 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ (π‘Ÿ < (absβ€˜π‘¦) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦))))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ (π‘Ÿ < (absβ€˜π‘¦) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
14 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ (absβ€˜π‘¦) = (absβ€˜π‘₯))
1514breq2d 5161 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (π‘Ÿ < (absβ€˜π‘¦) ↔ π‘Ÿ < (absβ€˜π‘₯)))
16 2fveq3 6897 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
1716breq2d 5161 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜0)) < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
1815, 17imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((π‘Ÿ < (absβ€˜π‘¦) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦))) ↔ (π‘Ÿ < (absβ€˜π‘₯) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
1918cbvralvw 3235 . . . . 5 (βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ (π‘Ÿ < (absβ€˜π‘¦) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (π‘Ÿ < (absβ€˜π‘₯) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
2013, 19sylib 217 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ (π‘Ÿ < (absβ€˜π‘¦) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦))))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (π‘Ÿ < (absβ€˜π‘₯) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
211, 2, 8, 9, 10, 11, 12, 20ftalem3 26579 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ (π‘Ÿ < (absβ€˜π‘¦) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦))))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
227, 21rexlimddv 3162 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
23 simpll 766 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•) ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘§) β‰  0)) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
24 simplr 768 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•) ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘§) β‰  0)) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•)
25 simprl 770 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•) ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘§) β‰  0)) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
26 simprr 772 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•) ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘§) β‰  0)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) β‰  0)
271, 2, 23, 24, 25, 26ftalem7 26583 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•) ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘§) β‰  0)) β†’ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
2827expr 458 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) β‰  0 β†’ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
2928necon4ad 2960 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = 0))
3029reximdva 3169 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ β„‚ (πΉβ€˜π‘§) = 0))
3122, 30mpd 15 1 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ β„‚ (πΉβ€˜π‘§) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  ifcif 4529   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   < clt 11248   ≀ cle 11249   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„+crp 12974  abscabs 15181  TopOpenctopn 17367  β„‚fldccnfld 20944  Polycply 25698  coeffccoe 25700  degcdgr 25701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-0p 25187  df-limc 25383  df-dv 25384  df-ply 25702  df-idp 25703  df-coe 25704  df-dgr 25705  df-log 26065  df-cxp 26066
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator