Theorem fta 26335

Description: The Fundamental Theorem of Algebra. Any polynomial with positive degree (i.e. non-constant) has a root. This is Metamath 100 proof #2. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fta	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) → ∃𝑧 ∈ ℂ (𝐹‘𝑧) = 0)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐹   𝑧,𝑆

Proof of Theorem fta

Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
3		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ)
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘((coeff‘𝐹)‘(deg‘𝐹))) / 2)), ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘((coeff‘𝐹)‘(deg‘𝐹))) / 2)), if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1)) = if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘((coeff‘𝐹)‘(deg‘𝐹))) / 2)), ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘((coeff‘𝐹)‘(deg‘𝐹))) / 2)), if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
6		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘((coeff‘𝐹)‘(deg‘𝐹))) / 2)) = ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘((coeff‘𝐹)‘(deg‘𝐹))) / 2))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ftalem2 26329	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑦) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦))))
8		simpll 764	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑦) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦))))) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
9		simplr 766	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑦) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦))))) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ)
10		eqid 2736	. . . 4 ⊢ {𝑠 ∈ ℂ ∣ (abs‘𝑠) ≤ 𝑟} = {𝑠 ∈ ℂ ∣ (abs‘𝑠) ≤ 𝑟}
11		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
12		simprl 768	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑦) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦))))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
13		simprr 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑦) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦))))) → ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑦) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦))))
14		fveq2 6825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (abs‘𝑦) = (abs‘𝑥))
15	14	breq2d 5104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑟 < (abs‘𝑦) ↔ 𝑟 < (abs‘𝑥)))
16		2fveq3 6830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) = (abs‘(𝐹‘𝑥)))
17	16	breq2d 5104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦)) ↔ (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑥))))
18	15, 17	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑟 < (abs‘𝑦) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑥)))))
19	18	cbvralvw 3221	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑦) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑥))))
20	13, 19	sylib 217	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑦) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦))))) → ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑥))))
21	1, 2, 8, 9, 10, 11, 12, 20	ftalem3 26330	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑦) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹‘𝑦))))) → ∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
22	7, 21	rexlimddv 3154	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) → ∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
23		simpll 764	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) ≠ 0)) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
24		simplr 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) ≠ 0)) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ)
25		simprl 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) ≠ 0)) → 𝑧 ∈ ℂ)
26		simprr 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) ≠ 0)) → (𝐹‘𝑧) ≠ 0)
27	1, 2, 23, 24, 25, 26	ftalem7 26334	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) ≠ 0)) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
28	27	expr 457	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑧) ≠ 0 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
29	28	necon4ad 2959	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)) → (𝐹‘𝑧) = 0))
30	29	reximdva 3161	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) → (∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)) → ∃𝑧 ∈ ℂ (𝐹‘𝑧) = 0))
31	22, 30	mpd 15	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐹) ∈ ℕ) → ∃𝑧 ∈ ℂ (𝐹‘𝑧) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3403  ifcif 4473   class class class wbr 5092  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337  ℂcc 10970  0cc0 10972  1c1 10973   < clt 11110   ≤ cle 11111   / cdiv 11733  ℕcn 12074  2c2 12129  ℝ⁺crp 12831  abscabs 15044  TopOpenctopn 17229  ℂ_fldccnfld 20703  Polycply 25451  coeffccoe 25453  degcdgr 25454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-inf2 9498  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050  ax-addf 11051  ax-mulf 11052

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-supp 8048  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-2o 8368  df-er 8569  df-map 8688  df-pm 8689  df-ixp 8757  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-fsupp 9227  df-fi 9268  df-sup 9299  df-inf 9300  df-oi 9367  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-z 12421  df-dec 12539  df-uz 12684  df-q 12790  df-rp 12832  df-xneg 12949  df-xadd 12950  df-xmul 12951  df-ioo 13184  df-ioc 13185  df-ico 13186  df-icc 13187  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-fl 13613  df-mod 13691  df-seq 13823  df-exp 13884  df-fac 14089  df-bc 14118  df-hash 14146  df-shft 14877  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-limsup 15279  df-clim 15296  df-rlim 15297  df-sum 15497  df-ef 15876  df-sin 15878  df-cos 15879  df-pi 15881  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-starv 17074  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-unif 17082  df-hom 17083  df-cco 17084  df-rest 17230  df-topn 17231  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-topgen 17251  df-pt 17252  df-prds 17255  df-xrs 17310  df-qtop 17315  df-imas 17316  df-xps 17318  df-mre 17392  df-mrc 17393  df-acs 17395  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528  df-mulg 18797  df-cntz 19019  df-cmn 19483  df-psmet 20695  df-xmet 20696  df-met 20697  df-bl 20698  df-mopn 20699  df-fbas 20700  df-fg 20701  df-cnfld 20704  df-top 22149  df-topon 22166  df-topsp 22188  df-bases 22202  df-cld 22276  df-ntr 22277  df-cls 22278  df-nei 22355  df-lp 22393  df-perf 22394  df-cn 22484  df-cnp 22485  df-haus 22572  df-cmp 22644  df-tx 22819  df-hmeo 23012  df-fil 23103  df-fm 23195  df-flim 23196  df-flf 23197  df-xms 23579  df-ms 23580  df-tms 23581  df-cncf 24147  df-0p 24940  df-limc 25136  df-dv 25137  df-ply 25455  df-idp 25456  df-coe 25457  df-dgr 25458  df-log 25818  df-cxp 25819

This theorem is referenced by: (None)