MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetrsca2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetrsca2 22610
Description: The determinant function is homogeneous for each row (matrices are given explicitly by their entries). (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetrsca2.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetrsca2.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetrsca2.t · = (.r𝑅)
mdetrsca2.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mdetrsca2.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mdetrsca2.x ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
mdetrsca2.y ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
mdetrsca2.f (𝜑𝐹𝐾)
mdetrsca2.i (𝜑𝐼𝑁)
Assertion
Ref Expression
mdetrsca2 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌))) = (𝐹 · (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐹,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗   · ,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)   𝑌(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetrsca2
StepHypRef Expression
1 mdetrsca2.d . 2 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2 eqid 2737 . 2 (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
3 eqid 2737 . 2 (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
4 mdetrsca2.k . 2 𝐾 = (Base‘𝑅)
5 mdetrsca2.t . 2 · = (.r𝑅)
6 mdetrsca2.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
7 mdetrsca2.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
8 crngring 20242 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
96, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
1093ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
11 mdetrsca2.f . . . . . 6 (𝜑𝐹𝐾)
12113ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝐹𝐾)
13 mdetrsca2.x . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
144, 5ringcl 20247 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝑋𝐾) → (𝐹 · 𝑋) ∈ 𝐾)
1510, 12, 13, 14syl3anc 1373 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝐹 · 𝑋) ∈ 𝐾)
16 mdetrsca2.y . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
1715, 16ifcld 4572 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌) ∈ 𝐾)
182, 4, 3, 7, 6, 17matbas2d 22429 . 2 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
1913, 16ifcld 4572 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌) ∈ 𝐾)
202, 4, 3, 7, 6, 19matbas2d 22429 . 2 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
21 mdetrsca2.i . 2 (𝜑𝐼𝑁)
22 snex 5436 . . . . . 6 {𝐼} ∈ V
2322a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝐼} ∈ V)
24113ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗𝑁) → 𝐹𝐾)
2521snssd 4809 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝐼} ⊆ 𝑁)
2625sselda 3983 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐼}) → 𝑖𝑁)
27263adant3 1133 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
2827, 13syld3an2 1413 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
29 fconstmpo 7550 . . . . . 6 (({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝐹)
3029a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝐹))
31 eqidd 2738 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋))
3223, 7, 24, 28, 30, 31offval22 8113 . . . 4 (𝜑 → ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ (𝐹 · 𝑋)))
33 mposnif 7549 . . . . 5 (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋)
3433oveq2i 7442 . . . 4 ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋))
35 mposnif 7549 . . . 4 (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ (𝐹 · 𝑋))
3632, 34, 353eqtr4g 2802 . . 3 (𝜑 → ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)))
37 ssid 4006 . . . . 5 𝑁𝑁
38 resmpo 7553 . . . . 5 (({𝐼} ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))
3925, 37, 38sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))
4039oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁))) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))))
41 resmpo 7553 . . . 4 (({𝐼} ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)))
4225, 37, 41sylancl 586 . . 3 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)))
4336, 40, 423eqtr4rd 2788 . 2 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
44 eldifsni 4790 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑖𝐼)
45443ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝐼)
4645neneqd 2945 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗𝑁) → ¬ 𝑖 = 𝐼)
47 iffalse 4534 . . . . . 6 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌) = 𝑌)
48 iffalse 4534 . . . . . 6 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌) = 𝑌)
4947, 48eqtr4d 2780 . . . . 5 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))
5046, 49syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))
5150mpoeq3dva 7510 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))
52 difss 4136 . . . 4 (𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁
53 resmpo 7553 . . . 4 (((𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)))
5452, 37, 53mp2an 692 . . 3 ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌))
55 resmpo 7553 . . . 4 (((𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))
5652, 37, 55mp2an 692 . . 3 ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))
5751, 54, 563eqtr4g 2802 . 2 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
581, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 11, 20, 21, 43, 57mdetrsca 22609 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌))) = (𝐹 · (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  cdif 3948  wss 3951  ifcif 4525  {csn 4626   × cxp 5683  cres 5687  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  f cof 7695  Fincfn 8985  Basecbs 17247  .rcmulr 17298  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231   Mat cmat 22411   maDet cmdat 22590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-splice 14788  df-reverse 14797  df-s2 14887  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-efmnd 18882  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-gim 19277  df-cntz 19335  df-oppg 19364  df-symg 19387  df-pmtr 19460  df-psgn 19509  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-mat 22412  df-mdet 22591
This theorem is referenced by:  mdetr0  22611  mdetero  22616  madugsum  22649
  Copyright terms: Public domain W3C validator