MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetrsca2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetrsca2 20917
Description: The determinant function is homogeneous for each row (matrices are given explicitly by their entries). (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetrsca2.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetrsca2.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetrsca2.t · = (.r𝑅)
mdetrsca2.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mdetrsca2.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mdetrsca2.x ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
mdetrsca2.y ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
mdetrsca2.f (𝜑𝐹𝐾)
mdetrsca2.i (𝜑𝐼𝑁)
Assertion
Ref Expression
mdetrsca2 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌))) = (𝐹 · (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐹,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗   · ,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)   𝑌(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetrsca2
StepHypRef Expression
1 mdetrsca2.d . 2 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2 eqid 2778 . 2 (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
3 eqid 2778 . 2 (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
4 mdetrsca2.k . 2 𝐾 = (Base‘𝑅)
5 mdetrsca2.t . 2 · = (.r𝑅)
6 mdetrsca2.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
7 mdetrsca2.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
8 crngring 19031 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
96, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
1093ad2ant1 1113 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
11 mdetrsca2.f . . . . . 6 (𝜑𝐹𝐾)
12113ad2ant1 1113 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝐹𝐾)
13 mdetrsca2.x . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
144, 5ringcl 19034 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝑋𝐾) → (𝐹 · 𝑋) ∈ 𝐾)
1510, 12, 13, 14syl3anc 1351 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝐹 · 𝑋) ∈ 𝐾)
16 mdetrsca2.y . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
1715, 16ifcld 4395 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌) ∈ 𝐾)
182, 4, 3, 7, 6, 17matbas2d 20736 . 2 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
1913, 16ifcld 4395 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌) ∈ 𝐾)
202, 4, 3, 7, 6, 19matbas2d 20736 . 2 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
21 mdetrsca2.i . 2 (𝜑𝐼𝑁)
22 snex 5188 . . . . . 6 {𝐼} ∈ V
2322a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝐼} ∈ V)
24113ad2ant1 1113 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗𝑁) → 𝐹𝐾)
2521snssd 4616 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝐼} ⊆ 𝑁)
2625sselda 3858 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐼}) → 𝑖𝑁)
27263adant3 1112 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
2827, 13syld3an2 1391 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
29 fconstmpo 7085 . . . . . 6 (({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝐹)
3029a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝐹))
31 eqidd 2779 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋))
3223, 7, 24, 28, 30, 31offval22 7591 . . . 4 (𝜑 → ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘𝑓 · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ (𝐹 · 𝑋)))
33 mposnif 7084 . . . . 5 (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋)
3433oveq2i 6987 . . . 4 ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘𝑓 · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘𝑓 · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋))
35 mposnif 7084 . . . 4 (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ (𝐹 · 𝑋))
3632, 34, 353eqtr4g 2839 . . 3 (𝜑 → ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘𝑓 · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)))
37 ssid 3879 . . . . 5 𝑁𝑁
38 resmpo 7088 . . . . 5 (({𝐼} ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))
3925, 37, 38sylancl 577 . . . 4 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))
4039oveq2d 6992 . . 3 (𝜑 → ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘𝑓 · ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁))) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘𝑓 · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))))
41 resmpo 7088 . . . 4 (({𝐼} ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)))
4225, 37, 41sylancl 577 . . 3 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)))
4336, 40, 423eqtr4rd 2825 . 2 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘𝑓 · ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
44 eldifsni 4596 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑖𝐼)
45443ad2ant2 1114 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝐼)
4645neneqd 2972 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗𝑁) → ¬ 𝑖 = 𝐼)
47 iffalse 4359 . . . . . 6 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌) = 𝑌)
48 iffalse 4359 . . . . . 6 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌) = 𝑌)
4947, 48eqtr4d 2817 . . . . 5 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))
5046, 49syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))
5150mpoeq3dva 7049 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))
52 difss 3998 . . . 4 (𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁
53 resmpo 7088 . . . 4 (((𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)))
5452, 37, 53mp2an 679 . . 3 ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌))
55 resmpo 7088 . . . 4 (((𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))
5652, 37, 55mp2an 679 . . 3 ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))
5751, 54, 563eqtr4g 2839 . 2 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
581, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 11, 20, 21, 43, 57mdetrsca 20916 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌))) = (𝐹 · (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967  Vcvv 3415  cdif 3826  wss 3829  ifcif 4350  {csn 4441   × cxp 5405  cres 5409  cfv 6188  (class class class)co 6976  cmpo 6978  𝑓 cof 7225  Fincfn 8306  Basecbs 16339  .rcmulr 16422  Ringcrg 19020  CRingccrg 19021   Mat cmat 20720   maDet cmdat 20897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-addf 10414  ax-mulf 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-xor 1489  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-ot 4450  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-tpos 7695  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-sup 8701  df-oi 8769  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-xnn0 11780  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-rp 12205  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-word 13673  df-lsw 13726  df-concat 13734  df-s1 13759  df-substr 13804  df-pfx 13853  df-splice 13960  df-reverse 13978  df-s2 14072  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-hom 16445  df-cco 16446  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-prds 16577  df-pws 16579  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-mhm 17803  df-submnd 17804  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-mulg 18012  df-subg 18060  df-ghm 18127  df-gim 18170  df-cntz 18218  df-oppg 18245  df-symg 18267  df-pmtr 18331  df-psgn 18380  df-cmn 18668  df-abl 18669  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-cring 19023  df-oppr 19096  df-dvdsr 19114  df-unit 19115  df-invr 19145  df-dvr 19156  df-rnghom 19190  df-drng 19227  df-subrg 19256  df-sra 19666  df-rgmod 19667  df-cnfld 20248  df-zring 20320  df-zrh 20353  df-dsmm 20578  df-frlm 20593  df-mat 20721  df-mdet 20898
This theorem is referenced by:  mdetr0  20918  mdetero  20923  madugsum  20956
  Copyright terms: Public domain W3C validator