Theorem mdetrsca2 22498

Description: The determinant function is homogeneous for each row (matrices are given explicitly by their entries). (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetrsca2.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetrsca2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetrsca2.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetrsca2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mdetrsca2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mdetrsca2.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐾)
mdetrsca2.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐾)
mdetrsca2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
mdetrsca2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
mdetrsca2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌))) = (𝐹 · (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐹,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗   · ,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)   𝑌(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetrsca2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetrsca2.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2		eqid 2730	. 2 ⊢ (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
3		eqid 2730	. 2 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
4		mdetrsca2.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		mdetrsca2.t	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6		mdetrsca2.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7		mdetrsca2.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
8		crngring 20161	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	6, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10	9	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
11		mdetrsca2.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
12	11	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐹 ∈ 𝐾)
13		mdetrsca2.x	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐾)
14	4, 5	ringcl 20166	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐹 · 𝑋) ∈ 𝐾)
15	10, 12, 13, 14	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝐹 · 𝑋) ∈ 𝐾)
16		mdetrsca2.y	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐾)
17	15, 16	ifcld 4538	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌) ∈ 𝐾)
18	2, 4, 3, 7, 6, 17	matbas2d 22317	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
19	13, 16	ifcld 4538	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌) ∈ 𝐾)
20	2, 4, 3, 7, 6, 19	matbas2d 22317	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
21		mdetrsca2.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
22		snex 5394	. . . . . 6 ⊢ {𝐼} ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐼} ∈ V)
24	11	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐹 ∈ 𝐾)
25	21	snssd 4776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐼} ⊆ 𝑁)
26	25	sselda 3949	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐼}) → 𝑖 ∈ 𝑁)
27	26	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
28	27, 13	syld3an2 1413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐾)
29		fconstmpo 7509	. . . . . 6 ⊢ (({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐹)
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐹))
31		eqidd 2731	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋))
32	23, 7, 24, 28, 30, 31	offval22 8070	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝐹 · 𝑋)))
33		mposnif 7508	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)
34	33	oveq2i 7401	. . . 4 ⊢ ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋))
35		mposnif 7508	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝐹 · 𝑋))
36	32, 34, 35	3eqtr4g 2790	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)))
37		ssid 3972	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ⊆ 𝑁
38		resmpo 7512	. . . . 5 ⊢ (({𝐼} ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))
39	25, 37, 38	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))
40	39	oveq2d 7406	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁))) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))))
41		resmpo 7512	. . . 4 ⊢ (({𝐼} ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)))
42	25, 37, 41	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)))
43	36, 40, 42	3eqtr4rd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
44		eldifsni 4757	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑖 ≠ 𝐼)
45	44	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ≠ 𝐼)
46	45	neneqd 2931	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ¬ 𝑖 = 𝐼)
47		iffalse 4500	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌) = 𝑌)
48		iffalse 4500	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌) = 𝑌)
49	47, 48	eqtr4d 2768	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))
50	46, 49	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))
51	50	mpoeq3dva 7469	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))
52		difss 4102	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁
53		resmpo 7512	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)))
54	52, 37, 53	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌))
55		resmpo 7512	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))
56	52, 37, 55	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))
57	51, 54, 56	3eqtr4g 2790	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
58	1, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 11, 20, 21, 43, 57	mdetrsca 22497	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌))) = (𝐹 · (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  Vcvv 3450   ∖ cdif 3914   ⊆ wss 3917  ifcif 4491  {csn 4592   × cxp 5639   ↾ cres 5643  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392   ∘_f cof 7654  Fincfn 8921  Basecbs 17186  ._rcmulr 17228  Ringcrg 20149  CRingccrg 20150   Mat cmat 22301   maDet cmdat 22478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-ot 4601  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-word 14486  df-lsw 14535  df-concat 14543  df-s1 14568  df-substr 14613  df-pfx 14643  df-splice 14722  df-reverse 14731  df-s2 14821  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-efmnd 18803  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-gim 19198  df-cntz 19256  df-oppg 19285  df-symg 19307  df-pmtr 19379  df-psgn 19428  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-rhm 20388  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-drng 20647  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-cnfld 21272  df-zring 21364  df-zrh 21420  df-dsmm 21648  df-frlm 21663  df-mat 22302  df-mdet 22479

This theorem is referenced by:  mdetr0  22499  mdetero  22504  madugsum  22537