Theorem mdetrsca2 21661

Description: The determinant function is homogeneous for each row (matrices are given explicitly by their entries). (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetrsca2.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetrsca2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetrsca2.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetrsca2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mdetrsca2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mdetrsca2.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐾)
mdetrsca2.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐾)
mdetrsca2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
mdetrsca2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
mdetrsca2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌))) = (𝐹 · (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐹,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗   · ,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)   𝑌(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetrsca2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetrsca2.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2		eqid 2738	. 2 ⊢ (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
3		eqid 2738	. 2 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
4		mdetrsca2.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		mdetrsca2.t	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6		mdetrsca2.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7		mdetrsca2.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
8		crngring 19710	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	6, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10	9	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
11		mdetrsca2.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
12	11	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐹 ∈ 𝐾)
13		mdetrsca2.x	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐾)
14	4, 5	ringcl 19715	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐹 · 𝑋) ∈ 𝐾)
15	10, 12, 13, 14	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝐹 · 𝑋) ∈ 𝐾)
16		mdetrsca2.y	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐾)
17	15, 16	ifcld 4502	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌) ∈ 𝐾)
18	2, 4, 3, 7, 6, 17	matbas2d 21480	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
19	13, 16	ifcld 4502	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌) ∈ 𝐾)
20	2, 4, 3, 7, 6, 19	matbas2d 21480	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
21		mdetrsca2.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
22		snex 5349	. . . . . 6 ⊢ {𝐼} ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐼} ∈ V)
24	11	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐹 ∈ 𝐾)
25	21	snssd 4739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐼} ⊆ 𝑁)
26	25	sselda 3917	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐼}) → 𝑖 ∈ 𝑁)
27	26	3adant3 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
28	27, 13	syld3an2 1409	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐾)
29		fconstmpo 7369	. . . . . 6 ⊢ (({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐹)
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐹))
31		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋))
32	23, 7, 24, 28, 30, 31	offval22 7899	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝐹 · 𝑋)))
33		mposnif 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)
34	33	oveq2i 7266	. . . 4 ⊢ ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋))
35		mposnif 7368	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝐹 · 𝑋))
36	32, 34, 35	3eqtr4g 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)))
37		ssid 3939	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ⊆ 𝑁
38		resmpo 7372	. . . . 5 ⊢ (({𝐼} ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))
39	25, 37, 38	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))
40	39	oveq2d 7271	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁))) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))))
41		resmpo 7372	. . . 4 ⊢ (({𝐼} ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)))
42	25, 37, 41	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)))
43	36, 40, 42	3eqtr4rd 2789	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
44		eldifsni 4720	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑖 ≠ 𝐼)
45	44	3ad2ant2 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ≠ 𝐼)
46	45	neneqd 2947	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ¬ 𝑖 = 𝐼)
47		iffalse 4465	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌) = 𝑌)
48		iffalse 4465	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌) = 𝑌)
49	47, 48	eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))
50	46, 49	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))
51	50	mpoeq3dva 7330	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))
52		difss 4062	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁
53		resmpo 7372	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)))
54	52, 37, 53	mp2an 688	. . 3 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌))
55		resmpo 7372	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))
56	52, 37, 55	mp2an 688	. . 3 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))
57	51, 54, 56	3eqtr4g 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
58	1, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 11, 20, 21, 43, 57	mdetrsca 21660	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌))) = (𝐹 · (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ifcif 4456  {csn 4558   × cxp 5578   ↾ cres 5582  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257   ∘_f cof 7509  Fincfn 8691  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  Ringcrg 19698  CRingccrg 19699   Mat cmat 21464   maDet cmdat 21641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1504  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-word 14146  df-lsw 14194  df-concat 14202  df-s1 14229  df-substr 14282  df-pfx 14312  df-splice 14391  df-reverse 14400  df-s2 14489  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-efmnd 18423  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-gim 18790  df-cntz 18838  df-oppg 18865  df-symg 18890  df-pmtr 18965  df-psgn 19014  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-rnghom 19874  df-drng 19908  df-subrg 19937  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-cnfld 20511  df-zring 20583  df-zrh 20617  df-dsmm 20849  df-frlm 20864  df-mat 21465  df-mdet 21642

This theorem is referenced by:  mdetr0  21662  mdetero  21667  madugsum  21700