MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetrsca2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetrsca2 22597
Description: The determinant function is homogeneous for each row (matrices are given explicitly by their entries). (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetrsca2.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetrsca2.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetrsca2.t · = (.r𝑅)
mdetrsca2.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mdetrsca2.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mdetrsca2.x ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
mdetrsca2.y ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
mdetrsca2.f (𝜑𝐹𝐾)
mdetrsca2.i (𝜑𝐼𝑁)
Assertion
Ref Expression
mdetrsca2 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌))) = (𝐹 · (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐹,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗   · ,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)   𝑌(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetrsca2
StepHypRef Expression
1 mdetrsca2.d . 2 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2 eqid 2726 . 2 (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
3 eqid 2726 . 2 (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
4 mdetrsca2.k . 2 𝐾 = (Base‘𝑅)
5 mdetrsca2.t . 2 · = (.r𝑅)
6 mdetrsca2.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
7 mdetrsca2.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
8 crngring 20228 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
96, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
1093ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
11 mdetrsca2.f . . . . . 6 (𝜑𝐹𝐾)
12113ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝐹𝐾)
13 mdetrsca2.x . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
144, 5ringcl 20233 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝑋𝐾) → (𝐹 · 𝑋) ∈ 𝐾)
1510, 12, 13, 14syl3anc 1368 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝐹 · 𝑋) ∈ 𝐾)
16 mdetrsca2.y . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
1715, 16ifcld 4579 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌) ∈ 𝐾)
182, 4, 3, 7, 6, 17matbas2d 22416 . 2 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
1913, 16ifcld 4579 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌) ∈ 𝐾)
202, 4, 3, 7, 6, 19matbas2d 22416 . 2 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
21 mdetrsca2.i . 2 (𝜑𝐼𝑁)
22 snex 5437 . . . . . 6 {𝐼} ∈ V
2322a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝐼} ∈ V)
24113ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗𝑁) → 𝐹𝐾)
2521snssd 4818 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝐼} ⊆ 𝑁)
2625sselda 3979 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐼}) → 𝑖𝑁)
27263adant3 1129 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
2827, 13syld3an2 1408 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
29 fconstmpo 7542 . . . . . 6 (({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝐹)
3029a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝐹))
31 eqidd 2727 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋))
3223, 7, 24, 28, 30, 31offval22 8102 . . . 4 (𝜑 → ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ (𝐹 · 𝑋)))
33 mposnif 7541 . . . . 5 (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋)
3433oveq2i 7435 . . . 4 ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋))
35 mposnif 7541 . . . 4 (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ (𝐹 · 𝑋))
3632, 34, 353eqtr4g 2791 . . 3 (𝜑 → ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)))
37 ssid 4002 . . . . 5 𝑁𝑁
38 resmpo 7545 . . . . 5 (({𝐼} ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))
3925, 37, 38sylancl 584 . . . 4 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))
4039oveq2d 7440 . . 3 (𝜑 → ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁))) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))))
41 resmpo 7545 . . . 4 (({𝐼} ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)))
4225, 37, 41sylancl 584 . . 3 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)))
4336, 40, 423eqtr4rd 2777 . 2 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
44 eldifsni 4799 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑖𝐼)
45443ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝐼)
4645neneqd 2935 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗𝑁) → ¬ 𝑖 = 𝐼)
47 iffalse 4542 . . . . . 6 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌) = 𝑌)
48 iffalse 4542 . . . . . 6 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌) = 𝑌)
4947, 48eqtr4d 2769 . . . . 5 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))
5046, 49syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))
5150mpoeq3dva 7502 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))
52 difss 4131 . . . 4 (𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁
53 resmpo 7545 . . . 4 (((𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)))
5452, 37, 53mp2an 690 . . 3 ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌))
55 resmpo 7545 . . . 4 (((𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))
5652, 37, 55mp2an 690 . . 3 ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))
5751, 54, 563eqtr4g 2791 . 2 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
581, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 11, 20, 21, 43, 57mdetrsca 22596 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌))) = (𝐹 · (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  Vcvv 3462  cdif 3944  wss 3947  ifcif 4533  {csn 4633   × cxp 5680  cres 5684  cfv 6554  (class class class)co 7424  cmpo 7426  f cof 7688  Fincfn 8974  Basecbs 17213  .rcmulr 17267  Ringcrg 20216  CRingccrg 20217   Mat cmat 22398   maDet cmdat 22577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-addf 11237  ax-mulf 11238
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1506  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-ot 4642  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-sup 9485  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-word 14523  df-lsw 14571  df-concat 14579  df-s1 14604  df-substr 14649  df-pfx 14679  df-splice 14758  df-reverse 14767  df-s2 14857  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-prds 17462  df-pws 17464  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-mhm 18773  df-submnd 18774  df-efmnd 18859  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-mulg 19062  df-subg 19117  df-ghm 19207  df-gim 19253  df-cntz 19311  df-oppg 19340  df-symg 19365  df-pmtr 19440  df-psgn 19489  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-cring 20219  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-dvr 20383  df-rhm 20454  df-subrng 20528  df-subrg 20553  df-drng 20709  df-sra 21151  df-rgmod 21152  df-cnfld 21344  df-zring 21437  df-zrh 21493  df-dsmm 21730  df-frlm 21745  df-mat 22399  df-mdet 22578
This theorem is referenced by:  mdetr0  22598  mdetero  22603  madugsum  22636
  Copyright terms: Public domain W3C validator