Theorem mdetrsca2 22582

Description: The determinant function is homogeneous for each row (matrices are given explicitly by their entries). (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetrsca2.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetrsca2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetrsca2.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetrsca2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mdetrsca2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mdetrsca2.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐾)
mdetrsca2.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐾)
mdetrsca2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
mdetrsca2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
mdetrsca2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌))) = (𝐹 · (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐹,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗   · ,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)   𝑌(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetrsca2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetrsca2.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2		eqid 2737	. 2 ⊢ (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
3		eqid 2737	. 2 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
4		mdetrsca2.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		mdetrsca2.t	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6		mdetrsca2.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7		mdetrsca2.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
8		crngring 20220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	6, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10	9	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
11		mdetrsca2.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
12	11	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐹 ∈ 𝐾)
13		mdetrsca2.x	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐾)
14	4, 5	ringcl 20225	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐹 · 𝑋) ∈ 𝐾)
15	10, 12, 13, 14	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝐹 · 𝑋) ∈ 𝐾)
16		mdetrsca2.y	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐾)
17	15, 16	ifcld 4514	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌) ∈ 𝐾)
18	2, 4, 3, 7, 6, 17	matbas2d 22401	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
19	13, 16	ifcld 4514	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌) ∈ 𝐾)
20	2, 4, 3, 7, 6, 19	matbas2d 22401	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
21		mdetrsca2.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
22		snex 5377	. . . . . 6 ⊢ {𝐼} ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐼} ∈ V)
24	11	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐹 ∈ 𝐾)
25	21	snssd 4753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐼} ⊆ 𝑁)
26	25	sselda 3922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐼}) → 𝑖 ∈ 𝑁)
27	26	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
28	27, 13	syld3an2 1414	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐾)
29		fconstmpo 7478	. . . . . 6 ⊢ (({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐹)
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐹))
31		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋))
32	23, 7, 24, 28, 30, 31	offval22 8032	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝐹 · 𝑋)))
33		mposnif 7477	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)
34	33	oveq2i 7372	. . . 4 ⊢ ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋))
35		mposnif 7477	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝐹 · 𝑋))
36	32, 34, 35	3eqtr4g 2797	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)))
37		ssid 3945	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ⊆ 𝑁
38		resmpo 7481	. . . . 5 ⊢ (({𝐼} ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))
39	25, 37, 38	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))
40	39	oveq2d 7377	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁))) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))))
41		resmpo 7481	. . . 4 ⊢ (({𝐼} ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)))
42	25, 37, 41	sylancl 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)))
43	36, 40, 42	3eqtr4rd 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘f · ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
44		eldifsni 4734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑖 ≠ 𝐼)
45	44	3ad2ant2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ≠ 𝐼)
46	45	neneqd 2938	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ¬ 𝑖 = 𝐼)
47		iffalse 4476	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌) = 𝑌)
48		iffalse 4476	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌) = 𝑌)
49	47, 48	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))
50	46, 49	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))
51	50	mpoeq3dva 7438	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))
52		difss 4077	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁
53		resmpo 7481	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)))
54	52, 37, 53	mp2an 693	. . 3 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌))
55		resmpo 7481	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑁) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))
56	52, 37, 55	mp2an 693	. . 3 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))
57	51, 54, 56	3eqtr4g 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
58	1, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 11, 20, 21, 43, 57	mdetrsca 22581	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌))) = (𝐹 · (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  ifcif 4467  {csn 4568   × cxp 5623   ↾ cres 5627  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363   ∘_f cof 7623  Fincfn 8887  Basecbs 17173  ._rcmulr 17215  Ringcrg 20208  CRingccrg 20209   Mat cmat 22385   maDet cmdat 22562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-addf 11111  ax-mulf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-xnn0 12505  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-word 14470  df-lsw 14519  df-concat 14527  df-s1 14553  df-substr 14598  df-pfx 14628  df-splice 14706  df-reverse 14715  df-s2 14804  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-prds 17404  df-pws 17406  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-efmnd 18831  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-ghm 19182  df-gim 19228  df-cntz 19286  df-oppg 19315  df-symg 19339  df-pmtr 19411  df-psgn 19460  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-dvr 20375  df-rhm 20446  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-drng 20702  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-cnfld 21348  df-zring 21440  df-zrh 21496  df-dsmm 21725  df-frlm 21740  df-mat 22386  df-mdet 22563

This theorem is referenced by:  mdetr0  22583  mdetero  22588  madugsum  22621