MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetralt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetralt2 22092
Description: The determinant function is alternating regarding rows (matrix is given explicitly by its entries). (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetralt2.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetralt2.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetralt2.z 0 = (0g𝑅)
mdetralt2.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mdetralt2.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mdetralt2.x ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
mdetralt2.y ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
mdetralt2.i (𝜑𝐼𝑁)
mdetralt2.j (𝜑𝐽𝑁)
mdetralt2.ij (𝜑𝐼𝐽)
Assertion
Ref Expression
mdetralt2 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌)))) = 0 )
Distinct variable groups:   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗   𝑖,𝐽,𝑗   𝑖,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑗)   𝑌(𝑖,𝑗)   0 (𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetralt2
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetralt2.d . 2 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2 eqid 2733 . 2 (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
3 eqid 2733 . 2 (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
4 mdetralt2.z . 2 0 = (0g𝑅)
5 mdetralt2.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
6 mdetralt2.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
7 mdetralt2.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
8 mdetralt2.x . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
983adant2 1132 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
10 mdetralt2.y . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
119, 10ifcld 4572 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌) ∈ 𝐾)
129, 11ifcld 4572 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌)) ∈ 𝐾)
132, 6, 3, 7, 5, 12matbas2d 21906 . 2 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌))) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
14 mdetralt2.i . 2 (𝜑𝐼𝑁)
15 mdetralt2.j . 2 (𝜑𝐽𝑁)
16 mdetralt2.ij . 2 (𝜑𝐼𝐽)
17 eqidd 2734 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑁) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌))))
18 iftrue 4532 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌)) = 𝑋)
1918ad2antrl 727 . . . . . 6 (((𝜑𝑤𝑁) ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝑤)) → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌)) = 𝑋)
20 csbeq1a 3905 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑤𝑋 = 𝑤 / 𝑗𝑋)
2120ad2antll 728 . . . . . 6 (((𝜑𝑤𝑁) ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝑤)) → 𝑋 = 𝑤 / 𝑗𝑋)
2219, 21eqtrd 2773 . . . . 5 (((𝜑𝑤𝑁) ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝑤)) → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌)) = 𝑤 / 𝑗𝑋)
23 eqidd 2734 . . . . 5 (((𝜑𝑤𝑁) ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝑁 = 𝑁)
2414adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑁) → 𝐼𝑁)
25 simpr 486 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑁) → 𝑤𝑁)
26 nfv 1918 . . . . . . 7 𝑗(𝜑𝑤𝑁)
27 nfcsb1v 3916 . . . . . . . 8 𝑗𝑤 / 𝑗𝑋
2827nfel1 2920 . . . . . . 7 𝑗𝑤 / 𝑗𝑋𝐾
2926, 28nfim 1900 . . . . . 6 𝑗((𝜑𝑤𝑁) → 𝑤 / 𝑗𝑋𝐾)
30 eleq1w 2817 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑤 → (𝑗𝑁𝑤𝑁))
3130anbi2d 630 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑤 → ((𝜑𝑗𝑁) ↔ (𝜑𝑤𝑁)))
3220eleq1d 2819 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑤 → (𝑋𝐾𝑤 / 𝑗𝑋𝐾))
3331, 32imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑤 → (((𝜑𝑗𝑁) → 𝑋𝐾) ↔ ((𝜑𝑤𝑁) → 𝑤 / 𝑗𝑋𝐾)))
3429, 33, 8chvarfv 2234 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑁) → 𝑤 / 𝑗𝑋𝐾)
35 nfv 1918 . . . . 5 𝑖(𝜑𝑤𝑁)
36 nfcv 2904 . . . . 5 𝑗𝐼
37 nfcv 2904 . . . . 5 𝑖𝑤
38 nfcv 2904 . . . . 5 𝑖𝑤 / 𝑗𝑋
3917, 22, 23, 24, 25, 34, 35, 26, 36, 37, 38, 27ovmpodxf 7552 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑁) → (𝐼(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌)))𝑤) = 𝑤 / 𝑗𝑋)
40 iftrue 4532 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐽 → if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌) = 𝑋)
4140ifeq2d 4546 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐽 → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌)) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑋))
42 ifid 4566 . . . . . . . 8 if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑋) = 𝑋
4341, 42eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐽 → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌)) = 𝑋)
4443ad2antrl 727 . . . . . 6 (((𝜑𝑤𝑁) ∧ (𝑖 = 𝐽𝑗 = 𝑤)) → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌)) = 𝑋)
4520ad2antll 728 . . . . . 6 (((𝜑𝑤𝑁) ∧ (𝑖 = 𝐽𝑗 = 𝑤)) → 𝑋 = 𝑤 / 𝑗𝑋)
4644, 45eqtrd 2773 . . . . 5 (((𝜑𝑤𝑁) ∧ (𝑖 = 𝐽𝑗 = 𝑤)) → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌)) = 𝑤 / 𝑗𝑋)
47 eqidd 2734 . . . . 5 (((𝜑𝑤𝑁) ∧ 𝑖 = 𝐽) → 𝑁 = 𝑁)
4815adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑁) → 𝐽𝑁)
49 nfcv 2904 . . . . 5 𝑗𝐽
5017, 46, 47, 48, 25, 34, 35, 26, 49, 37, 38, 27ovmpodxf 7552 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑁) → (𝐽(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌)))𝑤) = 𝑤 / 𝑗𝑋)
5139, 50eqtr4d 2776 . . 3 ((𝜑𝑤𝑁) → (𝐼(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌)))𝑤) = (𝐽(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌)))𝑤))
5251ralrimiva 3147 . 2 (𝜑 → ∀𝑤𝑁 (𝐼(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌)))𝑤) = (𝐽(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌)))𝑤))
531, 2, 3, 4, 5, 13, 14, 15, 16, 52mdetralt 22091 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌)))) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  csb 3891  ifcif 4526  cfv 6539  (class class class)co 7403  cmpo 7405  Fincfn 8934  Basecbs 17139  0gc0g 17380  CRingccrg 20047   Mat cmat 21888   maDet cmdat 22067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-addf 11184  ax-mulf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8141  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-sup 9432  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-div 11867  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12468  df-xnn0 12540  df-z 12554  df-dec 12673  df-uz 12818  df-rp 12970  df-fz 13480  df-fzo 13623  df-seq 13962  df-exp 14023  df-hash 14286  df-word 14460  df-lsw 14508  df-concat 14516  df-s1 14541  df-substr 14586  df-pfx 14616  df-splice 14695  df-reverse 14704  df-s2 14794  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17140  df-ress 17169  df-plusg 17205  df-mulr 17206  df-starv 17207  df-sca 17208  df-vsca 17209  df-ip 17210  df-tset 17211  df-ple 17212  df-ds 17214  df-unif 17215  df-hom 17216  df-cco 17217  df-0g 17382  df-gsum 17383  df-prds 17388  df-pws 17390  df-mre 17525  df-mrc 17526  df-acs 17528  df-mgm 18556  df-sgrp 18605  df-mnd 18621  df-mhm 18666  df-submnd 18667  df-efmnd 18745  df-grp 18817  df-minusg 18818  df-mulg 18944  df-subg 18996  df-ghm 19083  df-gim 19126  df-cntz 19174  df-oppg 19202  df-symg 19227  df-pmtr 19302  df-psgn 19351  df-evpm 19352  df-cmn 19642  df-abl 19643  df-mgp 19979  df-ur 19996  df-ring 20048  df-cring 20049  df-oppr 20138  df-dvdsr 20159  df-unit 20160  df-invr 20190  df-dvr 20203  df-rnghom 20239  df-drng 20305  df-subrg 20348  df-sra 20772  df-rgmod 20773  df-cnfld 20929  df-zring 21002  df-zrh 21036  df-dsmm 21270  df-frlm 21285  df-mat 21889  df-mdet 22068
This theorem is referenced by:  mdetero  22093  madurid  22127
  Copyright terms: Public domain W3C validator