MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetralt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetralt2 21137
Description: The determinant function is alternating regarding rows (matrix is given explicitly by its entries). (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetralt2.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetralt2.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetralt2.z 0 = (0g𝑅)
mdetralt2.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mdetralt2.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mdetralt2.x ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
mdetralt2.y ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
mdetralt2.i (𝜑𝐼𝑁)
mdetralt2.j (𝜑𝐽𝑁)
mdetralt2.ij (𝜑𝐼𝐽)
Assertion
Ref Expression
mdetralt2 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌)))) = 0 )
Distinct variable groups:   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗   𝑖,𝐽,𝑗   𝑖,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑗)   𝑌(𝑖,𝑗)   0 (𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetralt2
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetralt2.d . 2 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2 eqid 2826 . 2 (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
3 eqid 2826 . 2 (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
4 mdetralt2.z . 2 0 = (0g𝑅)
5 mdetralt2.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
6 mdetralt2.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
7 mdetralt2.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
8 mdetralt2.x . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
983adant2 1125 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
10 mdetralt2.y . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
119, 10ifcld 4515 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌) ∈ 𝐾)
129, 11ifcld 4515 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌)) ∈ 𝐾)
132, 6, 3, 7, 5, 12matbas2d 20951 . 2 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌))) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
14 mdetralt2.i . 2 (𝜑𝐼𝑁)
15 mdetralt2.j . 2 (𝜑𝐽𝑁)
16 mdetralt2.ij . 2 (𝜑𝐼𝐽)
17 eqidd 2827 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑁) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌))))
18 iftrue 4476 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌)) = 𝑋)
1918ad2antrl 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑤𝑁) ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝑤)) → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌)) = 𝑋)
20 csbeq1a 3901 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑤𝑋 = 𝑤 / 𝑗𝑋)
2120ad2antll 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑤𝑁) ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝑤)) → 𝑋 = 𝑤 / 𝑗𝑋)
2219, 21eqtrd 2861 . . . . 5 (((𝜑𝑤𝑁) ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝑤)) → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌)) = 𝑤 / 𝑗𝑋)
23 eqidd 2827 . . . . 5 (((𝜑𝑤𝑁) ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝑁 = 𝑁)
2414adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑁) → 𝐼𝑁)
25 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑁) → 𝑤𝑁)
26 nfv 1908 . . . . . . 7 𝑗(𝜑𝑤𝑁)
27 nfcsb1v 3911 . . . . . . . 8 𝑗𝑤 / 𝑗𝑋
2827nfel1 2999 . . . . . . 7 𝑗𝑤 / 𝑗𝑋𝐾
2926, 28nfim 1890 . . . . . 6 𝑗((𝜑𝑤𝑁) → 𝑤 / 𝑗𝑋𝐾)
30 eleq1w 2900 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑤 → (𝑗𝑁𝑤𝑁))
3130anbi2d 628 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑤 → ((𝜑𝑗𝑁) ↔ (𝜑𝑤𝑁)))
3220eleq1d 2902 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑤 → (𝑋𝐾𝑤 / 𝑗𝑋𝐾))
3331, 32imbi12d 346 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑤 → (((𝜑𝑗𝑁) → 𝑋𝐾) ↔ ((𝜑𝑤𝑁) → 𝑤 / 𝑗𝑋𝐾)))
3429, 33, 8chvarfv 2235 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑁) → 𝑤 / 𝑗𝑋𝐾)
35 nfv 1908 . . . . 5 𝑖(𝜑𝑤𝑁)
36 nfcv 2982 . . . . 5 𝑗𝐼
37 nfcv 2982 . . . . 5 𝑖𝑤
38 nfcv 2982 . . . . 5 𝑖𝑤 / 𝑗𝑋
3917, 22, 23, 24, 25, 34, 35, 26, 36, 37, 38, 27ovmpodxf 7290 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑁) → (𝐼(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌)))𝑤) = 𝑤 / 𝑗𝑋)
40 iftrue 4476 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐽 → if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌) = 𝑋)
4140ifeq2d 4489 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐽 → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌)) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑋))
42 ifid 4509 . . . . . . . 8 if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑋) = 𝑋
4341, 42syl6eq 2877 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐽 → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌)) = 𝑋)
4443ad2antrl 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑤𝑁) ∧ (𝑖 = 𝐽𝑗 = 𝑤)) → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌)) = 𝑋)
4520ad2antll 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑤𝑁) ∧ (𝑖 = 𝐽𝑗 = 𝑤)) → 𝑋 = 𝑤 / 𝑗𝑋)
4644, 45eqtrd 2861 . . . . 5 (((𝜑𝑤𝑁) ∧ (𝑖 = 𝐽𝑗 = 𝑤)) → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌)) = 𝑤 / 𝑗𝑋)
47 eqidd 2827 . . . . 5 (((𝜑𝑤𝑁) ∧ 𝑖 = 𝐽) → 𝑁 = 𝑁)
4815adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑁) → 𝐽𝑁)
49 nfcv 2982 . . . . 5 𝑗𝐽
5017, 46, 47, 48, 25, 34, 35, 26, 49, 37, 38, 27ovmpodxf 7290 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑁) → (𝐽(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌)))𝑤) = 𝑤 / 𝑗𝑋)
5139, 50eqtr4d 2864 . . 3 ((𝜑𝑤𝑁) → (𝐼(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌)))𝑤) = (𝐽(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌)))𝑤))
5251ralrimiva 3187 . 2 (𝜑 → ∀𝑤𝑁 (𝐼(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌)))𝑤) = (𝐽(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌)))𝑤))
531, 2, 3, 4, 5, 13, 14, 15, 16, 52mdetralt 21136 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑋, 𝑌)))) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  csb 3887  ifcif 4470  cfv 6352  (class class class)co 7148  cmpo 7150  Fincfn 8498  Basecbs 16473  0gc0g 16703  CRingccrg 19218   Mat cmat 20935   maDet cmdat 21112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-xor 1498  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-ot 4573  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-tpos 7883  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-sup 8895  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-xnn0 11957  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-rp 12380  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-word 13852  df-lsw 13905  df-concat 13913  df-s1 13940  df-substr 13993  df-pfx 14023  df-splice 14102  df-reverse 14111  df-s2 14200  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-prds 16711  df-pws 16713  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18036  df-minusg 18037  df-mulg 18155  df-subg 18206  df-ghm 18286  df-gim 18329  df-cntz 18377  df-oppg 18404  df-symg 18426  df-pmtr 18490  df-psgn 18539  df-evpm 18540  df-cmn 18828  df-abl 18829  df-mgp 19160  df-ur 19172  df-ring 19219  df-cring 19220  df-oppr 19293  df-dvdsr 19311  df-unit 19312  df-invr 19342  df-dvr 19353  df-rnghom 19387  df-drng 19424  df-subrg 19453  df-sra 19864  df-rgmod 19865  df-cnfld 20465  df-zring 20537  df-zrh 20570  df-dsmm 20795  df-frlm 20810  df-mat 20936  df-mdet 21113
This theorem is referenced by:  mdetero  21138  madurid  21172
  Copyright terms: Public domain W3C validator