Theorem rgmoddim 31595

Description: The left vector space induced by a ring over itself has dimension 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
rgmoddim.1	⊢ 𝑉 = (ringLMod‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
rgmoddim	⊢ (𝐹 ∈ Field → (dim‘𝑉) = 1)

Proof of Theorem rgmoddim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfld 19915	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
2	1	simplbi 497	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ DivRing)
3		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
4	3	ressid 16880	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (𝐹 ↾s (Base‘𝐹)) = 𝐹)
5	4, 2	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (𝐹 ↾s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing)
6		drngring 19913	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
7	3	subrgid 19941	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐹))
8	2, 6, 7	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐹))
9		rgmoddim.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (ringLMod‘𝐹)
10		rlmval 20374	. . . . . 6 ⊢ (ringLMod‘𝐹) = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹))
11	9, 10	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹))
12		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ↾s (Base‘𝐹)) = (𝐹 ↾s (Base‘𝐹))
13	11, 12	sralvec 31577	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ (𝐹 ↾s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐹)) → 𝑉 ∈ LVec)
14	2, 5, 8, 13	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝑉 ∈ LVec)
15	2, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ Ring)
16		ssidd 3940	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹))
17	11, 3	sraring 31574	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹)) → 𝑉 ∈ Ring)
18	15, 16, 17	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝑉 ∈ Ring)
19		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
20		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑉) = (1r‘𝑉)
21	19, 20	ringidcl 19722	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Ring → (1r‘𝑉) ∈ (Base‘𝑉))
22	18, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (1r‘𝑉) ∈ (Base‘𝑉))
23	11, 3	sradrng 31575	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹)) → 𝑉 ∈ DivRing)
24	2, 16, 23	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝑉 ∈ DivRing)
25		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑉) = (0g‘𝑉)
26	25, 20	drngunz 19921	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ DivRing → (1r‘𝑉) ≠ (0g‘𝑉))
27	24, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (1r‘𝑉) ≠ (0g‘𝑉))
28	19, 25	lindssn 31475	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (1r‘𝑉) ∈ (Base‘𝑉) ∧ (1r‘𝑉) ≠ (0g‘𝑉)) → {(1r‘𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉))
29	14, 22, 27, 28	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Field → {(1r‘𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉))
30		rspval 20376	. . . . . . . . 9 ⊢ (RSpan‘𝐹) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐹))
31	9	fveq2i 6759	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑉) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐹))
32	30, 31	eqtr4i 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘𝐹) = (LSpan‘𝑉)
33	32	fveq1i 6757	. . . . . . 7 ⊢ ((RSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}) = ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝐹)})
34		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘𝐹) = (RSpan‘𝐹)
35		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
36	34, 3, 35	rsp1 20408	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → ((RSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}) = (Base‘𝐹))
37	33, 36	eqtr3id 2793	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝐹)}) = (Base‘𝐹))
38	2, 6, 37	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝐹)}) = (Base‘𝐹))
39	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝑉 = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹)))
40		eqidd 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹))
41	39, 40, 16	sra1r 31573	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (1r‘𝐹) = (1r‘𝑉))
42	41	sneqd 4570	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Field → {(1r‘𝐹)} = {(1r‘𝑉)})
43	42	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝐹)}) = ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝑉)}))
44	39, 16	srabase 20356	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (Base‘𝐹) = (Base‘𝑉))
45	38, 43, 44	3eqtr3d 2786	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Field → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝑉)}) = (Base‘𝑉))
46		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝑉) = (LBasis‘𝑉)
47		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑉) = (LSpan‘𝑉)
48	19, 46, 47	islbs4 20949	. . . 4 ⊢ ({(1r‘𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉) ↔ ({(1r‘𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉) ∧ ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝑉)}) = (Base‘𝑉)))
49	29, 45, 48	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Field → {(1r‘𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉))
50	46	dimval 31588	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ {(1r‘𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = (♯‘{(1r‘𝑉)}))
51	14, 49, 50	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (dim‘𝑉) = (♯‘{(1r‘𝑉)}))
52		fvex 6769	. . 3 ⊢ (1r‘𝑉) ∈ V
53		hashsng 14012	. . 3 ⊢ ((1r‘𝑉) ∈ V → (♯‘{(1r‘𝑉)}) = 1)
54	52, 53	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{(1r‘𝑉)}) = 1
55	51, 54	eqtrdi 2795	1 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (dim‘𝑉) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1c1 10803  ♯chash 13972  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  0_gc0g 17067  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  CRingccrg 19699  DivRingcdr 19906  Fieldcfield 19907  SubRingcsubrg 19935  LSpanclspn 20148  LBasisclbs 20251  LVecclvec 20279  subringAlg csra 20345  ringLModcrglmod 20346  RSpancrsp 20348  LIndSclinds 20922  dimcldim 31586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-reg 9281  ax-inf2 9329  ax-ac2 10150  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-oi 9199  df-r1 9453  df-rank 9454  df-card 9628  df-acn 9631  df-ac 9803  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ocomp 16909  df-0g 17069  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-mri 17214  df-acs 17215  df-proset 17928  df-drs 17929  df-poset 17946  df-ipo 18161  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-drng 19908  df-field 19909  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lbs 20252  df-lvec 20280  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-lidl 20351  df-rsp 20352  df-lindf 20923  df-linds 20924  df-dim 31587

This theorem is referenced by:  extdgid  31637