Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rgmoddim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rgmoddim 31162
 Description: The left vector space induced by a ring over itself has dimension 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Aug-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
rgmoddim.1 𝑉 = (ringLMod‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
rgmoddim (𝐹 ∈ Field → (dim‘𝑉) = 1)

Proof of Theorem rgmoddim
StepHypRef Expression
1 isfld 19525 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
21simplbi 501 . . . 4 (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ DivRing)
3 eqid 2798 . . . . . 6 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
43ressid 16571 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field → (𝐹s (Base‘𝐹)) = 𝐹)
54, 2eqeltrd 2890 . . . 4 (𝐹 ∈ Field → (𝐹s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing)
6 drngring 19523 . . . . 5 (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
73subrgid 19551 . . . . 5 (𝐹 ∈ Ring → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐹))
82, 6, 73syl 18 . . . 4 (𝐹 ∈ Field → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐹))
9 rgmoddim.1 . . . . . 6 𝑉 = (ringLMod‘𝐹)
10 rlmval 19977 . . . . . 6 (ringLMod‘𝐹) = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹))
119, 10eqtri 2821 . . . . 5 𝑉 = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹))
12 eqid 2798 . . . . 5 (𝐹s (Base‘𝐹)) = (𝐹s (Base‘𝐹))
1311, 12sralvec 31144 . . . 4 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ (𝐹s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐹)) → 𝑉 ∈ LVec)
142, 5, 8, 13syl3anc 1368 . . 3 (𝐹 ∈ Field → 𝑉 ∈ LVec)
152, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ Ring)
16 ssidd 3940 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Field → (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹))
1711, 3sraring 31141 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Ring ∧ (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹)) → 𝑉 ∈ Ring)
1815, 16, 17syl2anc 587 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Field → 𝑉 ∈ Ring)
19 eqid 2798 . . . . . . 7 (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
20 eqid 2798 . . . . . . 7 (1r𝑉) = (1r𝑉)
2119, 20ringidcl 19335 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Ring → (1r𝑉) ∈ (Base‘𝑉))
2218, 21syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field → (1r𝑉) ∈ (Base‘𝑉))
2311, 3sradrng 31142 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹)) → 𝑉 ∈ DivRing)
242, 16, 23syl2anc 587 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Field → 𝑉 ∈ DivRing)
25 eqid 2798 . . . . . . 7 (0g𝑉) = (0g𝑉)
2625, 20drngunz 19531 . . . . . 6 (𝑉 ∈ DivRing → (1r𝑉) ≠ (0g𝑉))
2724, 26syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field → (1r𝑉) ≠ (0g𝑉))
2819, 25lindssn 31042 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (1r𝑉) ∈ (Base‘𝑉) ∧ (1r𝑉) ≠ (0g𝑉)) → {(1r𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉))
2914, 22, 27, 28syl3anc 1368 . . . 4 (𝐹 ∈ Field → {(1r𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉))
30 rspval 19979 . . . . . . . . 9 (RSpan‘𝐹) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐹))
319fveq2i 6658 . . . . . . . . 9 (LSpan‘𝑉) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐹))
3230, 31eqtr4i 2824 . . . . . . . 8 (RSpan‘𝐹) = (LSpan‘𝑉)
3332fveq1i 6656 . . . . . . 7 ((RSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)}) = ((LSpan‘𝑉)‘{(1r𝐹)})
34 eqid 2798 . . . . . . . 8 (RSpan‘𝐹) = (RSpan‘𝐹)
35 eqid 2798 . . . . . . . 8 (1r𝐹) = (1r𝐹)
3634, 3, 35rsp1 20011 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Ring → ((RSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)}) = (Base‘𝐹))
3733, 36syl5eqr 2847 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r𝐹)}) = (Base‘𝐹))
382, 6, 373syl 18 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r𝐹)}) = (Base‘𝐹))
3911a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Field → 𝑉 = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹)))
40 eqidd 2799 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Field → (1r𝐹) = (1r𝐹))
4139, 40, 16sra1r 31140 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Field → (1r𝐹) = (1r𝑉))
4241sneqd 4540 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Field → {(1r𝐹)} = {(1r𝑉)})
4342fveq2d 6659 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r𝐹)}) = ((LSpan‘𝑉)‘{(1r𝑉)}))
4439, 16srabase 19964 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field → (Base‘𝐹) = (Base‘𝑉))
4538, 43, 443eqtr3d 2841 . . . 4 (𝐹 ∈ Field → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r𝑉)}) = (Base‘𝑉))
46 eqid 2798 . . . . 5 (LBasis‘𝑉) = (LBasis‘𝑉)
47 eqid 2798 . . . . 5 (LSpan‘𝑉) = (LSpan‘𝑉)
4819, 46, 47islbs4 20543 . . . 4 ({(1r𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉) ↔ ({(1r𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉) ∧ ((LSpan‘𝑉)‘{(1r𝑉)}) = (Base‘𝑉)))
4929, 45, 48sylanbrc 586 . . 3 (𝐹 ∈ Field → {(1r𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉))
5046dimval 31155 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ {(1r𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = (♯‘{(1r𝑉)}))
5114, 49, 50syl2anc 587 . 2 (𝐹 ∈ Field → (dim‘𝑉) = (♯‘{(1r𝑉)}))
52 fvex 6668 . . 3 (1r𝑉) ∈ V
53 hashsng 13746 . . 3 ((1r𝑉) ∈ V → (♯‘{(1r𝑉)}) = 1)
5452, 53ax-mp 5 . 2 (♯‘{(1r𝑉)}) = 1
5551, 54eqtrdi 2849 1 (𝐹 ∈ Field → (dim‘𝑉) = 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3442   ⊆ wss 3883  {csn 4528  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  1c1 10545  ♯chash 13706  Basecbs 16495   ↾s cress 16496  0gc0g 16725  1rcur 19265  Ringcrg 19311  CRingccrg 19312  DivRingcdr 19516  Fieldcfield 19517  SubRingcsubrg 19545  LSpanclspn 19757  LBasisclbs 19860  LVecclvec 19888  subringAlg csra 19954  ringLModcrglmod 19955  RSpancrsp 19957  LIndSclinds 20516  dimcldim 31153 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-reg 9058  ax-inf2 9106  ax-ac2 9892  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-iin 4888  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7893  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-map 8409  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-oi 8976  df-r1 9195  df-rank 9196  df-card 9370  df-acn 9373  df-ac 9545  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-xnn0 11976  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-fz 12906  df-hash 13707  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-sca 16593  df-vsca 16594  df-ip 16595  df-tset 16596  df-ple 16597  df-ocomp 16598  df-0g 16727  df-mre 16869  df-mrc 16870  df-mri 16871  df-acs 16872  df-proset 17550  df-drs 17551  df-poset 17568  df-ipo 17774  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-submnd 17969  df-grp 18118  df-minusg 18119  df-sbg 18120  df-subg 18289  df-cmn 18921  df-abl 18922  df-mgp 19254  df-ur 19266  df-ring 19313  df-oppr 19390  df-dvdsr 19408  df-unit 19409  df-invr 19439  df-drng 19518  df-field 19519  df-subrg 19547  df-lmod 19650  df-lss 19718  df-lsp 19758  df-lbs 19861  df-lvec 19889  df-sra 19958  df-rgmod 19959  df-lidl 19960  df-rsp 19961  df-lindf 20517  df-linds 20518  df-dim 31154 This theorem is referenced by:  extdgid  31204
 Copyright terms: Public domain W3C validator