Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rgmoddim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rgmoddim 32127
Description: The left vector space induced by a ring over itself has dimension 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Aug-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
rgmoddim.1 𝑉 = (ringLMod‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
rgmoddim (𝐹 ∈ Field → (dim‘𝑉) = 1)

Proof of Theorem rgmoddim
StepHypRef Expression
1 isfld 20149 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
21simplbi 498 . . . 4 (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ DivRing)
3 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
43ressid 17085 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field → (𝐹s (Base‘𝐹)) = 𝐹)
54, 2eqeltrd 2838 . . . 4 (𝐹 ∈ Field → (𝐹s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing)
6 drngring 20145 . . . . 5 (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
73subrgid 20177 . . . . 5 (𝐹 ∈ Ring → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐹))
82, 6, 73syl 18 . . . 4 (𝐹 ∈ Field → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐹))
9 rgmoddim.1 . . . . . 6 𝑉 = (ringLMod‘𝐹)
10 rlmval 20613 . . . . . 6 (ringLMod‘𝐹) = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹))
119, 10eqtri 2765 . . . . 5 𝑉 = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹))
12 eqid 2737 . . . . 5 (𝐹s (Base‘𝐹)) = (𝐹s (Base‘𝐹))
1311, 12sralvec 32109 . . . 4 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ (𝐹s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐹)) → 𝑉 ∈ LVec)
142, 5, 8, 13syl3anc 1371 . . 3 (𝐹 ∈ Field → 𝑉 ∈ LVec)
152, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ Ring)
16 ssidd 3965 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Field → (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹))
1711, 3sraring 32106 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Ring ∧ (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹)) → 𝑉 ∈ Ring)
1815, 16, 17syl2anc 584 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Field → 𝑉 ∈ Ring)
19 eqid 2737 . . . . . . 7 (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
20 eqid 2737 . . . . . . 7 (1r𝑉) = (1r𝑉)
2119, 20ringidcl 19943 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Ring → (1r𝑉) ∈ (Base‘𝑉))
2218, 21syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field → (1r𝑉) ∈ (Base‘𝑉))
2311, 3sradrng 32107 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹)) → 𝑉 ∈ DivRing)
242, 16, 23syl2anc 584 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Field → 𝑉 ∈ DivRing)
25 eqid 2737 . . . . . . 7 (0g𝑉) = (0g𝑉)
2625, 20drngunz 20156 . . . . . 6 (𝑉 ∈ DivRing → (1r𝑉) ≠ (0g𝑉))
2724, 26syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field → (1r𝑉) ≠ (0g𝑉))
2819, 25lindssn 31992 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (1r𝑉) ∈ (Base‘𝑉) ∧ (1r𝑉) ≠ (0g𝑉)) → {(1r𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉))
2914, 22, 27, 28syl3anc 1371 . . . 4 (𝐹 ∈ Field → {(1r𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉))
30 rspval 20615 . . . . . . . . 9 (RSpan‘𝐹) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐹))
319fveq2i 6842 . . . . . . . . 9 (LSpan‘𝑉) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐹))
3230, 31eqtr4i 2768 . . . . . . . 8 (RSpan‘𝐹) = (LSpan‘𝑉)
3332fveq1i 6840 . . . . . . 7 ((RSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)}) = ((LSpan‘𝑉)‘{(1r𝐹)})
34 eqid 2737 . . . . . . . 8 (RSpan‘𝐹) = (RSpan‘𝐹)
35 eqid 2737 . . . . . . . 8 (1r𝐹) = (1r𝐹)
3634, 3, 35rsp1 20647 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Ring → ((RSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)}) = (Base‘𝐹))
3733, 36eqtr3id 2791 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r𝐹)}) = (Base‘𝐹))
382, 6, 373syl 18 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r𝐹)}) = (Base‘𝐹))
3911a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Field → 𝑉 = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹)))
40 eqidd 2738 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Field → (1r𝐹) = (1r𝐹))
4139, 40, 16sra1r 32105 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Field → (1r𝐹) = (1r𝑉))
4241sneqd 4596 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Field → {(1r𝐹)} = {(1r𝑉)})
4342fveq2d 6843 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r𝐹)}) = ((LSpan‘𝑉)‘{(1r𝑉)}))
4439, 16srabase 20593 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field → (Base‘𝐹) = (Base‘𝑉))
4538, 43, 443eqtr3d 2785 . . . 4 (𝐹 ∈ Field → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r𝑉)}) = (Base‘𝑉))
46 eqid 2737 . . . . 5 (LBasis‘𝑉) = (LBasis‘𝑉)
47 eqid 2737 . . . . 5 (LSpan‘𝑉) = (LSpan‘𝑉)
4819, 46, 47islbs4 21191 . . . 4 ({(1r𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉) ↔ ({(1r𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉) ∧ ((LSpan‘𝑉)‘{(1r𝑉)}) = (Base‘𝑉)))
4929, 45, 48sylanbrc 583 . . 3 (𝐹 ∈ Field → {(1r𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉))
5046dimval 32120 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ {(1r𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = (♯‘{(1r𝑉)}))
5114, 49, 50syl2anc 584 . 2 (𝐹 ∈ Field → (dim‘𝑉) = (♯‘{(1r𝑉)}))
52 fvex 6852 . . 3 (1r𝑉) ∈ V
53 hashsng 14223 . . 3 ((1r𝑉) ∈ V → (♯‘{(1r𝑉)}) = 1)
5452, 53ax-mp 5 . 2 (♯‘{(1r𝑉)}) = 1
5551, 54eqtrdi 2793 1 (𝐹 ∈ Field → (dim‘𝑉) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  Vcvv 3443  wss 3908  {csn 4584  cfv 6493  (class class class)co 7351  1c1 11010  chash 14184  Basecbs 17043  s cress 17072  0gc0g 17281  1rcur 19872  Ringcrg 19918  CRingccrg 19919  DivRingcdr 20138  Fieldcfield 20139  SubRingcsubrg 20171  LSpanclspn 20385  LBasisclbs 20488  LVecclvec 20516  subringAlg csra 20582  ringLModcrglmod 20583  RSpancrsp 20585  LIndSclinds 21164  dimcldim 32118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-reg 9486  ax-inf2 9535  ax-ac2 10357  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-tpos 8149  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-oi 9404  df-r1 9658  df-rank 9659  df-card 9833  df-acn 9836  df-ac 10010  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-xnn0 12444  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-fz 13379  df-hash 14185  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-ip 17111  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ocomp 17114  df-0g 17283  df-mre 17426  df-mrc 17427  df-mri 17428  df-acs 17429  df-proset 18144  df-drs 18145  df-poset 18162  df-ipo 18377  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-submnd 18562  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-sbg 18713  df-subg 18884  df-cmn 19523  df-abl 19524  df-mgp 19856  df-ur 19873  df-ring 19920  df-oppr 20002  df-dvdsr 20023  df-unit 20024  df-invr 20054  df-drng 20140  df-field 20141  df-subrg 20173  df-lmod 20277  df-lss 20346  df-lsp 20386  df-lbs 20489  df-lvec 20517  df-sra 20586  df-rgmod 20587  df-lidl 20588  df-rsp 20589  df-lindf 21165  df-linds 21166  df-dim 32119
This theorem is referenced by:  extdgid  32169
  Copyright terms: Public domain W3C validator