Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rgmoddim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rgmoddim 32369
Description: The left vector space induced by a ring over itself has dimension 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Aug-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
rgmoddim.1 𝑉 = (ringLModβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
rgmoddim (𝐹 ∈ Field β†’ (dimβ€˜π‘‰) = 1)

Proof of Theorem rgmoddim
StepHypRef Expression
1 isfld 20230 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
21simplbi 499 . . . 4 (𝐹 ∈ Field β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
3 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
43ressid 17133 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field β†’ (𝐹 β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)) = 𝐹)
54, 2eqeltrd 2834 . . . 4 (𝐹 ∈ Field β†’ (𝐹 β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)) ∈ DivRing)
6 drngring 20226 . . . . 5 (𝐹 ∈ DivRing β†’ 𝐹 ∈ Ring)
73subrgid 20266 . . . . 5 (𝐹 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜πΉ) ∈ (SubRingβ€˜πΉ))
82, 6, 73syl 18 . . . 4 (𝐹 ∈ Field β†’ (Baseβ€˜πΉ) ∈ (SubRingβ€˜πΉ))
9 rgmoddim.1 . . . . . 6 𝑉 = (ringLModβ€˜πΉ)
10 rlmval 20705 . . . . . 6 (ringLModβ€˜πΉ) = ((subringAlg β€˜πΉ)β€˜(Baseβ€˜πΉ))
119, 10eqtri 2761 . . . . 5 𝑉 = ((subringAlg β€˜πΉ)β€˜(Baseβ€˜πΉ))
12 eqid 2733 . . . . 5 (𝐹 β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)) = (𝐹 β†Ύs (Baseβ€˜πΉ))
1311, 12sralvec 32351 . . . 4 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ (𝐹 β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)) ∈ DivRing ∧ (Baseβ€˜πΉ) ∈ (SubRingβ€˜πΉ)) β†’ 𝑉 ∈ LVec)
142, 5, 8, 13syl3anc 1372 . . 3 (𝐹 ∈ Field β†’ 𝑉 ∈ LVec)
152, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Field β†’ 𝐹 ∈ Ring)
16 ssidd 3971 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Field β†’ (Baseβ€˜πΉ) βŠ† (Baseβ€˜πΉ))
1711, 3sraring 32348 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Ring ∧ (Baseβ€˜πΉ) βŠ† (Baseβ€˜πΉ)) β†’ 𝑉 ∈ Ring)
1815, 16, 17syl2anc 585 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Field β†’ 𝑉 ∈ Ring)
19 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘‰) = (Baseβ€˜π‘‰)
20 eqid 2733 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘‰) = (1rβ€˜π‘‰)
2119, 20ringidcl 19997 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘‰) ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
2218, 21syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field β†’ (1rβ€˜π‘‰) ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
2311, 3sradrng 32349 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ (Baseβ€˜πΉ) βŠ† (Baseβ€˜πΉ)) β†’ 𝑉 ∈ DivRing)
242, 16, 23syl2anc 585 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Field β†’ 𝑉 ∈ DivRing)
25 eqid 2733 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘‰) = (0gβ€˜π‘‰)
2625, 20drngunz 20237 . . . . . 6 (𝑉 ∈ DivRing β†’ (1rβ€˜π‘‰) β‰  (0gβ€˜π‘‰))
2724, 26syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field β†’ (1rβ€˜π‘‰) β‰  (0gβ€˜π‘‰))
2819, 25lindssn 32220 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (1rβ€˜π‘‰) ∈ (Baseβ€˜π‘‰) ∧ (1rβ€˜π‘‰) β‰  (0gβ€˜π‘‰)) β†’ {(1rβ€˜π‘‰)} ∈ (LIndSβ€˜π‘‰))
2914, 22, 27, 28syl3anc 1372 . . . 4 (𝐹 ∈ Field β†’ {(1rβ€˜π‘‰)} ∈ (LIndSβ€˜π‘‰))
30 rspval 20707 . . . . . . . . 9 (RSpanβ€˜πΉ) = (LSpanβ€˜(ringLModβ€˜πΉ))
319fveq2i 6849 . . . . . . . . 9 (LSpanβ€˜π‘‰) = (LSpanβ€˜(ringLModβ€˜πΉ))
3230, 31eqtr4i 2764 . . . . . . . 8 (RSpanβ€˜πΉ) = (LSpanβ€˜π‘‰)
3332fveq1i 6847 . . . . . . 7 ((RSpanβ€˜πΉ)β€˜{(1rβ€˜πΉ)}) = ((LSpanβ€˜π‘‰)β€˜{(1rβ€˜πΉ)})
34 eqid 2733 . . . . . . . 8 (RSpanβ€˜πΉ) = (RSpanβ€˜πΉ)
35 eqid 2733 . . . . . . . 8 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
3634, 3, 35rsp1 20739 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Ring β†’ ((RSpanβ€˜πΉ)β€˜{(1rβ€˜πΉ)}) = (Baseβ€˜πΉ))
3733, 36eqtr3id 2787 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring β†’ ((LSpanβ€˜π‘‰)β€˜{(1rβ€˜πΉ)}) = (Baseβ€˜πΉ))
382, 6, 373syl 18 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field β†’ ((LSpanβ€˜π‘‰)β€˜{(1rβ€˜πΉ)}) = (Baseβ€˜πΉ))
3911a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Field β†’ 𝑉 = ((subringAlg β€˜πΉ)β€˜(Baseβ€˜πΉ)))
40 eqidd 2734 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Field β†’ (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ))
4139, 40, 16sra1r 32347 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Field β†’ (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜π‘‰))
4241sneqd 4602 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Field β†’ {(1rβ€˜πΉ)} = {(1rβ€˜π‘‰)})
4342fveq2d 6850 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field β†’ ((LSpanβ€˜π‘‰)β€˜{(1rβ€˜πΉ)}) = ((LSpanβ€˜π‘‰)β€˜{(1rβ€˜π‘‰)}))
4439, 16srabase 20685 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field β†’ (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜π‘‰))
4538, 43, 443eqtr3d 2781 . . . 4 (𝐹 ∈ Field β†’ ((LSpanβ€˜π‘‰)β€˜{(1rβ€˜π‘‰)}) = (Baseβ€˜π‘‰))
46 eqid 2733 . . . . 5 (LBasisβ€˜π‘‰) = (LBasisβ€˜π‘‰)
47 eqid 2733 . . . . 5 (LSpanβ€˜π‘‰) = (LSpanβ€˜π‘‰)
4819, 46, 47islbs4 21261 . . . 4 ({(1rβ€˜π‘‰)} ∈ (LBasisβ€˜π‘‰) ↔ ({(1rβ€˜π‘‰)} ∈ (LIndSβ€˜π‘‰) ∧ ((LSpanβ€˜π‘‰)β€˜{(1rβ€˜π‘‰)}) = (Baseβ€˜π‘‰)))
4929, 45, 48sylanbrc 584 . . 3 (𝐹 ∈ Field β†’ {(1rβ€˜π‘‰)} ∈ (LBasisβ€˜π‘‰))
5046dimval 32362 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ {(1rβ€˜π‘‰)} ∈ (LBasisβ€˜π‘‰)) β†’ (dimβ€˜π‘‰) = (β™―β€˜{(1rβ€˜π‘‰)}))
5114, 49, 50syl2anc 585 . 2 (𝐹 ∈ Field β†’ (dimβ€˜π‘‰) = (β™―β€˜{(1rβ€˜π‘‰)}))
52 fvex 6859 . . 3 (1rβ€˜π‘‰) ∈ V
53 hashsng 14278 . . 3 ((1rβ€˜π‘‰) ∈ V β†’ (β™―β€˜{(1rβ€˜π‘‰)}) = 1)
5452, 53ax-mp 5 . 2 (β™―β€˜{(1rβ€˜π‘‰)}) = 1
5551, 54eqtrdi 2789 1 (𝐹 ∈ Field β†’ (dimβ€˜π‘‰) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  {csn 4590  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  1c1 11060  β™―chash 14239  Basecbs 17091   β†Ύs cress 17120  0gc0g 17329  1rcur 19921  Ringcrg 19972  CRingccrg 19973  DivRingcdr 20219  Fieldcfield 20220  SubRingcsubrg 20260  LSpanclspn 20476  LBasisclbs 20579  LVecclvec 20607  subringAlg csra 20674  ringLModcrglmod 20675  RSpancrsp 20677  LIndSclinds 21234  dimcldim 32360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-reg 9536  ax-inf2 9585  ax-ac2 10407  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-oi 9454  df-r1 9708  df-rank 9709  df-card 9883  df-acn 9886  df-ac 10060  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ocomp 17162  df-0g 17331  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-mri 17476  df-acs 17477  df-proset 18192  df-drs 18193  df-poset 18210  df-ipo 18425  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-drng 20221  df-field 20222  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-lbs 20580  df-lvec 20608  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-lidl 20680  df-rsp 20681  df-lindf 21235  df-linds 21236  df-dim 32361
This theorem is referenced by:  extdgid  32413
  Copyright terms: Public domain W3C validator