Theorem selvply1rhmlem1 33819

Description: Lemma for selvply1rhm 33824. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhmlem1	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑄))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑛   𝑛,𝐼   𝑄,𝑓   𝑅,𝑛   𝑈,𝑛   𝑛,𝑋   𝜑,𝑓,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑓,𝑛)   𝑄(𝑛)   𝑅(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑛)   𝐼(𝑓)   𝑉(𝑓,𝑛)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem selvply1rhmlem1

Dummy variables 𝑚 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6882	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑈) ∈ V)
2		ovexd 7431	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (ℕ0 ↑m 1o) ∈ V)
3		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑋} mPoly 𝑈) = ({𝑋} mPoly 𝑈)
4		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
5		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈))
6		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}
7	6	psrbasfsupp 33810	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
8		selvply1rhm.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
9		selvply1rhm.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
10		selvply1rhm.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
11		selvply1rhm.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
12	11	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
13		selvply1rhm.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
14	13	snssd 4746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
15	14	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → {𝑋} ⊆ 𝐼)
16		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 𝑓 ∈ 𝐵)
17	8, 9, 10, 3, 5, 12, 15, 16	selvcl 22200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)))
18	3, 4, 5, 7, 17	mplelf 22056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑈))
19	18	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑈))
20		breq1 5104	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} → (ℎ finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0))
21		nn0ex 12497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ℕ0 ∈ V)
23		snex 5397	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑋} ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {𝑋} ∈ V)
25	13	ad2antrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑋 ∈ 𝐼)
26		1oex 8447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1o ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 1o ∈ V)
28		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
29	27, 22, 28	elmaprd 32888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛:1o⟶ℕ0)
30		0lt1o 8473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ 1o
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ∅ ∈ 1o)
32	29, 31	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑛‘∅) ∈ ℕ0)
33	25, 32	fsnd 6851	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}:{𝑋}⟶ℕ0)
34	22, 24, 33	elmapdd 8822	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}))
35		c0ex 11184	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 0 ∈ V)
37		snopfsupp 9335	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑛‘∅) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ V) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
38	25, 32, 36, 37	syl3anc 1392	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
39	20, 34, 38	elrabd 3653	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0})
40	19, 39	ffvelcdmd 7066	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) ∈ (Base‘𝑈))
41	40	fmpttd 7096	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
42	1, 2, 41	elmapdd 8822	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ ((Base‘𝑈) ↑m (ℕ0 ↑m 1o)))
43		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (1o mPwSer 𝑈) = (1o mPwSer 𝑈)
44		psr1baslem 22254	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
45		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘(1o mPwSer 𝑈)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑈))
46	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 1o ∈ V)
47	43, 4, 44, 45, 46	psrbas 21993	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (Base‘(1o mPwSer 𝑈)) = ((Base‘𝑈) ↑m (ℕ0 ↑m 1o)))
48	42, 47	eleqtrrd 2866	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑈)))
49	18, 39	cofmpt 7114	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) ∘ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
50		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
51	3, 5, 50, 17	mplelsfi 22053	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) finSupp (0g‘𝑈))
52	34	ralrimiva 3155	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o){⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}))
53	25	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑋 ∈ 𝐼)
54		fvexd 6882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → (𝑛‘∅) ∈ V)
55		opex 5432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ ∈ V
56	55	sneqr 4799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩)
57	56	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩)
58		opthg 5446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑛‘∅) ∈ V) → (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩ ↔ (𝑋 = 𝑋 ∧ (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))))
59	58	simplbda 503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑛‘∅) ∈ V) ∧ ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩) → (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))
60	53, 54, 57, 59	syl21anc 848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))
61		0ex 5258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → ∅ ∈ V)
63		df1o2 8444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = {∅}
64	29	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑛:1o⟶ℕ0)
65	64	ffnd 6692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑛 Fn 1o)
66	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 1o ∈ V)
67	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → ℕ0 ∈ V)
68		simplr 778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
69	66, 67, 68	elmaprd 32888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑚:1o⟶ℕ0)
70	69	ffnd 6692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑚 Fn 1o)
71	62, 63, 65, 70	fsneq 7016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → (𝑛 = 𝑚 ↔ (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅)))
72	60, 71	mpbird 259	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑛 = 𝑚)
73	72	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → 𝑛 = 𝑚))
74	73	anasss 470	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → 𝑛 = 𝑚))
75	74	ralrimivva 3206	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)∀𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → 𝑛 = 𝑚))
76		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})
77		fveq1 6866	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))
78	77	opeq2d 4839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩)
79	78	sneqd 4595	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩})
80	76, 79	f1mpt 7245	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1→(ℕ0 ↑m {𝑋}) ↔ (∀𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o){⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∧ ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)∀𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → 𝑛 = 𝑚)))
81	52, 75, 80	sylanbrc 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1→(ℕ0 ↑m {𝑋}))
82		fvexd 6882	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑈) ∈ V)
83	51, 81, 82, 17	fsuppco 9346	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) ∘ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) finSupp (0g‘𝑈))
84	49, 83	eqbrtrrd 5125	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) finSupp (0g‘𝑈))
85		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
86		selvply1rhm.4	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
87		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
88	86, 87	ply1bas 22264	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
89	85, 43, 45, 50, 88	mplelbas 22049	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ((𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑈)) ∧ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) finSupp (0g‘𝑈)))
90	48, 84, 89	sylanbrc 592	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ (Base‘𝑄))
91		selvply1rhm.5	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
92	90, 91	fmptd 7095	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∀wral 3077  {crab 3415  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4583  ⟨cop 4589   class class class wbr 5101   ↦ cmpt 5182   ∘ ccom 5652  ⟶wf 6517  –1-1→wf1 6518  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  1_oc1o 8430   ↑_m cmap 8808   finSupp cfsupp 9305  0cc0 11084  ℕ₀cn0 12491  Basecbs 17255  0_gc0g 17478  CRingccrg 20294   mPwSer cmps 21963   mPoly cmpl 21965   selectVars cslv 22176  Poly₁cpl1 22246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-ofr 7661  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9306  df-sup 9386  df-oi 9456  df-card 9909  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-7 12295  df-8 12296  df-9 12297  df-n0 12492  df-z 12579  df-dec 12699  df-uz 12850  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14025  df-hash 14354  df-struct 17193  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-ress 17277  df-plusg 17309  df-mulr 17310  df-sca 17312  df-vsca 17313  df-ip 17314  df-tset 17315  df-ple 17316  df-ds 17318  df-hom 17320  df-cco 17321  df-0g 17480  df-gsum 17481  df-prds 17486  df-pws 17488  df-mre 17624  df-mrc 17625  df-acs 17627  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-mhm 18827  df-submnd 18828  df-grp 18988  df-minusg 18989  df-sbg 18990  df-mulg 19120  df-subg 19175  df-ghm 19264  df-cntz 19367  df-cmn 19832  df-abl 19833  df-mgp 20197  df-rng 20209  df-ur 20242  df-srg 20247  df-ring 20295  df-cring 20296  df-rhm 20531  df-subrng 20606  df-subrg 20630  df-lmod 20936  df-lss 21006  df-lsp 21046  df-assa 21912  df-asp 21913  df-ascl 21914  df-psr 21968  df-mvr 21969  df-mpl 21970  df-opsr 21972  df-evls 22134  df-selv 22177  df-psr1 22249  df-ply1 22251

This theorem is referenced by:  selvply1rhmlem4  33822  selvply1rhm  33824