Theorem selvply1rhmlem1 34032

Description: Lemma for selvply1rhm 34037. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhmlem1	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑄))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑛   𝑛,𝐼   𝑄,𝑓   𝑅,𝑛   𝑈,𝑛   𝑛,𝑋   𝜑,𝑓,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑓, 𝑛)   𝑄(𝑛)   𝑅(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓, 𝑛)   𝐼(𝑓)   𝑉(𝑓, 𝑛)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem selvply1rhmlem1

Dummy variables 𝑚 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6897	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑈) ∈ V)
2		ovexd 7451	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (ℕ0 ↑m 1o) ∈ V)
3		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑋} mPoly 𝑈) = ({𝑋} mPoly 𝑈)
4		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
5		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈))
6		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}
7	6	psrbasfsupp 34023	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
8		selvply1rhm.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
9		selvply1rhm.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
10		selvply1rhm.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
11		selvply1rhm.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
12	11	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
13		selvply1rhm.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
14	13	snssd 4750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
15	14	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → {𝑋} ⊆ 𝐼)
16		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 𝑓 ∈ 𝐵)
17	8, 9, 10, 3, 5, 12, 15, 16	selvcl 22360	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)))
18	3, 4, 5, 7, 17	mplelf 22216	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑈))
19	18	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑈))
20		breq1 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} → (ℎ finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0))
21		nn0ex 12537	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ℕ0 ∈ V)
23		snex 5408	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑋} ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {𝑋} ∈ V)
25	13	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑋 ∈ 𝐼)
26		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
27	26	elmaprd 8852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛:1o⟶ℕ0)
28		0lt1o 8494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ 1o
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ∅ ∈ 1o)
30	27, 29	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑛‘∅) ∈ ℕ0)
31	25, 30	fsnd 6866	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}:{𝑋}⟶ℕ0)
32	22, 24, 31	elmapdd 8843	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}))
33		c0ex 11227	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 0 ∈ V)
35		snopfsupp 9364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑛‘∅) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ V) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
36	25, 30, 34, 35	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
37	20, 32, 36	elrabd 3650	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0})
38	19, 37	ffvelcdmd 7081	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) ∈ (Base‘𝑈))
39	38	fmpttd 7111	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
40	1, 2, 39	elmapdd 8843	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ ((Base‘𝑈) ↑m (ℕ0 ↑m 1o)))
41		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (1o mPwSer 𝑈) = (1o mPwSer 𝑈)
42		psr1baslem 22414	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
43		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘(1o mPwSer 𝑈)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑈))
44		1oex 8468	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
45	44	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 1o ∈ V)
46	41, 4, 42, 43, 45	psrbas 22153	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (Base‘(1o mPwSer 𝑈)) = ((Base‘𝑈) ↑m (ℕ0 ↑m 1o)))
47	40, 46	eleqtrrd 2865	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑈)))
48	18, 37	cofmpt 7129	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) ∘ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
49		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
50	3, 5, 49, 17	mplelsfi 22213	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) finSupp (0g‘𝑈))
51	32	ralrimiva 3156	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o){⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}))
52	25	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑋 ∈ 𝐼)
53		fvexd 6897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → (𝑛‘∅) ∈ V)
54		opex 5443	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ ∈ V
55	54	sneqr 4803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩)
56	55	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩)
57		opthg 5457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑛‘∅) ∈ V) → (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩ ↔ (𝑋 = 𝑋 ∧ (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))))
58	57	simplbda 505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑛‘∅) ∈ V) ∧ ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩) → (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))
59	52, 53, 56, 58	syl21anc 851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))
60		0ex 5268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → ∅ ∈ V)
62		df1o2 8465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = {∅}
63	27	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑛:1o⟶ℕ0)
64	63	ffnd 6707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑛 Fn 1o)
65		simplr 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
66	65	elmaprd 8852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑚:1o⟶ℕ0)
67	66	ffnd 6707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑚 Fn 1o)
68	61, 62, 64, 67	fsneq 7031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → (𝑛 = 𝑚 ↔ (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅)))
69	59, 68	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑛 = 𝑚)
70	69	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → 𝑛 = 𝑚))
71	70	anasss 472	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → 𝑛 = 𝑚))
72	71	ralrimivva 3207	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)∀𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → 𝑛 = 𝑚))
73		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})
74		fveq1 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))
75	74	opeq2d 4843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩)
76	75	sneqd 4599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩})
77	73, 76	f1mpt 7261	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1→(ℕ0 ↑m {𝑋}) ↔ (∀𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o){⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∧ ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)∀𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → 𝑛 = 𝑚)))
78	51, 72, 77	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1→(ℕ0 ↑m {𝑋}))
79		fvexd 6897	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑈) ∈ V)
80	50, 78, 79, 17	fsuppco 9375	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) ∘ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) finSupp (0g‘𝑈))
81	48, 80	eqbrtrrd 5133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) finSupp (0g‘𝑈))
82		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
83		selvply1rhm.4	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
84		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
85	83, 84	ply1bas 22424	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
86	82, 41, 43, 49, 85	mplelbas 22209	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ((𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑈)) ∧ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) finSupp (0g‘𝑈)))
87	47, 81, 86	sylanbrc 595	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ (Base‘𝑄))
88		selvply1rhm.5	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
89	87, 88	fmptd 7110	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑄))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  {crab 3414  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  {csn 4587  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6533  –1-1→wf1 6534  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  1_oc1o 8451   ↑_m cmap 8829   finSupp cfsupp 9334  0cc0 11127  ℕ₀cn0 12531  Basecbs 17305  0_gc0g 17528  CRingccrg 20377   mPwSer cmps 22123   mPoly cmpl 22125   selectVars cslv 22336  Poly₁cpl1 22406

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-hash 14397  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-prds 17536  df-pws 17538  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18825  df-mnd 18841  df-mhm 18895  df-submnd 18896  df-grp 19064  df-minusg 19065  df-sbg 19066  df-mulg 19195  df-subg 19250  df-ghm 19345  df-cntz 19448  df-cmn 19913  df-abl 19914  df-mgp 20278  df-rng 20292  df-ur 20325  df-srg 20330  df-ring 20378  df-cring 20379  df-rhm 20617  df-subrng 20712  df-subrg 20736  df-lmod 21050  df-lss 21120  df-lsp 21160  df-assa 22072  df-asp 22073  df-ascl 22074  df-psr 22128  df-mvr 22129  df-mpl 22130  df-opsr 22132  df-evls 22294  df-selv 22337  df-psr1 22409  df-ply1 22411

This theorem is used by:  selvply1rhmlem4  34035  selvply1rhm  34037