Theorem selvply1rhmlem1 34086

Description: Lemma for selvply1rhm 34091. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhmlem1	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑄))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑛   𝑛,𝐼   𝑄,𝑓   𝑅,𝑛   𝑈,𝑛   𝑛,𝑋   𝜑,𝑓,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑓, 𝑛)   𝑄(𝑛)   𝑅(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓, 𝑛)   𝐼(𝑓)   𝑉(𝑓, 𝑛)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem selvply1rhmlem1

Dummy variables 𝑚 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6888	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑈) ∈ V)
2		ovexd 7443	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (ℕ0 ↑m 1o) ∈ V)
3		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑋} mPoly 𝑈) = ({𝑋} mPoly 𝑈)
4		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
5		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈))
6		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}
7	6	psrbasfsupp 34077	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
8		selvply1rhm.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
9		selvply1rhm.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
10		selvply1rhm.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
11		selvply1rhm.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
12	11	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
13		selvply1rhm.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
14	13	snssd 4746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
15	14	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → {𝑋} ⊆ 𝐼)
16		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 𝑓 ∈ 𝐵)
17	8, 9, 10, 3, 5, 12, 15, 16	selvcl 22411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)))
18	3, 4, 5, 7, 17	mplelf 22267	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑈))
19	18	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑈))
20		breq1 5105	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} → (ℎ finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0))
21		nn0ex 12582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ℕ0 ∈ V)
23		snex 5396	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑋} ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {𝑋} ∈ V)
25	13	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑋 ∈ 𝐼)
26		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
27	26	elmaprd 8848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛:1o⟶ℕ0)
28		0lt1o 8490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ 1o
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ∅ ∈ 1o)
30	27, 29	ffvelcdmd 7073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑛‘∅) ∈ ℕ0)
31	25, 30	fsnd 6857	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}:{𝑋}⟶ℕ0)
32	22, 24, 31	elmapdd 8839	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}))
33		c0ex 11272	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 0 ∈ V)
35		snopfsupp 9361	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑛‘∅) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ V) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
36	25, 30, 34, 35	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
37	20, 32, 36	elrabd 3646	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0})
38	19, 37	ffvelcdmd 7073	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) ∈ (Base‘𝑈))
39	38	fmpttd 7103	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
40	1, 2, 39	elmapdd 8839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ ((Base‘𝑈) ↑m (ℕ0 ↑m 1o)))
41		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (1o mPwSer 𝑈) = (1o mPwSer 𝑈)
42		psr1baslem 22465	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
43		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘(1o mPwSer 𝑈)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑈))
44		1oex 8464	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
45	44	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 1o ∈ V)
46	41, 4, 42, 43, 45	psrbas 22204	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (Base‘(1o mPwSer 𝑈)) = ((Base‘𝑈) ↑m (ℕ0 ↑m 1o)))
47	40, 46	eleqtrrd 2863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑈)))
48	18, 37	cofmpt 7121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) ∘ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
49		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
50	3, 5, 49, 17	mplelsfi 22264	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) finSupp (0g‘𝑈))
51	32	ralrimiva 3154	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o){⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}))
52	25	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑋 ∈ 𝐼)
53		fvexd 6888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → (𝑛‘∅) ∈ V)
54		opex 5431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ ∈ V
55	54	sneqr 4799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩)
56	55	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩)
57		opthg 5445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑛‘∅) ∈ V) → (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩ ↔ (𝑋 = 𝑋 ∧ (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))))
58	57	simplbda 505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑛‘∅) ∈ V) ∧ ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩) → (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))
59	52, 53, 56, 58	syl21anc 851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))
60		0ex 5260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → ∅ ∈ V)
62		df1o2 8461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = {∅}
63	27	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑛:1o⟶ℕ0)
64	63	ffnd 6698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑛 Fn 1o)
65		simplr 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
66	65	elmaprd 8848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑚:1o⟶ℕ0)
67	66	ffnd 6698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑚 Fn 1o)
68	61, 62, 64, 67	fsneq 7022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → (𝑛 = 𝑚 ↔ (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅)))
69	59, 68	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑛 = 𝑚)
70	69	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → 𝑛 = 𝑚))
71	70	anasss 472	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → 𝑛 = 𝑚))
72	71	ralrimivva 3205	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)∀𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → 𝑛 = 𝑚))
73		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})
74		fveq1 6872	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))
75	74	opeq2d 4839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩)
76	75	sneqd 4595	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩})
77	73, 76	f1mpt 7253	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1→(ℕ0 ↑m {𝑋}) ↔ (∀𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o){⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∧ ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)∀𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → 𝑛 = 𝑚)))
78	51, 72, 77	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1→(ℕ0 ↑m {𝑋}))
79		fvexd 6888	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑈) ∈ V)
80	50, 78, 79, 17	fsuppco 9372	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) ∘ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) finSupp (0g‘𝑈))
81	48, 80	eqbrtrrd 5128	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) finSupp (0g‘𝑈))
82		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
83		selvply1rhm.4	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
84		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
85	83, 84	ply1bas 22475	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
86	82, 41, 43, 49, 85	mplelbas 22260	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ((𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑈)) ∧ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) finSupp (0g‘𝑈)))
87	47, 81, 86	sylanbrc 595	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ (Base‘𝑄))
88		selvply1rhm.5	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
89	87, 88	fmptd 7102	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑄))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  ∅c0 4278  {csn 4583  ⟨cop 4589   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   ∘ ccom 5651  ⟶wf 6523  –1-1→wf1 6524  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  1_oc1o 8447   ↑_m cmap 8825   finSupp cfsupp 9331  0cc0 11172  ℕ₀cn0 12576  Basecbs 17349  0_gc0g 17572  CRingccrg 20422   mPwSer cmps 22174   mPoly cmpl 22176   selectVars cslv 22387  Poly₁cpl1 22457

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-9 12382  df-n0 12577  df-z 12664  df-dec 12785  df-uz 12936  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-seq 14114  df-hash 14443  df-struct 17287  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-ress 17371  df-plusg 17403  df-mulr 17404  df-sca 17406  df-vsca 17407  df-ip 17408  df-tset 17409  df-ple 17410  df-ds 17412  df-hom 17414  df-cco 17415  df-0g 17574  df-gsum 17575  df-prds 17580  df-pws 17582  df-mre 17718  df-mrc 17719  df-acs 17721  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-mhm 18940  df-submnd 18941  df-grp 19109  df-minusg 19110  df-sbg 19111  df-mulg 19240  df-subg 19295  df-ghm 19390  df-cntz 19493  df-cmn 19958  df-abl 19959  df-mgp 20323  df-rng 20337  df-ur 20370  df-srg 20375  df-ring 20423  df-cring 20424  df-rhm 20664  df-subrng 20760  df-subrg 20784  df-lmod 21099  df-lss 21169  df-lsp 21209  df-assa 22123  df-asp 22124  df-ascl 22125  df-psr 22179  df-mvr 22180  df-mpl 22181  df-opsr 22183  df-evls 22345  df-selv 22388  df-psr1 22460  df-ply1 22462

This theorem is used by:  selvply1rhmlem4  34089  selvply1rhm  34091