Theorem selvply1rhmlem1 33761

Description: Lemma for selvply1rhm 33766. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhmlem1	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑄))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑛   𝑛,𝐼   𝑄,𝑓   𝑅,𝑛   𝑈,𝑛   𝑛,𝑋   𝜑,𝑓,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑓,𝑛)   𝑄(𝑛)   𝑅(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑛)   𝐼(𝑓)   𝑉(𝑓,𝑛)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem selvply1rhmlem1

Dummy variables 𝑚 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6867	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑈) ∈ V)
2		ovexd 7416	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (ℕ0 ↑m 1o) ∈ V)
3		eqid 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑋} mPoly 𝑈) = ({𝑋} mPoly 𝑈)
4		eqid 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
5		eqid 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈))
6		eqid 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}
7	6	psrbasfsupp 33752	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
8		selvply1rhm.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
9		selvply1rhm.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
10		selvply1rhm.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
11		selvply1rhm.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
12	11	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
13		selvply1rhm.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
14	13	snssd 4735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
15	14	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → {𝑋} ⊆ 𝐼)
16		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 𝑓 ∈ 𝐵)
17	8, 9, 10, 3, 5, 12, 15, 16	selvcl 22162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)))
18	3, 4, 5, 7, 17	mplelf 22018	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑈))
19	18	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑈))
20		breq1 5093	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} → (ℎ finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0))
21		nn0ex 12473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ℕ0 ∈ V)
23		snex 5386	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑋} ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {𝑋} ∈ V)
25	13	ad2antrr 734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑋 ∈ 𝐼)
26		1oex 8431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1o ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 1o ∈ V)
28		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
29	27, 22, 28	elmaprd 32821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛:1o⟶ℕ0)
30		0lt1o 8457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ 1o
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ∅ ∈ 1o)
32	29, 31	ffvelcdmd 7051	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑛‘∅) ∈ ℕ0)
33	25, 32	fsnd 6836	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}:{𝑋}⟶ℕ0)
34	22, 24, 33	elmapdd 8807	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}))
35		c0ex 11159	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 0 ∈ V)
37		snopfsupp 9323	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑛‘∅) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ V) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
38	25, 32, 36, 37	syl3anc 1382	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
39	20, 34, 38	elrabd 3643	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0})
40	19, 39	ffvelcdmd 7051	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) ∈ (Base‘𝑈))
41	40	fmpttd 7081	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
42	1, 2, 41	elmapdd 8807	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ ((Base‘𝑈) ↑m (ℕ0 ↑m 1o)))
43		eqid 2752	. . . . 5 ⊢ (1o mPwSer 𝑈) = (1o mPwSer 𝑈)
44		psr1baslem 22216	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
45		eqid 2752	. . . . 5 ⊢ (Base‘(1o mPwSer 𝑈)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑈))
46	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 1o ∈ V)
47	43, 4, 44, 45, 46	psrbas 21955	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (Base‘(1o mPwSer 𝑈)) = ((Base‘𝑈) ↑m (ℕ0 ↑m 1o)))
48	42, 47	eleqtrrd 2855	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑈)))
49	18, 39	cofmpt 7099	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) ∘ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
50		eqid 2752	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
51	3, 5, 50, 17	mplelsfi 22015	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) finSupp (0g‘𝑈))
52	34	ralrimiva 3144	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o){⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}))
53	25	ad2antrr 734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑋 ∈ 𝐼)
54		fvexd 6867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → (𝑛‘∅) ∈ V)
55		opex 5421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ ∈ V
56	55	sneqr 4788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩)
57	56	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩)
58		opthg 5435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑛‘∅) ∈ V) → (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩ ↔ (𝑋 = 𝑋 ∧ (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))))
59	58	simplbda 502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑛‘∅) ∈ V) ∧ ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩) → (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))
60	53, 54, 57, 59	syl21anc 846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))
61		0ex 5247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → ∅ ∈ V)
63		df1o2 8428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = {∅}
64	29	ad2antrr 734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑛:1o⟶ℕ0)
65	64	ffnd 6677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑛 Fn 1o)
66	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 1o ∈ V)
67	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → ℕ0 ∈ V)
68		simplr 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
69	66, 67, 68	elmaprd 32821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑚:1o⟶ℕ0)
70	69	ffnd 6677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑚 Fn 1o)
71	62, 63, 65, 70	fsneq 7001	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → (𝑛 = 𝑚 ↔ (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅)))
72	60, 71	mpbird 259	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑛 = 𝑚)
73	72	ex 415	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → 𝑛 = 𝑚))
74	73	anasss 469	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → 𝑛 = 𝑚))
75	74	ralrimivva 3195	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)∀𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → 𝑛 = 𝑚))
76		eqid 2752	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})
77		fveq1 6851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))
78	77	opeq2d 4828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩)
79	78	sneqd 4584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩})
80	76, 79	f1mpt 7230	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1→(ℕ0 ↑m {𝑋}) ↔ (∀𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o){⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∧ ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)∀𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → 𝑛 = 𝑚)))
81	52, 75, 80	sylanbrc 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1→(ℕ0 ↑m {𝑋}))
82		fvexd 6867	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑈) ∈ V)
83	51, 81, 82, 17	fsuppco 9334	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) ∘ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) finSupp (0g‘𝑈))
84	49, 83	eqbrtrrd 5114	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) finSupp (0g‘𝑈))
85		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
86		selvply1rhm.4	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
87		eqid 2752	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
88	86, 87	ply1bas 22226	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
89	85, 43, 45, 50, 88	mplelbas 22011	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ((𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑈)) ∧ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) finSupp (0g‘𝑈)))
90	48, 84, 89	sylanbrc 591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ (Base‘𝑄))
91		selvply1rhm.5	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
92	90, 91	fmptd 7080	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ∀wral 3066  {crab 3404  Vcvv 3444   ∖ cdif 3892   ⊆ wss 3895  ∅c0 4276  {csn 4572  ⟨cop 4578   class class class wbr 5090   ↦ cmpt 5171   ∘ ccom 5640  ⟶wf 6502  –1-1→wf1 6503  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  1_oc1o 8414   ↑_m cmap 8792   finSupp cfsupp 9293  0cc0 11059  ℕ₀cn0 12467  Basecbs 17217  0_gc0g 17440  CRingccrg 20252   mPwSer cmps 21925   mPoly cmpl 21927   selectVars cslv 22138  Poly₁cpl1 22208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-isom 6515  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-of 7645  df-ofr 7646  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-supp 8125  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-2o 8422  df-er 8662  df-map 8794  df-pm 8795  df-ixp 8865  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-fsupp 9294  df-sup 9374  df-oi 9444  df-card 9883  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-fz 13499  df-fzo 13646  df-seq 14001  df-hash 14330  df-struct 17155  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-hom 17282  df-cco 17283  df-0g 17442  df-gsum 17443  df-prds 17448  df-pws 17450  df-mre 17586  df-mrc 17587  df-acs 17589  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-mhm 18789  df-submnd 18790  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-sbg 18952  df-mulg 19082  df-subg 19137  df-ghm 19226  df-cntz 19329  df-cmn 19794  df-abl 19795  df-mgp 20159  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-rhm 20489  df-subrng 20564  df-subrg 20588  df-lmod 20898  df-lss 20968  df-lsp 21008  df-assa 21874  df-asp 21875  df-ascl 21876  df-psr 21930  df-mvr 21931  df-mpl 21932  df-opsr 21934  df-evls 22096  df-selv 22139  df-psr1 22211  df-ply1 22213

This theorem is referenced by:  selvply1rhmlem4  33764  selvply1rhm  33766