Theorem selvply1rhmlem1 33704

Description: Lemma for selvply1rhm 33709. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhmlem1	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑄))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑛   𝑛,𝐼   𝑄,𝑓   𝑅,𝑛   𝑈,𝑛   𝑛,𝑋   𝜑,𝑓,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑓,𝑛)   𝑄(𝑛)   𝑅(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑛)   𝐼(𝑓)   𝑉(𝑓,𝑛)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem selvply1rhmlem1

Dummy variables 𝑚 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6842	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑈) ∈ V)
2		ovexd 7391	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (ℕ0 ↑m 1o) ∈ V)
3		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑋} mPoly 𝑈) = ({𝑋} mPoly 𝑈)
4		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
5		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈))
6		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}
7	6	psrbasfsupp 33695	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
8		selvply1rhm.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
9		selvply1rhm.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
10		selvply1rhm.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
11		selvply1rhm.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
13		selvply1rhm.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
14	13	snssd 4718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → {𝑋} ⊆ 𝐼)
16		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 𝑓 ∈ 𝐵)
17	8, 9, 10, 3, 5, 12, 15, 16	selvcl 22116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)))
18	3, 4, 5, 7, 17	mplelf 21972	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑈))
19	18	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑈))
20		breq1 5075	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} → (ℎ finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0))
21		nn0ex 12434	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ℕ0 ∈ V)
23		snex 5368	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑋} ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {𝑋} ∈ V)
25	13	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑋 ∈ 𝐼)
26		1oex 8405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1o ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 1o ∈ V)
28		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
29	27, 22, 28	elmaprd 32772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛:1o⟶ℕ0)
30		0lt1o 8429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ 1o
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ∅ ∈ 1o)
32	29, 31	ffvelcdmd 7026	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑛‘∅) ∈ ℕ0)
33	25, 32	fsnd 6811	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}:{𝑋}⟶ℕ0)
34	22, 24, 33	elmapdd 8778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}))
35		c0ex 11129	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 0 ∈ V)
37		snopfsupp 9294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑛‘∅) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ V) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
38	25, 32, 36, 37	syl3anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
39	20, 34, 38	elrabd 3631	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0})
40	19, 39	ffvelcdmd 7026	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) ∈ (Base‘𝑈))
41	40	fmpttd 7056	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
42	1, 2, 41	elmapdd 8778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ ((Base‘𝑈) ↑m (ℕ0 ↑m 1o)))
43		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (1o mPwSer 𝑈) = (1o mPwSer 𝑈)
44		psr1baslem 22170	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
45		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Base‘(1o mPwSer 𝑈)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑈))
46	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 1o ∈ V)
47	43, 4, 44, 45, 46	psrbas 21909	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (Base‘(1o mPwSer 𝑈)) = ((Base‘𝑈) ↑m (ℕ0 ↑m 1o)))
48	42, 47	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑈)))
49	18, 39	cofmpt 7074	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) ∘ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
50		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
51	3, 5, 50, 17	mplelsfi 21969	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) finSupp (0g‘𝑈))
52	34	ralrimiva 3131	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o){⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}))
53	25	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑋 ∈ 𝐼)
54		fvexd 6842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → (𝑛‘∅) ∈ V)
55		opex 5403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ ∈ V
56	55	sneqr 4771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩)
57	56	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩)
58		opthg 5417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑛‘∅) ∈ V) → (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩ ↔ (𝑋 = 𝑋 ∧ (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))))
59	58	simplbda 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑛‘∅) ∈ V) ∧ ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩) → (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))
60	53, 54, 57, 59	syl21anc 843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))
61		0ex 5229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → ∅ ∈ V)
63		df1o2 8402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = {∅}
64	29	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑛:1o⟶ℕ0)
65	64	ffnd 6656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑛 Fn 1o)
66	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 1o ∈ V)
67	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → ℕ0 ∈ V)
68		simplr 774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
69	66, 67, 68	elmaprd 32772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑚:1o⟶ℕ0)
70	69	ffnd 6656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑚 Fn 1o)
71	62, 63, 65, 70	fsneq 6976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → (𝑛 = 𝑚 ↔ (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅)))
72	60, 71	mpbird 258	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) → 𝑛 = 𝑚)
73	72	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → 𝑛 = 𝑚))
74	73	anasss 467	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∧ 𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → 𝑛 = 𝑚))
75	74	ralrimivva 3182	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)∀𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → 𝑛 = 𝑚))
76		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})
77		fveq1 6826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))
78	77	opeq2d 4811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩)
79	78	sneqd 4567	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩})
80	76, 79	f1mpt 7205	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1→(ℕ0 ↑m {𝑋}) ↔ (∀𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o){⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∧ ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)∀𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} → 𝑛 = 𝑚)))
81	52, 75, 80	sylanbrc 589	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1→(ℕ0 ↑m {𝑋}))
82		fvexd 6842	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑈) ∈ V)
83	51, 81, 82, 17	fsuppco 9305	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) ∘ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) finSupp (0g‘𝑈))
84	49, 83	eqbrtrrd 5096	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) finSupp (0g‘𝑈))
85		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
86		selvply1rhm.4	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
87		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
88	86, 87	ply1bas 22180	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
89	85, 43, 45, 50, 88	mplelbas 21965	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ((𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑈)) ∧ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) finSupp (0g‘𝑈)))
90	48, 84, 89	sylanbrc 589	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ (Base‘𝑄))
91		selvply1rhm.5	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
92	90, 91	fmptd 7055	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  {crab 3391  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  {csn 4555  ⟨cop 4561   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153   ∘ ccom 5622  ⟶wf 6481  –1-1→wf1 6482  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  1_oc1o 8388   ↑_m cmap 8763   finSupp cfsupp 9264  0cc0 11029  ℕ₀cn0 12428  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  CRingccrg 20206   mPwSer cmps 21879   mPoly cmpl 21881   selectVars cslv 22092  Poly₁cpl1 22162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-srg 20159  df-ring 20207  df-cring 20208  df-rhm 20443  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-assa 21828  df-asp 21829  df-ascl 21830  df-psr 21884  df-mvr 21885  df-mpl 21886  df-opsr 21888  df-evls 22050  df-selv 22093  df-psr1 22165  df-ply1 22167

This theorem is referenced by:  selvply1rhmlem4  33707  selvply1rhm  33709