Theorem dvne0f1 24724

Description: A function on a closed interval with nonzero derivative is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvne0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dvne0.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dvne0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
dvne0.d	⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
dvne0.z	⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
dvne0f1	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)–1-1→ℝ)

Proof of Theorem dvne0f1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvne0.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		dvne0.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		dvne0.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
4		dvne0.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
5		dvne0.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
6	1, 2, 3, 4, 5	dvne0 24723	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , ◡ < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹)))
7		isof1o 7076	. . . 4 ⊢ (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)–1-1-onto→ran 𝐹)
8		isof1o 7076	. . . 4 ⊢ (𝐹 Isom < , ◡ < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)–1-1-onto→ran 𝐹)
9	7, 8	jaoi 854	. . 3 ⊢ ((𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , ◡ < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)–1-1-onto→ran 𝐹)
10		f1of1 6606	. . 3 ⊢ (𝐹:(𝐴[,]𝐵)–1-1-onto→ran 𝐹 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)–1-1→ran 𝐹)
11	6, 9, 10	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)–1-1→ran 𝐹)
12		cncff 23607	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
13		frn 6509	. . 3 ⊢ (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
14	3, 12, 13	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
15		f1ss 6571	. 2 ⊢ ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)–1-1→ran 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)–1-1→ℝ)
16	11, 14, 15	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)–1-1→ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3860  ^◡ccnv 5527  dom cdm 5528  ran crn 5529  ⟶wf 6336  –1-1→wf1 6337  –1-1-onto→wf1o 6339   Isom wiso 6341  (class class class)co 7156  ℝcr 10587  0cc0 10588   < clt 10726  (,)cioo 12792  [,]cicc 12795  –cn→ccncf 23590   D cdv 24575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666  ax-addf 10667  ax-mulf 10668

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-fi 8921  df-sup 8952  df-inf 8953  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-ioo 12796  df-ico 12798  df-icc 12799  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-seq 13432  df-exp 13493  df-hash 13754  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-starv 16651  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-ip 16654  df-tset 16655  df-ple 16656  df-ds 16658  df-unif 16659  df-hom 16660  df-cco 16661  df-rest 16767  df-topn 16768  df-0g 16786  df-gsum 16787  df-topgen 16788  df-pt 16789  df-prds 16792  df-xrs 16846  df-qtop 16851  df-imas 16852  df-xps 16854  df-mre 16928  df-mrc 16929  df-acs 16931  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-submnd 18036  df-mulg 18305  df-cntz 18527  df-cmn 18988  df-psmet 20171  df-xmet 20172  df-met 20173  df-bl 20174  df-mopn 20175  df-fbas 20176  df-fg 20177  df-cnfld 20180  df-top 21607  df-topon 21624  df-topsp 21646  df-bases 21659  df-cld 21732  df-ntr 21733  df-cls 21734  df-nei 21811  df-lp 21849  df-perf 21850  df-cn 21940  df-cnp 21941  df-haus 22028  df-cmp 22100  df-tx 22275  df-hmeo 22468  df-fil 22559  df-fm 22651  df-flim 22652  df-flf 22653  df-xms 23035  df-ms 23036  df-tms 23037  df-cncf 23592  df-limc 24578  df-dv 24579

This theorem is referenced by: (None)