Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgmaprnlem5N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgmaprnlem5N 40176
Description: Lemma for hgmaprnN 40177. Eliminate 𝑑. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hgmaprnlem1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hgmaprnlem1.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hgmaprnlem1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hgmaprnlem1.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
hgmaprnlem1.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
hgmaprnlem1.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
hgmaprnlem1.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
hgmaprnlem1.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hgmaprnlem1.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
hgmaprnlem1.p 𝑃 = (Scalarβ€˜πΆ)
hgmaprnlem1.a 𝐴 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
hgmaprnlem1.e βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
hgmaprnlem1.q 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
hgmaprnlem1.s 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hgmaprnlem1.g 𝐺 = ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hgmaprnlem1.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hgmaprnlem1.z (πœ‘ β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
hgmaprnlem5N (πœ‘ β†’ 𝑧 ∈ ran 𝐺)

Proof of Theorem hgmaprnlem5N
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hgmaprnlem1.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 hgmaprnlem1.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 hgmaprnlem1.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 hgmaprnlem1.o . . 3 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
5 hgmaprnlem1.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
61, 2, 3, 4, 5dvh1dim 39718 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 𝑑 β‰  0 )
7 eldifsn 4734 . . 3 (𝑑 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↔ (𝑑 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 β‰  0 ))
8 hgmaprnlem1.r . . . 4 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
9 hgmaprnlem1.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
10 hgmaprnlem1.t . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
11 hgmaprnlem1.c . . . 4 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
12 hgmaprnlem1.d . . . 4 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
13 hgmaprnlem1.p . . . 4 𝑃 = (Scalarβ€˜πΆ)
14 hgmaprnlem1.a . . . 4 𝐴 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
15 hgmaprnlem1.e . . . 4 βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
16 hgmaprnlem1.q . . . 4 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
17 hgmaprnlem1.s . . . 4 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
18 hgmaprnlem1.g . . . 4 𝐺 = ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
195adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
20 hgmaprnlem1.z . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
2120adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
22 simpr 485 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑑 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
231, 2, 3, 8, 9, 10, 4, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 22hgmaprnlem4N 40175 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑧 ∈ ran 𝐺)
247, 23sylan2br 595 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 β‰  0 )) β†’ 𝑧 ∈ ran 𝐺)
256, 24rexlimddv 3154 1 (πœ‘ β†’ 𝑧 ∈ ran 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3895  {csn 4573  ran crn 5621  β€˜cfv 6479  Basecbs 17009  Scalarcsca 17062   ·𝑠 cvsca 17063  0gc0g 17247  HLchlt 37625  LHypclh 38260  DVecHcdvh 39354  LCDualclcd 39862  HDMapchdma 40068  HGMapchg 40159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-riotaBAD 37228
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-ot 4582  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-tpos 8112  df-undef 8159  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-0g 17249  df-mre 17392  df-mrc 17393  df-acs 17395  df-proset 18110  df-poset 18128  df-plt 18145  df-lub 18161  df-glb 18162  df-join 18163  df-meet 18164  df-p0 18240  df-p1 18241  df-lat 18247  df-clat 18314  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-sbg 18678  df-subg 18848  df-cntz 19019  df-oppg 19046  df-lsm 19337  df-cmn 19483  df-abl 19484  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-ring 19880  df-oppr 19957  df-dvdsr 19978  df-unit 19979  df-invr 20009  df-dvr 20020  df-drng 20095  df-lmod 20231  df-lss 20300  df-lsp 20340  df-lvec 20471  df-lsatoms 37251  df-lshyp 37252  df-lcv 37294  df-lfl 37333  df-lkr 37361  df-ldual 37399  df-oposet 37451  df-ol 37453  df-oml 37454  df-covers 37541  df-ats 37542  df-atl 37573  df-cvlat 37597  df-hlat 37626  df-llines 37774  df-lplanes 37775  df-lvols 37776  df-lines 37777  df-psubsp 37779  df-pmap 37780  df-padd 38072  df-lhyp 38264  df-laut 38265  df-ldil 38380  df-ltrn 38381  df-trl 38435  df-tgrp 39019  df-tendo 39031  df-edring 39033  df-dveca 39279  df-disoa 39305  df-dvech 39355  df-dib 39415  df-dic 39449  df-dih 39505  df-doch 39624  df-djh 39671  df-lcdual 39863  df-mapd 39901  df-hvmap 40033  df-hdmap1 40069  df-hdmap 40070  df-hgmap 40160
This theorem is referenced by:  hgmaprnN  40177
  Copyright terms: Public domain W3C validator