Theorem hgmaprnlem5N 42871

Description: Lemma for hgmaprnN 42872. Eliminate 𝑡. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmaprnlem1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmaprnlem1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprnlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hgmaprnlem1.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmaprnlem1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmaprnlem1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hgmaprnlem1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hgmaprnlem1.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprnlem1.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hgmaprnlem1.p	⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hgmaprnlem1.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
hgmaprnlem1.e	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
hgmaprnlem1.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
hgmaprnlem1.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprnlem1.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprnlem1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hgmaprnlem1.z	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
hgmaprnlem5N	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ ran 𝐺)

Proof of Theorem hgmaprnlem5N

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmaprnlem1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hgmaprnlem1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hgmaprnlem1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hgmaprnlem1.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
5		hgmaprnlem1.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 2, 3, 4, 5	dvh1dim 42413	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝑉 𝑡 ≠ 0 )
7		eldifsn 4748	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑡 ≠ 0 ))
8		hgmaprnlem1.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
9		hgmaprnlem1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		hgmaprnlem1.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
11		hgmaprnlem1.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
12		hgmaprnlem1.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
13		hgmaprnlem1.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
14		hgmaprnlem1.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
15		hgmaprnlem1.e	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
16		hgmaprnlem1.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
17		hgmaprnlem1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
18		hgmaprnlem1.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
19	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
20		hgmaprnlem1.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ 𝐴)
21	20	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑧 ∈ 𝐴)
22		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑡 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
23	1, 2, 3, 8, 9, 10, 4, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 22	hgmaprnlem4N 42870	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑧 ∈ ran 𝐺)
24	7, 23	sylan2br 607	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑡 ≠ 0 )) → 𝑧 ∈ ran 𝐺)
25	6, 24	rexlimddv 3169	1 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ ran 𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∖ cdif 3896  {csn 4584  ran crn 5649  ‘cfv 6528  Basecbs 17334  Scalarcsca 17378   ·_𝑠 cvsca 17379  0_gc0g 17557  HLchlt 40321  LHypclh 40955  DVecHcdvh 42049  LCDualclcd 42557  HDMapchdma 42763  HGMapchg 42854

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-riotaBAD 39924

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8222  df-undef 8269  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-fz 13595  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-0g 17559  df-mre 17703  df-mrc 17704  df-acs 17706  df-proset 18415  df-poset 18434  df-plt 18449  df-lub 18465  df-glb 18466  df-join 18467  df-meet 18468  df-p0 18544  df-p1 18545  df-lat 18553  df-clat 18620  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-submnd 18926  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-sbg 19096  df-subg 19280  df-cntz 19478  df-oppg 19507  df-lsm 19797  df-cmn 19943  df-abl 19944  df-mgp 20308  df-rng 20322  df-ur 20355  df-ring 20408  df-oppr 20514  df-dvdsr 20534  df-unit 20535  df-invr 20565  df-dvr 20578  df-nzr 20710  df-rlreg 20893  df-domn 20894  df-drng 20929  df-lmod 21084  df-lss 21154  df-lsp 21194  df-lvec 21325  df-lsatoms 39947  df-lshyp 39948  df-lcv 39990  df-lfl 40029  df-lkr 40057  df-ldual 40095  df-oposet 40147  df-ol 40149  df-oml 40150  df-covers 40237  df-ats 40238  df-atl 40269  df-cvlat 40293  df-hlat 40322  df-llines 40469  df-lplanes 40470  df-lvols 40471  df-lines 40472  df-psubsp 40474  df-pmap 40475  df-padd 40767  df-lhyp 40959  df-laut 40960  df-ldil 41075  df-ltrn 41076  df-trl 41130  df-tgrp 41714  df-tendo 41726  df-edring 41728  df-dveca 41974  df-disoa 42000  df-dvech 42050  df-dib 42110  df-dic 42144  df-dih 42200  df-doch 42319  df-djh 42366  df-lcdual 42558  df-mapd 42596  df-hvmap 42728  df-hdmap1 42764  df-hdmap 42765  df-hgmap 42855

This theorem is used by:  hgmaprnN  42872