Theorem hdmap14lem14 39540

Description: Part of proof of part 14 in [Baer] p. 50 line 3. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap14lem12.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap14lem12.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem12.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap14lem12.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmap14lem12.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmap14lem12.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmap14lem12.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem12.e	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
hdmap14lem12.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem12.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap14lem12.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
hdmap14lem12.p	⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hdmap14lem12.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
hdmap14lem14	⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝐴   𝐵,𝑔   𝐶,𝑔,𝑥   ∙ ,𝑔,𝑥   𝑔,𝐹,𝑥   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔,𝑥   · ,𝑔,𝑥   𝑈,𝑔,𝑥   𝑔,𝑉,𝑥   𝜑,𝑔,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑔)   𝐾(𝑥,𝑔)   𝑊(𝑥,𝑔)

Proof of Theorem hdmap14lem14

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap14lem12.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap14lem12.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap14lem12.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
5		hdmap14lem12.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 2, 3, 4, 5	dvh1dim 39101	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑉 𝑦 ≠ (0g‘𝑈))
7		hdmap14lem12.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
8		hdmap14lem12.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
9		hdmap14lem12.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		hdmap14lem12.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
11		hdmap14lem12.e	. . . . 5 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
12		hdmap14lem12.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
13		hdmap14lem12.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
14		hdmap14lem12.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
15	5	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16		3simpc 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)))
17		eldifsn 4675	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)))
18	16, 17	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
19		hdmap14lem12.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
20	19	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
21	1, 2, 3, 7, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 20	hdmap14lem7 39533	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) → ∃!𝑔 ∈ 𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑦)))
22		simpl1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → 𝜑)
23	22, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
24	22, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ 𝐵)
25	18	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
26		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → 𝑔 ∈ 𝐴)
27	1, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 23, 24, 12, 13, 4, 25, 26	hdmap14lem13 39539	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → ((𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥))))
28	27	reubidva 3291	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) → (∃!𝑔 ∈ 𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑦)) ↔ ∃!𝑔 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥))))
29	21, 28	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) → ∃!𝑔 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥)))
30	29	rexlimdv3a 3196	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝑉 𝑦 ≠ (0g‘𝑈) → ∃!𝑔 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥))))
31	6, 30	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3054  ∃!wreu 3055   ∖ cdif 3840  {csn 4516  ‘cfv 6339  (class class class)co 7172  Basecbs 16588  Scalarcsca 16673   ·_𝑠 cvsca 16674  0_gc0g 16818  HLchlt 37009  LHypclh 37643  DVecHcdvh 38737  LCDualclcd 39245  HDMapchdma 39451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694  ax-riotaBAD 36612

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-ot 4525  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-of 7427  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-tpos 7923  df-undef 7970  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-er 8322  df-map 8441  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-nn 11719  df-2 11781  df-3 11782  df-4 11783  df-5 11784  df-6 11785  df-n0 11979  df-z 12065  df-uz 12327  df-fz 12984  df-struct 16590  df-ndx 16591  df-slot 16592  df-base 16594  df-sets 16595  df-ress 16596  df-plusg 16683  df-mulr 16684  df-sca 16686  df-vsca 16687  df-0g 16820  df-mre 16962  df-mrc 16963  df-acs 16965  df-proset 17656  df-poset 17674  df-plt 17686  df-lub 17702  df-glb 17703  df-join 17704  df-meet 17705  df-p0 17767  df-p1 17768  df-lat 17774  df-clat 17836  df-mgm 17970  df-sgrp 18019  df-mnd 18030  df-submnd 18075  df-grp 18224  df-minusg 18225  df-sbg 18226  df-subg 18396  df-cntz 18567  df-oppg 18594  df-lsm 18881  df-cmn 19028  df-abl 19029  df-mgp 19361  df-ur 19373  df-ring 19420  df-oppr 19497  df-dvdsr 19515  df-unit 19516  df-invr 19546  df-dvr 19557  df-drng 19625  df-lmod 19757  df-lss 19825  df-lsp 19865  df-lvec 19996  df-lsatoms 36635  df-lshyp 36636  df-lcv 36678  df-lfl 36717  df-lkr 36745  df-ldual 36783  df-oposet 36835  df-ol 36837  df-oml 36838  df-covers 36925  df-ats 36926  df-atl 36957  df-cvlat 36981  df-hlat 37010  df-llines 37157  df-lplanes 37158  df-lvols 37159  df-lines 37160  df-psubsp 37162  df-pmap 37163  df-padd 37455  df-lhyp 37647  df-laut 37648  df-ldil 37763  df-ltrn 37764  df-trl 37818  df-tgrp 38402  df-tendo 38414  df-edring 38416  df-dveca 38662  df-disoa 38688  df-dvech 38738  df-dib 38798  df-dic 38832  df-dih 38888  df-doch 39007  df-djh 39054  df-lcdual 39246  df-mapd 39284  df-hvmap 39416  df-hdmap1 39452  df-hdmap 39453

This theorem is referenced by:  hdmap14lem15  39541