Theorem hdmap14lem14 41291

Description: Part of proof of part 14 in [Baer] p. 50 line 3. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap14lem12.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap14lem12.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem12.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap14lem12.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmap14lem12.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmap14lem12.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmap14lem12.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem12.e	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
hdmap14lem12.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem12.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap14lem12.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
hdmap14lem12.p	⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hdmap14lem12.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
hdmap14lem14	⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝐴   𝐵,𝑔   𝐶,𝑔,𝑥   ∙ ,𝑔,𝑥   𝑔,𝐹,𝑥   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔,𝑥   · ,𝑔,𝑥   𝑈,𝑔,𝑥   𝑔,𝑉,𝑥   𝜑,𝑔,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑔)   𝐾(𝑥,𝑔)   𝑊(𝑥,𝑔)

Proof of Theorem hdmap14lem14

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap14lem12.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap14lem12.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap14lem12.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		eqid 2727	. . 3 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
5		hdmap14lem12.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 2, 3, 4, 5	dvh1dim 40852	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑉 𝑦 ≠ (0g‘𝑈))
7		hdmap14lem12.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
8		hdmap14lem12.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
9		hdmap14lem12.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		hdmap14lem12.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
11		hdmap14lem12.e	. . . . 5 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
12		hdmap14lem12.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
13		hdmap14lem12.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
14		hdmap14lem12.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
15	5	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16		3simpc 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)))
17		eldifsn 4786	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)))
18	16, 17	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
19		hdmap14lem12.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
20	19	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
21	1, 2, 3, 7, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 20	hdmap14lem7 41284	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) → ∃!𝑔 ∈ 𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑦)))
22		simpl1 1189	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → 𝜑)
23	22, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
24	22, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ 𝐵)
25	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
26		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → 𝑔 ∈ 𝐴)
27	1, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 23, 24, 12, 13, 4, 25, 26	hdmap14lem13 41290	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → ((𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥))))
28	27	reubidva 3387	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) → (∃!𝑔 ∈ 𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑦)) ↔ ∃!𝑔 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥))))
29	21, 28	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) → ∃!𝑔 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥)))
30	29	rexlimdv3a 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝑉 𝑦 ≠ (0g‘𝑈) → ∃!𝑔 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥))))
31	6, 30	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  ∀wral 3056  ∃wrex 3065  ∃!wreu 3369   ∖ cdif 3941  {csn 4624  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  Scalarcsca 17227   ·_𝑠 cvsca 17228  0_gc0g 17412  HLchlt 38759  LHypclh 39394  DVecHcdvh 40488  LCDualclcd 40996  HDMapchdma 41202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-riotaBAD 38362

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-0g 17414  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-proset 18278  df-poset 18296  df-plt 18313  df-lub 18329  df-glb 18330  df-join 18331  df-meet 18332  df-p0 18408  df-p1 18409  df-lat 18415  df-clat 18482  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-subg 19069  df-cntz 19259  df-oppg 19288  df-lsm 19582  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-drng 20615  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-lsp 20845  df-lvec 20977  df-lsatoms 38385  df-lshyp 38386  df-lcv 38428  df-lfl 38467  df-lkr 38495  df-ldual 38533  df-oposet 38585  df-ol 38587  df-oml 38588  df-covers 38675  df-ats 38676  df-atl 38707  df-cvlat 38731  df-hlat 38760  df-llines 38908  df-lplanes 38909  df-lvols 38910  df-lines 38911  df-psubsp 38913  df-pmap 38914  df-padd 39206  df-lhyp 39398  df-laut 39399  df-ldil 39514  df-ltrn 39515  df-trl 39569  df-tgrp 40153  df-tendo 40165  df-edring 40167  df-dveca 40413  df-disoa 40439  df-dvech 40489  df-dib 40549  df-dic 40583  df-dih 40639  df-doch 40758  df-djh 40805  df-lcdual 40997  df-mapd 41035  df-hvmap 41167  df-hdmap1 41203  df-hdmap 41204

This theorem is referenced by:  hdmap14lem15  41292