Theorem hdmap14lem14 39822

Description: Part of proof of part 14 in [Baer] p. 50 line 3. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap14lem12.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap14lem12.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem12.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap14lem12.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmap14lem12.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmap14lem12.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmap14lem12.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem12.e	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
hdmap14lem12.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem12.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap14lem12.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
hdmap14lem12.p	⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hdmap14lem12.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
hdmap14lem14	⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝐴   𝐵,𝑔   𝐶,𝑔,𝑥   ∙ ,𝑔,𝑥   𝑔,𝐹,𝑥   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔,𝑥   · ,𝑔,𝑥   𝑈,𝑔,𝑥   𝑔,𝑉,𝑥   𝜑,𝑔,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑔)   𝐾(𝑥,𝑔)   𝑊(𝑥,𝑔)

Proof of Theorem hdmap14lem14

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap14lem12.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap14lem12.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap14lem12.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
5		hdmap14lem12.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 2, 3, 4, 5	dvh1dim 39383	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑉 𝑦 ≠ (0g‘𝑈))
7		hdmap14lem12.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
8		hdmap14lem12.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
9		hdmap14lem12.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		hdmap14lem12.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
11		hdmap14lem12.e	. . . . 5 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
12		hdmap14lem12.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
13		hdmap14lem12.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
14		hdmap14lem12.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
15	5	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16		3simpc 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)))
17		eldifsn 4717	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)))
18	16, 17	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
19		hdmap14lem12.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
20	19	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
21	1, 2, 3, 7, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 20	hdmap14lem7 39815	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) → ∃!𝑔 ∈ 𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑦)))
22		simpl1 1189	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → 𝜑)
23	22, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
24	22, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ 𝐵)
25	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
26		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → 𝑔 ∈ 𝐴)
27	1, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 23, 24, 12, 13, 4, 25, 26	hdmap14lem13 39821	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → ((𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥))))
28	27	reubidva 3314	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) → (∃!𝑔 ∈ 𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑦)) ↔ ∃!𝑔 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥))))
29	21, 28	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑈)) → ∃!𝑔 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥)))
30	29	rexlimdv3a 3214	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝑉 𝑦 ≠ (0g‘𝑈) → ∃!𝑔 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥))))
31	6, 30	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑥)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  ∃!wreu 3065   ∖ cdif 3880  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067  HLchlt 37291  LHypclh 37925  DVecHcdvh 39019  LCDualclcd 39527  HDMapchdma 39733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-undef 8060  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-0g 17069  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-oppg 18865  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280  df-lsatoms 36917  df-lshyp 36918  df-lcv 36960  df-lfl 36999  df-lkr 37027  df-ldual 37065  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-llines 37439  df-lplanes 37440  df-lvols 37441  df-lines 37442  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100  df-tgrp 38684  df-tendo 38696  df-edring 38698  df-dveca 38944  df-disoa 38970  df-dvech 39020  df-dib 39080  df-dic 39114  df-dih 39170  df-doch 39289  df-djh 39336  df-lcdual 39528  df-mapd 39566  df-hvmap 39698  df-hdmap1 39734  df-hdmap 39735

This theorem is referenced by:  hdmap14lem15  39823