Theorem lcd0vvalN 42314

Description: Value of the zero functional at any vector. (Contributed by NM, 28-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcd0vval.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcd0vval.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcd0vval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcd0vval.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcd0vval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lcd0vval.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcd0vval.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐶)
lcd0vval.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcd0vval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lcd0vvalN	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = 0 )

Proof of Theorem lcd0vvalN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcd0vval.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcd0vval.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcd0vval.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		lcd0vval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
5		lcd0vval.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
6		lcd0vval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7		lcd0vval.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐶)
8		lcd0vval.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lcd0v 42312	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑉 × { 0 }))
10	9	fveq1d 6886	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = ((𝑉 × { 0 })‘𝑋))
11		lcd0vval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
12	5	fvexi 6898	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
13	12	fvconst2 7205	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑉 × { 0 })‘𝑋) = 0 )
14	11, 13	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 })‘𝑋) = 0 )
15	10, 14	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {csn 4594   × cxp 5662  ‘cfv 6539  Basecbs 17271  Scalarcsca 17315  0_gc0g 17494  HLchlt 40051  LHypclh 40685  DVecHcdvh 41779  LCDualclcd 42287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179  ax-riotaBAD 39654

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7677  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-undef 8271  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12865  df-fz 13538  df-struct 17209  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-ress 17293  df-plusg 17325  df-mulr 17326  df-sca 17328  df-vsca 17329  df-0g 17496  df-mre 17640  df-mrc 17641  df-acs 17643  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18386  df-lub 18402  df-glb 18403  df-join 18404  df-meet 18405  df-p0 18481  df-p1 18482  df-lat 18490  df-clat 18557  df-mgm 18700  df-sgrp 18779  df-mnd 18795  df-submnd 18844  df-grp 19005  df-minusg 19006  df-sbg 19007  df-subg 19191  df-cntz 19389  df-oppg 19418  df-lsm 19708  df-cmn 19854  df-abl 19855  df-mgp 20219  df-rng 20233  df-ur 20266  df-ring 20319  df-oppr 20421  df-dvdsr 20441  df-unit 20442  df-invr 20472  df-dvr 20485  df-nzr 20598  df-rlreg 20781  df-domn 20782  df-drng 20817  df-lmod 20963  df-lss 21033  df-lsp 21073  df-lvec 21204  df-lsatoms 39677  df-lshyp 39678  df-lcv 39720  df-lfl 39759  df-lkr 39787  df-ldual 39825  df-oposet 39877  df-ol 39879  df-oml 39880  df-covers 39967  df-ats 39968  df-atl 39999  df-cvlat 40023  df-hlat 40052  df-llines 40199  df-lplanes 40200  df-lvols 40201  df-lines 40202  df-psubsp 40204  df-pmap 40205  df-padd 40497  df-lhyp 40689  df-laut 40690  df-ldil 40805  df-ltrn 40806  df-trl 40860  df-tgrp 41444  df-tendo 41456  df-edring 41458  df-dveca 41704  df-disoa 41730  df-dvech 41780  df-dib 41840  df-dic 41874  df-dih 41930  df-doch 42049  df-djh 42096  df-lcdual 42288

This theorem is referenced by: (None)