Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcd0vvalN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcd0vvalN 40066
Description: Value of the zero functional at any vector. (Contributed by NM, 28-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lcd0vval.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcd0vval.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcd0vval.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcd0vval.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcd0vval.z 0 = (0g𝑆)
lcd0vval.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcd0vval.o 𝑂 = (0g𝐶)
lcd0vval.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcd0vval.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lcd0vvalN (𝜑 → (𝑂𝑋) = 0 )

Proof of Theorem lcd0vvalN
StepHypRef Expression
1 lcd0vval.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcd0vval.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 lcd0vval.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 lcd0vval.s . . . 4 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
5 lcd0vval.z . . . 4 0 = (0g𝑆)
6 lcd0vval.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7 lcd0vval.o . . . 4 𝑂 = (0g𝐶)
8 lcd0vval.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8lcd0v 40064 . . 3 (𝜑𝑂 = (𝑉 × { 0 }))
109fveq1d 6844 . 2 (𝜑 → (𝑂𝑋) = ((𝑉 × { 0 })‘𝑋))
11 lcd0vval.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
125fvexi 6856 . . . 4 0 ∈ V
1312fvconst2 7152 . . 3 (𝑋𝑉 → ((𝑉 × { 0 })‘𝑋) = 0 )
1411, 13syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑉 × { 0 })‘𝑋) = 0 )
1510, 14eqtrd 2776 1 (𝜑 → (𝑂𝑋) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {csn 4586   × cxp 5631  cfv 6496  Basecbs 17082  Scalarcsca 17135  0gc0g 17320  HLchlt 37802  LHypclh 38437  DVecHcdvh 39531  LCDualclcd 40039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127  ax-riotaBAD 37405
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7616  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-tpos 8156  df-undef 8203  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8647  df-map 8766  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-n0 12413  df-z 12499  df-uz 12763  df-fz 13424  df-struct 17018  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-ress 17112  df-plusg 17145  df-mulr 17146  df-sca 17148  df-vsca 17149  df-0g 17322  df-mre 17465  df-mrc 17466  df-acs 17468  df-proset 18183  df-poset 18201  df-plt 18218  df-lub 18234  df-glb 18235  df-join 18236  df-meet 18237  df-p0 18313  df-p1 18314  df-lat 18320  df-clat 18387  df-mgm 18496  df-sgrp 18545  df-mnd 18556  df-submnd 18601  df-grp 18750  df-minusg 18751  df-sbg 18752  df-subg 18923  df-cntz 19095  df-oppg 19122  df-lsm 19416  df-cmn 19562  df-abl 19563  df-mgp 19895  df-ur 19912  df-ring 19964  df-oppr 20047  df-dvdsr 20068  df-unit 20069  df-invr 20099  df-dvr 20110  df-drng 20185  df-lmod 20322  df-lss 20391  df-lsp 20431  df-lvec 20562  df-lsatoms 37428  df-lshyp 37429  df-lcv 37471  df-lfl 37510  df-lkr 37538  df-ldual 37576  df-oposet 37628  df-ol 37630  df-oml 37631  df-covers 37718  df-ats 37719  df-atl 37750  df-cvlat 37774  df-hlat 37803  df-llines 37951  df-lplanes 37952  df-lvols 37953  df-lines 37954  df-psubsp 37956  df-pmap 37957  df-padd 38249  df-lhyp 38441  df-laut 38442  df-ldil 38557  df-ltrn 38558  df-trl 38612  df-tgrp 39196  df-tendo 39208  df-edring 39210  df-dveca 39456  df-disoa 39482  df-dvech 39532  df-dib 39592  df-dic 39626  df-dih 39682  df-doch 39801  df-djh 39848  df-lcdual 40040
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator