Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh75cN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh75cN 39068
 Description: Part (7) of [Baer] p. 48 line 10 (3 of 6 cases). (Contributed by NM, 2-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh75.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh75.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh75.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh75.s = (-g𝑈)
mapdh75.o 0 = (0g𝑈)
mapdh75.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh75.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh75.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh75.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh75.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh75.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh75.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh75.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh75.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdh75.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh75.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh75a (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh75c.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdh75c.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh75c.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
mapdh75cN (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑋⟩) = 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,,   𝐶,   𝐷,,𝑥   ,𝐹,𝑥   ,𝐺,𝑥   0 ,,𝑥   ,𝐽,𝑥   ,𝑀,𝑥   ,𝑁,𝑥   𝜑,   𝑥,𝑄   𝑅,,𝑥   𝑈,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄()   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,)   𝐼(𝑥,)   𝐾(𝑥,)   𝑉(𝑥,)   𝑊(𝑥,)

Proof of Theorem mapdh75cN
StepHypRef Expression
1 mapdh75.h . 2 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdh75.u . 2 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdh75.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 mapdh75.s . 2 = (-g𝑈)
5 mapdh75.o . 2 0 = (0g𝑈)
6 mapdh75.n . 2 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7 mapdh75.c . 2 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 mapdh75.d . 2 𝐷 = (Base‘𝐶)
9 mapdh75.r . 2 𝑅 = (-g𝐶)
10 mapdh75.q . 2 𝑄 = (0g𝐶)
11 mapdh75.j . 2 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12 mapdh75.m . 2 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13 mapdh75.i . 2 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
14 mapdh75.k . 2 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
15 mapdh75.f . 2 (𝜑𝐹𝐷)
16 mapdh75.mn . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
17 mapdh75a . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
18 mapdh75c.ne . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
19 mapdh75c.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20 mapdh75c.y . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20mapdh75e 39067 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑋⟩) = 𝐹)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878  ifcif 4425  {csn 4525  ⟨cotp 4533   ↦ cmpt 5111  ‘cfv 6325  ℩crio 7093  (class class class)co 7136  1st c1st 7672  2nd c2nd 7673  Basecbs 16478  0gc0g 16708  -gcsg 18100  LSpanclspn 19740  HLchlt 36665  LHypclh 37299  DVecHcdvh 38393  LCDualclcd 38901  mapdcmpd 38939 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-riotaBAD 36268 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-of 7391  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-tpos 7878  df-undef 7925  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-fz 12889  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-0g 16710  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-proset 17533  df-poset 17551  df-plt 17563  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-p0 17644  df-p1 17645  df-lat 17651  df-clat 17713  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18272  df-cntz 18443  df-oppg 18470  df-lsm 18757  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-dvr 19433  df-drng 19501  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-lsp 19741  df-lvec 19872  df-lsatoms 36291  df-lshyp 36292  df-lcv 36334  df-lfl 36373  df-lkr 36401  df-ldual 36439  df-oposet 36491  df-ol 36493  df-oml 36494  df-covers 36581  df-ats 36582  df-atl 36613  df-cvlat 36637  df-hlat 36666  df-llines 36813  df-lplanes 36814  df-lvols 36815  df-lines 36816  df-psubsp 36818  df-pmap 36819  df-padd 37111  df-lhyp 37303  df-laut 37304  df-ldil 37419  df-ltrn 37420  df-trl 37474  df-tgrp 38058  df-tendo 38070  df-edring 38072  df-dveca 38318  df-disoa 38344  df-dvech 38394  df-dib 38454  df-dic 38488  df-dih 38544  df-doch 38663  df-djh 38710  df-lcdual 38902  df-mapd 38940 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator