Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh75e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh75e 38994
Description: Part (7) of [Baer] p. 48 line 10 (5 of 6 cases). 𝑋, 𝑌, 𝑍 are Baer's u, v, w. (Note: Cases 1 of 6 and 2 of 6 are hypotheses mapdh75b here and mapdh75a in mapdh75cN 38995.) (Contributed by NM, 2-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh75.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh75.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh75.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh75.s = (-g𝑈)
mapdh75.o 0 = (0g𝑈)
mapdh75.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh75.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh75.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh75.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh75.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh75.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh75.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh75.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh75.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdh75.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh75.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh75b (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
mapdh75e.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh75e.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh75e.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
mapdh75e (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑋⟩) = 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,,   𝐶,   𝐷,,𝑥   ,𝐸,𝑥   ,𝐹,𝑥   0 ,,𝑥   ,𝐽,𝑥   ,𝑀,𝑥   ,𝑁,𝑥   𝜑,   𝑥,𝑄   𝑅,,𝑥   𝑈,   ,𝑋,𝑥   ,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄()   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,)   𝐼(𝑥,)   𝐾(𝑥,)   𝑉(𝑥,)   𝑊(𝑥,)

Proof of Theorem mapdh75e
StepHypRef Expression
1 mapdh75b . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
2 mapdh75.q . . 3 𝑄 = (0g𝐶)
3 mapdh75.i . . 3 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
4 mapdh75.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 mapdh75.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
6 mapdh75.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 mapdh75.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
8 mapdh75.s . . 3 = (-g𝑈)
9 mapdh75.o . . 3 0 = (0g𝑈)
10 mapdh75.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
11 mapdh75.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
12 mapdh75.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐶)
13 mapdh75.r . . 3 𝑅 = (-g𝐶)
14 mapdh75.j . . 3 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
15 mapdh75.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
16 mapdh75.f . . 3 (𝜑𝐹𝐷)
17 mapdh75.mn . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
18 mapdh75e.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19 mapdh75e.z . . 3 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2019eldifad 3932 . . . . 5 (𝜑𝑍𝑉)
21 mapdh75e.ne . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
222, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21mapdhcl 38969 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷)
231, 22eqeltrrd 2917 . . 3 (𝜑𝐸𝐷)
242, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 23, 21mapdheq2 38971 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸 → (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑋⟩) = 𝐹))
251, 24mpd 15 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑋⟩) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  Vcvv 3481  cdif 3917  ifcif 4451  {csn 4551  cotp 4559  cmpt 5133  cfv 6344  crio 7107  (class class class)co 7150  1st c1st 7683  2nd c2nd 7684  Basecbs 16486  0gc0g 16716  -gcsg 18108  LSpanclspn 19746  HLchlt 36592  LHypclh 37226  DVecHcdvh 38320  LCDualclcd 38828  mapdcmpd 38866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-riotaBAD 36195
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-ot 4560  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7404  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-tpos 7889  df-undef 7936  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-oadd 8103  df-er 8286  df-map 8405  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-4 11702  df-5 11703  df-6 11704  df-n0 11898  df-z 11982  df-uz 12244  df-fz 12898  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-0g 16718  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-proset 17541  df-poset 17559  df-plt 17571  df-lub 17587  df-glb 17588  df-join 17589  df-meet 17590  df-p0 17652  df-p1 17653  df-lat 17659  df-clat 17721  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-subg 18279  df-cntz 18450  df-oppg 18477  df-lsm 18764  df-cmn 18911  df-abl 18912  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-oppr 19379  df-dvdsr 19397  df-unit 19398  df-invr 19428  df-dvr 19439  df-drng 19507  df-lmod 19639  df-lss 19707  df-lsp 19747  df-lvec 19878  df-lsatoms 36218  df-lshyp 36219  df-lcv 36261  df-lfl 36300  df-lkr 36328  df-ldual 36366  df-oposet 36418  df-ol 36420  df-oml 36421  df-covers 36508  df-ats 36509  df-atl 36540  df-cvlat 36564  df-hlat 36593  df-llines 36740  df-lplanes 36741  df-lvols 36742  df-lines 36743  df-psubsp 36745  df-pmap 36746  df-padd 37038  df-lhyp 37230  df-laut 37231  df-ldil 37346  df-ltrn 37347  df-trl 37401  df-tgrp 37985  df-tendo 37997  df-edring 37999  df-dveca 38245  df-disoa 38271  df-dvech 38321  df-dib 38381  df-dic 38415  df-dih 38471  df-doch 38590  df-djh 38637  df-lcdual 38829  df-mapd 38867
This theorem is referenced by:  mapdh75cN  38995  mapdh75fN  38997  hdmap1eq2  39047
  Copyright terms: Public domain W3C validator