Theorem mapdh8ac 41775

Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 13-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh8a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdh8a.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh8a.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh8a.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh8a.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh8a.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdh8ac.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh8ac.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh8ac.eg	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh8ac.ee	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
mapdh8ac.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ac.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ac.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ac.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ac.yn	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8ac.ew	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) = 𝐵)
mapdh8ac.w	⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ac.yw	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
mapdh8ac.xy	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
mapdh8ac.wz	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh8ac.xz	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍}))

Assertion

Ref	Expression
mapdh8ac	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, −   0 ,ℎ,𝑥   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ,𝑥   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝐼   ℎ,𝐺,𝑥   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥   𝜑,ℎ   𝑅,ℎ,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,ℎ,𝑥   𝑈,ℎ   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   ℎ,𝐸,𝑥   ℎ,𝑍,𝑥   𝐵,ℎ,𝑥   𝑤,ℎ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤)   𝐵(𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤)   𝐷(𝑤)   𝑄(𝑤,ℎ)   𝑅(𝑤)   𝑇(𝑤)   𝑈(𝑥,𝑤)   𝐸(𝑤)   𝐹(𝑤)   𝐺(𝑤)   𝐻(𝑥,𝑤,ℎ)   𝐼(𝑥,𝑤)   𝐽(𝑤)   𝐾(𝑥,𝑤,ℎ)   𝑀(𝑤)   − (𝑤)   𝑁(𝑤)   𝑉(𝑥,𝑤,ℎ)   𝑊(𝑥,𝑤,ℎ)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)   0 (𝑤)   𝑍(𝑤)

Proof of Theorem mapdh8ac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh8a.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh8a.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh8a.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		mapdh8a.s	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑈)
5		mapdh8a.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		mapdh8a.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		mapdh8a.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdh8a.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
9		mapdh8a.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
10		mapdh8a.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
11		mapdh8a.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12		mapdh8a.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13		mapdh8a.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
14		mapdh8a.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15		mapdh8ac.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
16		mapdh8ac.mn	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
17		mapdh8ac.eg	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
18		mapdh8ac.ew	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) = 𝐵)
19		mapdh8ac.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20		mapdh8ac.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21		mapdh8ac.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22		mapdh8ac.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
23		mapdh8ac.yw	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
24		mapdh8ac.xy	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
25		mapdh8ac.yn	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇}))
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	mapdh8ab 41774	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, 𝐵, 𝑇⟩))
27		mapdh8ac.ee	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
28		mapdh8ac.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
29		mapdh8ac.wz	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
30		mapdh8ac.xz	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍}))
31	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 27, 19, 21, 28, 22, 29, 30, 25	mapdh8ab 41774	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑤, 𝐵, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩))
32	26, 31	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  Vcvv 3481   ∖ cdif 3963  ifcif 4534  {csn 4634  {cpr 4636  ⟨cotp 4642   ↦ cmpt 5234  ‘cfv 6569  ℩crio 7394  (class class class)co 7438  1^st c1st 8020  2^nd c2nd 8021  Basecbs 17254  0_gc0g 17495  -_gcsg 18975  LSpanclspn 20996  HLchlt 39346  LHypclh 39981  DVecHcdvh 41075  LCDualclcd 41583  mapdcmpd 41621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239  ax-riotaBAD 38949

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-tp 4639  df-op 4641  df-ot 4643  df-uni 4916  df-int 4955  df-iun 5001  df-iin 5002  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-of 7704  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-tpos 8259  df-undef 8306  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8753  df-map 8876  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-fin 8997  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-4 12338  df-5 12339  df-6 12340  df-n0 12534  df-z 12621  df-uz 12886  df-fz 13554  df-struct 17190  df-sets 17207  df-slot 17225  df-ndx 17237  df-base 17255  df-ress 17284  df-plusg 17320  df-mulr 17321  df-sca 17323  df-vsca 17324  df-0g 17497  df-mre 17640  df-mrc 17641  df-acs 17643  df-proset 18361  df-poset 18380  df-plt 18397  df-lub 18413  df-glb 18414  df-join 18415  df-meet 18416  df-p0 18492  df-p1 18493  df-lat 18499  df-clat 18566  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-oppg 19386  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-nzr 20539  df-rlreg 20720  df-domn 20721  df-drng 20757  df-lmod 20886  df-lss 20957  df-lsp 20997  df-lvec 21129  df-lsatoms 38972  df-lshyp 38973  df-lcv 39015  df-lfl 39054  df-lkr 39082  df-ldual 39120  df-oposet 39172  df-ol 39174  df-oml 39175  df-covers 39262  df-ats 39263  df-atl 39294  df-cvlat 39318  df-hlat 39347  df-llines 39495  df-lplanes 39496  df-lvols 39497  df-lines 39498  df-psubsp 39500  df-pmap 39501  df-padd 39793  df-lhyp 39985  df-laut 39986  df-ldil 40101  df-ltrn 40102  df-trl 40156  df-tgrp 40740  df-tendo 40752  df-edring 40754  df-dveca 41000  df-disoa 41026  df-dvech 41076  df-dib 41136  df-dic 41170  df-dih 41226  df-doch 41345  df-djh 41392  df-lcdual 41584  df-mapd 41622

This theorem is referenced by:  mapdh8ad  41776