Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8ac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh8ac 37852
 Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 13-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s = (-g𝑈)
mapdh8a.o 0 = (0g𝑈)
mapdh8a.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh8a.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh8a.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh8a.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdh8ac.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh8ac.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh8ac.eg (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh8ac.ee (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
mapdh8ac.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ac.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ac.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ac.t (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ac.yn (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8ac.ew (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) = 𝐵)
mapdh8ac.w (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ac.yw (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
mapdh8ac.xy (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
mapdh8ac.wz (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh8ac.xz (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍}))
Assertion
Ref Expression
mapdh8ac (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩))
Distinct variable groups:   𝑥,,   0 ,,𝑥   𝐶,   𝐷,,𝑥   ,𝐹,𝑥   ,𝐼   ,𝐺,𝑥   ,𝐽,𝑥   ,𝑀,𝑥   ,𝑁,𝑥   𝜑,   𝑅,,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,,𝑥   𝑈,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   ,𝐸,𝑥   ,𝑍,𝑥   𝐵,,𝑥   𝑤,,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤)   𝐵(𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤)   𝐷(𝑤)   𝑄(𝑤,)   𝑅(𝑤)   𝑇(𝑤)   𝑈(𝑥,𝑤)   𝐸(𝑤)   𝐹(𝑤)   𝐺(𝑤)   𝐻(𝑥,𝑤,)   𝐼(𝑥,𝑤)   𝐽(𝑤)   𝐾(𝑥,𝑤,)   𝑀(𝑤)   (𝑤)   𝑁(𝑤)   𝑉(𝑥,𝑤,)   𝑊(𝑥,𝑤,)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)   0 (𝑤)   𝑍(𝑤)

Proof of Theorem mapdh8ac
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdh8a.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdh8a.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 mapdh8a.s . . 3 = (-g𝑈)
5 mapdh8a.o . . 3 0 = (0g𝑈)
6 mapdh8a.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7 mapdh8a.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 mapdh8a.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐶)
9 mapdh8a.r . . 3 𝑅 = (-g𝐶)
10 mapdh8a.q . . 3 𝑄 = (0g𝐶)
11 mapdh8a.j . . 3 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12 mapdh8a.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13 mapdh8a.i . . 3 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
14 mapdh8a.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
15 mapdh8ac.f . . 3 (𝜑𝐹𝐷)
16 mapdh8ac.mn . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
17 mapdh8ac.eg . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
18 mapdh8ac.ew . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) = 𝐵)
19 mapdh8ac.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20 mapdh8ac.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21 mapdh8ac.w . . 3 (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22 mapdh8ac.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
23 mapdh8ac.yw . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
24 mapdh8ac.xy . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
25 mapdh8ac.yn . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇}))
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25mapdh8ab 37851 . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, 𝐵, 𝑇⟩))
27 mapdh8ac.ee . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
28 mapdh8ac.z . . 3 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
29 mapdh8ac.wz . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
30 mapdh8ac.xz . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍}))
311, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 27, 19, 21, 28, 22, 29, 30, 25mapdh8ab 37851 . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑤, 𝐵, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩))
3226, 31eqtrd 2861 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  Vcvv 3414   ∖ cdif 3795  ifcif 4308  {csn 4399  {cpr 4401  ⟨cotp 4407   ↦ cmpt 4954  ‘cfv 6127  ℩crio 6870  (class class class)co 6910  1st c1st 7431  2nd c2nd 7432  Basecbs 16229  0gc0g 16460  -gcsg 17785  LSpanclspn 19337  HLchlt 35424  LHypclh 36058  DVecHcdvh 37152  LCDualclcd 37660  mapdcmpd 37698 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-riotaBAD 35027 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-ot 4408  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-tpos 7622  df-undef 7669  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-0g 16462  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-proset 17288  df-poset 17306  df-plt 17318  df-lub 17334  df-glb 17335  df-join 17336  df-meet 17337  df-p0 17399  df-p1 17400  df-lat 17406  df-clat 17468  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-subg 17949  df-cntz 18107  df-oppg 18133  df-lsm 18409  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-oppr 18984  df-dvdsr 19002  df-unit 19003  df-invr 19033  df-dvr 19044  df-drng 19112  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-lsp 19338  df-lvec 19469  df-lsatoms 35050  df-lshyp 35051  df-lcv 35093  df-lfl 35132  df-lkr 35160  df-ldual 35198  df-oposet 35250  df-ol 35252  df-oml 35253  df-covers 35340  df-ats 35341  df-atl 35372  df-cvlat 35396  df-hlat 35425  df-llines 35572  df-lplanes 35573  df-lvols 35574  df-lines 35575  df-psubsp 35577  df-pmap 35578  df-padd 35870  df-lhyp 36062  df-laut 36063  df-ldil 36178  df-ltrn 36179  df-trl 36233  df-tgrp 36817  df-tendo 36829  df-edring 36831  df-dveca 37077  df-disoa 37103  df-dvech 37153  df-dib 37213  df-dic 37247  df-dih 37303  df-doch 37422  df-djh 37469  df-lcdual 37661  df-mapd 37699 This theorem is referenced by:  mapdh8ad  37853
 Copyright terms: Public domain W3C validator