Theorem mapdh8ac 42106

Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 13-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh8a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdh8a.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh8a.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh8a.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh8a.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh8a.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdh8ac.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh8ac.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh8ac.eg	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh8ac.ee	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
mapdh8ac.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ac.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ac.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ac.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ac.yn	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8ac.ew	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) = 𝐵)
mapdh8ac.w	⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ac.yw	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
mapdh8ac.xy	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
mapdh8ac.wz	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh8ac.xz	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍}))

Assertion

Ref	Expression
mapdh8ac	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, −   0 ,ℎ,𝑥   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ,𝑥   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝐼   ℎ,𝐺,𝑥   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥   𝜑,ℎ   𝑅,ℎ,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,ℎ,𝑥   𝑈,ℎ   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   ℎ,𝐸,𝑥   ℎ,𝑍,𝑥   𝐵,ℎ,𝑥   𝑤,ℎ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤)   𝐵(𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤)   𝐷(𝑤)   𝑄(𝑤,ℎ)   𝑅(𝑤)   𝑇(𝑤)   𝑈(𝑥,𝑤)   𝐸(𝑤)   𝐹(𝑤)   𝐺(𝑤)   𝐻(𝑥,𝑤,ℎ)   𝐼(𝑥,𝑤)   𝐽(𝑤)   𝐾(𝑥,𝑤,ℎ)   𝑀(𝑤)   − (𝑤)   𝑁(𝑤)   𝑉(𝑥,𝑤,ℎ)   𝑊(𝑥,𝑤,ℎ)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)   0 (𝑤)   𝑍(𝑤)

Proof of Theorem mapdh8ac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh8a.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh8a.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh8a.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		mapdh8a.s	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑈)
5		mapdh8a.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		mapdh8a.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		mapdh8a.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdh8a.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
9		mapdh8a.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
10		mapdh8a.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
11		mapdh8a.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12		mapdh8a.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13		mapdh8a.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
14		mapdh8a.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15		mapdh8ac.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
16		mapdh8ac.mn	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
17		mapdh8ac.eg	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
18		mapdh8ac.ew	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) = 𝐵)
19		mapdh8ac.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20		mapdh8ac.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21		mapdh8ac.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22		mapdh8ac.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
23		mapdh8ac.yw	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
24		mapdh8ac.xy	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
25		mapdh8ac.yn	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇}))
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	mapdh8ab 42105	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑤, 𝐵, 𝑇⟩))
27		mapdh8ac.ee	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
28		mapdh8ac.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
29		mapdh8ac.wz	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
30		mapdh8ac.xz	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑍}))
31	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 27, 19, 21, 28, 22, 29, 30, 25	mapdh8ab 42105	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑤, 𝐵, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩))
32	26, 31	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3441   ∖ cdif 3899  ifcif 4480  {csn 4581  {cpr 4583  ⟨cotp 4589   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6493  ℩crio 7316  (class class class)co 7360  1^st c1st 7933  2^nd c2nd 7934  Basecbs 17140  0_gc0g 17363  -_gcsg 18869  LSpanclspn 20926  HLchlt 39678  LHypclh 40312  DVecHcdvh 41406  LCDualclcd 41914  mapdcmpd 41952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-riotaBAD 39281

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-undef 8217  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-0g 17365  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-proset 18221  df-poset 18240  df-plt 18255  df-lub 18271  df-glb 18272  df-join 18273  df-meet 18274  df-p0 18350  df-p1 18351  df-lat 18359  df-clat 18426  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18713  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-subg 19057  df-cntz 19250  df-oppg 19279  df-lsm 19569  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20277  df-dvdsr 20297  df-unit 20298  df-invr 20328  df-dvr 20341  df-nzr 20450  df-rlreg 20631  df-domn 20632  df-drng 20668  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-lsp 20927  df-lvec 21059  df-lsatoms 39304  df-lshyp 39305  df-lcv 39347  df-lfl 39386  df-lkr 39414  df-ldual 39452  df-oposet 39504  df-ol 39506  df-oml 39507  df-covers 39594  df-ats 39595  df-atl 39626  df-cvlat 39650  df-hlat 39679  df-llines 39826  df-lplanes 39827  df-lvols 39828  df-lines 39829  df-psubsp 39831  df-pmap 39832  df-padd 40124  df-lhyp 40316  df-laut 40317  df-ldil 40432  df-ltrn 40433  df-trl 40487  df-tgrp 41071  df-tendo 41083  df-edring 41085  df-dveca 41331  df-disoa 41357  df-dvech 41407  df-dib 41467  df-dic 41501  df-dih 41557  df-doch 41676  df-djh 41723  df-lcdual 41915  df-mapd 41953

This theorem is referenced by:  mapdh8ad  42107