Theorem mapdh8i 41751

Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 11-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh8a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdh8a.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh8a.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh8a.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh8a.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh8a.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdh8h.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh8h.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh8i.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8i.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8i.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8i.xy	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdh8i.xz	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh8i.yt	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8i.zt	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8i.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8i.xt	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))

Assertion

Ref	Expression
mapdh8i	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, −   0 ,ℎ,𝑥   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ,𝑥   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝐼   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥   𝜑,ℎ   𝑅,ℎ,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,ℎ,𝑥   𝑈,ℎ   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   ℎ,𝑍,𝑥   𝑥,𝐼   ℎ,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,ℎ)   𝐾(𝑥,ℎ)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem mapdh8i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh8a.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh8a.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh8a.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		mapdh8a.s	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑈)
5		mapdh8a.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		mapdh8a.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		mapdh8a.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdh8a.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
9		mapdh8a.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
10		mapdh8a.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
11		mapdh8a.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12		mapdh8a.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13		mapdh8a.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
14		mapdh8a.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15		mapdh8h.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
16		mapdh8h.mn	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
17		eqidd 2736	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩))
18		mapdh8i.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19		mapdh8i.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20		mapdh8i.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21		mapdh8i.xy	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
22		mapdh8i.xt	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
23		mapdh8i.yt	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	mapdh8g 41750	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
25		eqidd 2736	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))
26		mapdh8i.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
27		mapdh8i.xz	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
28		mapdh8i.zt	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 25, 18, 26, 20, 27, 22, 28	mapdh8g 41750	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
30	24, 29	eqtr4d 2773	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  Vcvv 3459   ∖ cdif 3923  ifcif 4500  {csn 4601  ⟨cotp 4609   ↦ cmpt 5201  ‘cfv 6530  ℩crio 7359  (class class class)co 7403  1^st c1st 7984  2^nd c2nd 7985  Basecbs 17226  0_gc0g 17451  -_gcsg 18916  LSpanclspn 20926  HLchlt 39314  LHypclh 39949  DVecHcdvh 41043  LCDualclcd 41551  mapdcmpd 41589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-riotaBAD 38917

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-ot 4610  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7669  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8223  df-undef 8270  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13523  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-0g 17453  df-mre 17596  df-mrc 17597  df-acs 17599  df-proset 18304  df-poset 18323  df-plt 18338  df-lub 18354  df-glb 18355  df-join 18356  df-meet 18357  df-p0 18433  df-p1 18434  df-lat 18440  df-clat 18507  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-submnd 18760  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-sbg 18919  df-subg 19104  df-cntz 19298  df-oppg 19327  df-lsm 19615  df-cmn 19761  df-abl 19762  df-mgp 20099  df-rng 20111  df-ur 20140  df-ring 20193  df-oppr 20295  df-dvdsr 20315  df-unit 20316  df-invr 20346  df-dvr 20359  df-nzr 20471  df-rlreg 20652  df-domn 20653  df-drng 20689  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-lsp 20927  df-lvec 21059  df-lsatoms 38940  df-lshyp 38941  df-lcv 38983  df-lfl 39022  df-lkr 39050  df-ldual 39088  df-oposet 39140  df-ol 39142  df-oml 39143  df-covers 39230  df-ats 39231  df-atl 39262  df-cvlat 39286  df-hlat 39315  df-llines 39463  df-lplanes 39464  df-lvols 39465  df-lines 39466  df-psubsp 39468  df-pmap 39469  df-padd 39761  df-lhyp 39953  df-laut 39954  df-ldil 40069  df-ltrn 40070  df-trl 40124  df-tgrp 40708  df-tendo 40720  df-edring 40722  df-dveca 40968  df-disoa 40994  df-dvech 41044  df-dib 41104  df-dic 41138  df-dih 41194  df-doch 41313  df-djh 41360  df-lcdual 41552  df-mapd 41590

This theorem is referenced by:  mapdh8j  41752