Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8j Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mapdh8j 39728
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 13-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s − = (-g‘𝑈)
mapdh8a.o 0 = (0g‘𝑈)
mapdh8a.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh8a.q 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh8a.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh8a.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdh8h.f (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh8h.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh8i.x (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8i.y (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8i.z (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8i.xy (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdh8i.xz (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh8i.yt (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8i.zt (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8j.t (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
mapdh8j (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩))
Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, −   0 ,ℎ,𝑥   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ,𝑥   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝐼   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥   𝜑,ℎ   𝑅,ℎ,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,ℎ,𝑥   𝑈,ℎ   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   ℎ,𝑍,𝑥   𝑥,𝐼   ℎ,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,ℎ)   𝐾(𝑥,ℎ)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,ℎ)
Proof of Theorem mapdh8j
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdh8a.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdh8a.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 mapdh8a.s . . 3 − = (-g‘𝑈)
5 mapdh8a.o . . 3 0 = (0g‘𝑈)
6 mapdh8a.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7 mapdh8a.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 mapdh8a.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐶)
9 mapdh8a.r . . 3 𝑅 = (-g‘𝐶)
10 mapdh8a.q . . 3 𝑄 = (0g‘𝐶)
11 mapdh8a.j . . 3 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12 mapdh8a.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13 mapdh8a.i . . 3 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
14 mapdh8a.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
1514adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16 mapdh8h.f . . . 4 (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
1716adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → 𝐹 ∈ 𝐷)
18 mapdh8h.mn . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
1918adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
20 eqidd 2739 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩))
21 eqidd 2739 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))
22 mapdh8i.x . . . 4 (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2322adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
24 mapdh8i.y . . . 4 (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2524adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
26 mapdh8i.z . . . 4 (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2726adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
28 mapdh8j.t . . . 4 (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2928adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
30 simpr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇}))
31 mapdh8i.xy . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
3231adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
33 mapdh8i.xz . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
3433adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 20, 21, 23, 25, 27, 29, 30, 32, 34mapdh8ad 39720 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩))
3614adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3716adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → 𝐹 ∈ 𝐷)
3818adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
3922adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4024adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4126adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4231adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
4333adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
44 mapdh8i.yt . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
4544adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
46 mapdh8i.zt . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
4746adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
4828adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
49 simpr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
501, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 47, 48, 49mapdh8i 39727 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩))
5135, 50pm2.61dane 3031 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880  ifcif 4456  {csn 4558  ⟨cotp 4566   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  ℩crio 7211  (class class class)co 7255  1st c1st 7802  2nd c2nd 7803  Basecbs 16840  0gc0g 17067  -gcsg 18494  LSpanclspn 20148  HLchlt 37291  LHypclh 37925  DVecHcdvh 39019  LCDualclcd 39527  mapdcmpd 39565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-riotaBAD 36894
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-undef 8060  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-0g 17069  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-oppg 18865  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280  df-lsatoms 36917  df-lshyp 36918  df-lcv 36960  df-lfl 36999  df-lkr 37027  df-ldual 37065  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-llines 37439  df-lplanes 37440  df-lvols 37441  df-lines 37442  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100  df-tgrp 38684  df-tendo 38696  df-edring 38698  df-dveca 38944  df-disoa 38970  df-dvech 39020  df-dib 39080  df-dic 39114  df-dih 39170  df-doch 39289  df-djh 39336  df-lcdual 39528  df-mapd 39566
This theorem is referenced by:  mapdh8  39729
  Copyright terms: Public domain W3C validator