Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8j Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mapdh8j 41124
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 13-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdh8a.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh8a.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh8a.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdh8a.r 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
mapdh8a.q 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
mapdh8a.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdh8a.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh8a.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
mapdh8a.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdh8h.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh8h.mn (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
mapdh8i.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh8i.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh8i.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh8i.xy (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
mapdh8i.xz (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
mapdh8i.yt (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
mapdh8i.zt (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑍}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
mapdh8j.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
Assertion
Ref Expression
mapdh8j (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©), π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©), π‘‡βŸ©))
Distinct variable groups:   π‘₯,β„Ž, βˆ’   0 ,β„Ž,π‘₯   𝐢,β„Ž   𝐷,β„Ž,π‘₯   β„Ž,𝐹,π‘₯   β„Ž,𝐼   β„Ž,𝐽,π‘₯   β„Ž,𝑀,π‘₯   β„Ž,𝑁,π‘₯   πœ‘,β„Ž   𝑅,β„Ž,π‘₯   π‘₯,𝑄   𝑇,β„Ž,π‘₯   π‘ˆ,β„Ž   β„Ž,𝑋,π‘₯   β„Ž,π‘Œ,π‘₯   β„Ž,𝑍,π‘₯   π‘₯,𝐼   β„Ž,𝑉
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝑄(β„Ž)   π‘ˆ(π‘₯)   𝐻(π‘₯,β„Ž)   𝐾(π‘₯,β„Ž)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯,β„Ž)
Proof of Theorem mapdh8j
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 mapdh8a.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 mapdh8a.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 mapdh8a.s . . 3 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
5 mapdh8a.o . . 3 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
6 mapdh8a.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
7 mapdh8a.c . . 3 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 mapdh8a.d . . 3 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
9 mapdh8a.r . . 3 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
10 mapdh8a.q . . 3 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
11 mapdh8a.j . . 3 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
12 mapdh8a.m . . 3 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
13 mapdh8a.i . . 3 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
14 mapdh8a.k . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
1514adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑇})) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
16 mapdh8h.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
1716adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
18 mapdh8h.mn . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
1918adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑇})) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
20 eqidd 2732 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑇})) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©))
21 eqidd 2732 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑇})) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©))
22 mapdh8i.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
2322adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
24 mapdh8i.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
2524adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑇})) β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
26 mapdh8i.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
2726adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
28 mapdh8j.t . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
2928adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝑇 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
30 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑇})) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑇}))
31 mapdh8i.xy . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
3231adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑇})) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
33 mapdh8i.xz . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
3433adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑇})) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 20, 21, 23, 25, 27, 29, 30, 32, 34mapdh8ad 41116 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑇})) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©), π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©), π‘‡βŸ©))
3614adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3716adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
3818adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
3922adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
4024adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})) β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
4126adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
4231adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
4333adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
44 mapdh8i.yt . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
4544adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
46 mapdh8i.zt . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑍}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
4746adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})) β†’ (π‘β€˜{𝑍}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
4828adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝑇 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
49 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
501, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 47, 48, 49mapdh8i 41123 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©), π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©), π‘‡βŸ©))
5135, 50pm2.61dane 3028 1 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©), π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©), π‘‡βŸ©))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3945  ifcif 4528  {csn 4628  βŸ¨cotp 4636   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  β„©crio 7367  (class class class)co 7412  1st c1st 7977  2nd c2nd 7978  Basecbs 17151  0gc0g 17392  -gcsg 18863  LSpanclspn 20814  HLchlt 38686  LHypclh 39321  DVecHcdvh 40415  LCDualclcd 40923  mapdcmpd 40961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-riotaBAD 38289
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-undef 8264  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-0g 17394  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19046  df-cntz 19229  df-oppg 19258  df-lsm 19552  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-lvec 20947  df-lsatoms 38312  df-lshyp 38313  df-lcv 38355  df-lfl 38394  df-lkr 38422  df-ldual 38460  df-oposet 38512  df-ol 38514  df-oml 38515  df-covers 38602  df-ats 38603  df-atl 38634  df-cvlat 38658  df-hlat 38687  df-llines 38835  df-lplanes 38836  df-lvols 38837  df-lines 38838  df-psubsp 38840  df-pmap 38841  df-padd 39133  df-lhyp 39325  df-laut 39326  df-ldil 39441  df-ltrn 39442  df-trl 39496  df-tgrp 40080  df-tendo 40092  df-edring 40094  df-dveca 40340  df-disoa 40366  df-dvech 40416  df-dib 40476  df-dic 40510  df-dih 40566  df-doch 40685  df-djh 40732  df-lcdual 40924  df-mapd 40962
This theorem is referenced by:  mapdh8  41125
  Copyright terms: Public domain W3C validator