Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8j Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mapdh8j 41730
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 13-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s − = (-g‘𝑈)
mapdh8a.o 0 = (0g‘𝑈)
mapdh8a.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh8a.q 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh8a.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh8a.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdh8h.f (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh8h.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh8i.x (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8i.y (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8i.z (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8i.xy (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdh8i.xz (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh8i.yt (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8i.zt (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8j.t (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
mapdh8j (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩))
Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, −   0 ,ℎ,𝑥   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ,𝑥   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝐼   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥   𝜑,ℎ   𝑅,ℎ,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,ℎ,𝑥   𝑈,ℎ   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   ℎ,𝑍,𝑥   𝑥,𝐼   ℎ,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,ℎ)   𝐾(𝑥,ℎ)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,ℎ)
Proof of Theorem mapdh8j
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdh8a.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdh8a.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 mapdh8a.s . . 3 − = (-g‘𝑈)
5 mapdh8a.o . . 3 0 = (0g‘𝑈)
6 mapdh8a.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7 mapdh8a.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 mapdh8a.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐶)
9 mapdh8a.r . . 3 𝑅 = (-g‘𝐶)
10 mapdh8a.q . . 3 𝑄 = (0g‘𝐶)
11 mapdh8a.j . . 3 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12 mapdh8a.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13 mapdh8a.i . . 3 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
14 mapdh8a.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
1514adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16 mapdh8h.f . . . 4 (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
1716adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → 𝐹 ∈ 𝐷)
18 mapdh8h.mn . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
1918adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
20 eqidd 2735 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩))
21 eqidd 2735 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))
22 mapdh8i.x . . . 4 (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2322adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
24 mapdh8i.y . . . 4 (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2524adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
26 mapdh8i.z . . . 4 (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2726adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
28 mapdh8j.t . . . 4 (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2928adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
30 simpr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇}))
31 mapdh8i.xy . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
3231adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
33 mapdh8i.xz . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
3433adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 20, 21, 23, 25, 27, 29, 30, 32, 34mapdh8ad 41722 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩))
3614adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3716adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → 𝐹 ∈ 𝐷)
3818adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
3922adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4024adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4126adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4231adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
4333adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
44 mapdh8i.yt . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
4544adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
46 mapdh8i.zt . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
4746adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
4828adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
49 simpr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
501, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 47, 48, 49mapdh8i 41729 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩))
5135, 50pm2.61dane 3018 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  Vcvv 3464   ∖ cdif 3930  ifcif 4507  {csn 4608  ⟨cotp 4616   ↦ cmpt 5207  ‘cfv 6542  ℩crio 7370  (class class class)co 7414  1st c1st 7995  2nd c2nd 7996  Basecbs 17230  0gc0g 17460  -gcsg 18927  LSpanclspn 20942  HLchlt 39292  LHypclh 39927  DVecHcdvh 41021  LCDualclcd 41529  mapdcmpd 41567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-riotaBAD 38895
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-tp 4613  df-op 4615  df-ot 4617  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-iin 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-tpos 8234  df-undef 8281  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-2o 8490  df-er 8728  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-4 12314  df-5 12315  df-6 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12862  df-fz 13531  df-struct 17167  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17257  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-0g 17462  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-proset 18315  df-poset 18334  df-plt 18349  df-lub 18365  df-glb 18366  df-join 18367  df-meet 18368  df-p0 18444  df-p1 18445  df-lat 18451  df-clat 18518  df-mgm 18627  df-sgrp 18706  df-mnd 18722  df-submnd 18771  df-grp 18928  df-minusg 18929  df-sbg 18930  df-subg 19115  df-cntz 19309  df-oppg 19338  df-lsm 19627  df-cmn 19773  df-abl 19774  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-oppr 20307  df-dvdsr 20330  df-unit 20331  df-invr 20361  df-dvr 20374  df-nzr 20486  df-rlreg 20667  df-domn 20668  df-drng 20704  df-lmod 20833  df-lss 20903  df-lsp 20943  df-lvec 21075  df-lsatoms 38918  df-lshyp 38919  df-lcv 38961  df-lfl 39000  df-lkr 39028  df-ldual 39066  df-oposet 39118  df-ol 39120  df-oml 39121  df-covers 39208  df-ats 39209  df-atl 39240  df-cvlat 39264  df-hlat 39293  df-llines 39441  df-lplanes 39442  df-lvols 39443  df-lines 39444  df-psubsp 39446  df-pmap 39447  df-padd 39739  df-lhyp 39931  df-laut 39932  df-ldil 40047  df-ltrn 40048  df-trl 40102  df-tgrp 40686  df-tendo 40698  df-edring 40700  df-dveca 40946  df-disoa 40972  df-dvech 41022  df-dib 41082  df-dic 41116  df-dih 41172  df-doch 41291  df-djh 41338  df-lcdual 41530  df-mapd 41568
This theorem is referenced by:  mapdh8  41731
  Copyright terms: Public domain W3C validator