Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8j Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mapdh8j 37863
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 13-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s − = (-g‘𝑈)
mapdh8a.o 0 = (0g‘𝑈)
mapdh8a.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh8a.q 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh8a.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh8a.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdh8h.f (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh8h.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh8i.x (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8i.y (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8i.z (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8i.xy (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdh8i.xz (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh8i.yt (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8i.zt (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8j.t (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
mapdh8j (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩))
Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, −   0 ,ℎ,𝑥   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ,𝑥   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝐼   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥   𝜑,ℎ   𝑅,ℎ,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,ℎ,𝑥   𝑈,ℎ   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   ℎ,𝑍,𝑥   𝑥,𝐼   ℎ,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,ℎ)   𝐾(𝑥,ℎ)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,ℎ)
Proof of Theorem mapdh8j
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdh8a.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdh8a.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 mapdh8a.s . . 3 − = (-g‘𝑈)
5 mapdh8a.o . . 3 0 = (0g‘𝑈)
6 mapdh8a.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7 mapdh8a.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 mapdh8a.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐶)
9 mapdh8a.r . . 3 𝑅 = (-g‘𝐶)
10 mapdh8a.q . . 3 𝑄 = (0g‘𝐶)
11 mapdh8a.j . . 3 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12 mapdh8a.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13 mapdh8a.i . . 3 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
14 mapdh8a.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
1514adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16 mapdh8h.f . . . 4 (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
1716adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → 𝐹 ∈ 𝐷)
18 mapdh8h.mn . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
1918adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
20 eqidd 2827 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩))
21 eqidd 2827 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))
22 mapdh8i.x . . . 4 (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2322adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
24 mapdh8i.y . . . 4 (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2524adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
26 mapdh8i.z . . . 4 (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2726adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
28 mapdh8j.t . . . 4 (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2928adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
30 simpr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇}))
31 mapdh8i.xy . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
3231adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
33 mapdh8i.xz . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
3433adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 20, 21, 23, 25, 27, 29, 30, 32, 34mapdh8ad 37855 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩))
3614adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3716adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → 𝐹 ∈ 𝐷)
3818adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
3922adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4024adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4126adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4231adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
4333adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
44 mapdh8i.yt . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
4544adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
46 mapdh8i.zt . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
4746adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
4828adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
49 simpr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
501, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 47, 48, 49mapdh8i 37862 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩))
5135, 50pm2.61dane 3087 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000  Vcvv 3415   ∖ cdif 3796  ifcif 4307  {csn 4398  ⟨cotp 4406   ↦ cmpt 4953  ‘cfv 6124  ℩crio 6866  (class class class)co 6906  1st c1st 7427  2nd c2nd 7428  Basecbs 16223  0gc0g 16454  -gcsg 17779  LSpanclspn 19331  HLchlt 35426  LHypclh 36060  DVecHcdvh 37154  LCDualclcd 37662  mapdcmpd 37700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-riotaBAD 35029
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-ot 4407  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-tpos 7618  df-undef 7665  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-fz 12621  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-0g 16456  df-mre 16600  df-mrc 16601  df-acs 16603  df-proset 17282  df-poset 17300  df-plt 17312  df-lub 17328  df-glb 17329  df-join 17330  df-meet 17331  df-p0 17393  df-p1 17394  df-lat 17400  df-clat 17462  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-submnd 17690  df-grp 17780  df-minusg 17781  df-sbg 17782  df-subg 17943  df-cntz 18101  df-oppg 18127  df-lsm 18403  df-cmn 18549  df-abl 18550  df-mgp 18845  df-ur 18857  df-ring 18904  df-oppr 18978  df-dvdsr 18996  df-unit 18997  df-invr 19027  df-dvr 19038  df-drng 19106  df-lmod 19222  df-lss 19290  df-lsp 19332  df-lvec 19463  df-lsatoms 35052  df-lshyp 35053  df-lcv 35095  df-lfl 35134  df-lkr 35162  df-ldual 35200  df-oposet 35252  df-ol 35254  df-oml 35255  df-covers 35342  df-ats 35343  df-atl 35374  df-cvlat 35398  df-hlat 35427  df-llines 35574  df-lplanes 35575  df-lvols 35576  df-lines 35577  df-psubsp 35579  df-pmap 35580  df-padd 35872  df-lhyp 36064  df-laut 36065  df-ldil 36180  df-ltrn 36181  df-trl 36235  df-tgrp 36819  df-tendo 36831  df-edring 36833  df-dveca 37079  df-disoa 37105  df-dvech 37155  df-dib 37215  df-dic 37249  df-dih 37305  df-doch 37424  df-djh 37471  df-lcdual 37663  df-mapd 37701
This theorem is referenced by:  mapdh8  37864
  Copyright terms: Public domain W3C validator