Theorem lclkrlem2w 42158

Description: Lemma for lclkr 42162. This is the same as lclkrlem2u 42156 and lclkrlem2u 42156 with the inequality hypotheses negated. When the sum of two functionals is zero at each generating vector, the kernel is the vector space and therefore closed. (Contributed by NM, 16-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2m.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lclkrlem2m.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q	⊢ × = (.r‘𝑆)
lclkrlem2m.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lclkrlem2m.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
lclkrlem2m.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
lclkrlem2m.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2m.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2n.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2n.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2o.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.a	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
lclkrlem2o.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrlem2q.le	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
lclkrlem2q.lg	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
lclkrlem2v.j	⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = 0 )
lclkrlem2v.k	⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2w	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2w

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrlem2o.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lclkrlem2o.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		lclkrlem2o.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		lclkrlem2m.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		lclkrlem2o.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 2, 3, 4, 5	dochoc1 41990	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑉)) = 𝑉)
7		lclkrlem2m.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
8		lclkrlem2m.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
9		lclkrlem2m.q	. . . . 5 ⊢ × = (.r‘𝑆)
10		lclkrlem2m.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
11		lclkrlem2m.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
12		lclkrlem2m.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑈)
13		lclkrlem2m.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
14		lclkrlem2m.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
15		lclkrlem2m.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐷)
16		lclkrlem2m.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
17		lclkrlem2m.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
18		lclkrlem2m.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
19		lclkrlem2m.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
20		lclkrlem2n.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
21		lclkrlem2n.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
22		lclkrlem2o.a	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
23		lclkrlem2q.le	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
24		lclkrlem2q.lg	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
25		lclkrlem2v.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = 0 )
26		lclkrlem2v.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = 0 )
27	4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 1, 3, 2, 22, 5, 23, 24, 25, 26	lclkrlem2v 42157	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) = 𝑉)
28	27	fveq2d 6873	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺))) = ( ⊥ ‘𝑉))
29	28	fveq2d 6873	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑉)))
30	6, 29, 27	3eqtr4d 2809	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  {csn 4584  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Basecbs 17247  +_gcplusg 17288  ._rcmulr 17289  Scalarcsca 17291   ·_𝑠 cvsca 17292  0_gc0g 17470  -_gcsg 18979  LSSumclsm 19676  inv_rcinvr 20438  LSpanclspn 21040  LFnlclfn 39686  LKerclk 39714  LDualcld 39752  HLchlt 39979  LHypclh 40613  DVecHcdvh 41707  ocHcoch 41976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-riotaBAD 39582

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-undef 8255  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-0g 17472  df-mre 17616  df-mrc 17617  df-acs 17619  df-proset 18328  df-poset 18347  df-plt 18362  df-lub 18378  df-glb 18379  df-join 18380  df-meet 18381  df-p0 18457  df-p1 18458  df-lat 18466  df-clat 18533  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-submnd 18820  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-sbg 18982  df-subg 19167  df-cntz 19359  df-oppg 19388  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-ring 20287  df-oppr 20388  df-dvdsr 20408  df-unit 20409  df-invr 20439  df-dvr 20452  df-drng 20783  df-lmod 20931  df-lss 21001  df-lsp 21041  df-lvec 21172  df-lsatoms 39605  df-lcv 39648  df-lfl 39687  df-lkr 39715  df-ldual 39753  df-oposet 39805  df-ol 39807  df-oml 39808  df-covers 39895  df-ats 39896  df-atl 39927  df-cvlat 39951  df-hlat 39980  df-llines 40127  df-lplanes 40128  df-lvols 40129  df-lines 40130  df-psubsp 40132  df-pmap 40133  df-padd 40425  df-lhyp 40617  df-laut 40618  df-ldil 40733  df-ltrn 40734  df-trl 40788  df-tgrp 41372  df-tendo 41384  df-edring 41386  df-dveca 41632  df-disoa 41658  df-dvech 41708  df-dib 41768  df-dic 41802  df-dih 41858  df-doch 41977  df-djh 42024

This theorem is referenced by:  lclkrlem2x  42159