MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltayl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eltayl 26307
Description: Value of the Taylor series as a relation (elementhood in the domain here expresses that the series is convergent). (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylfval.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
taylfval.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
taylfval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
taylfval.n (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ 𝑁 = +∞))
taylfval.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
taylfval.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)
Assertion
Ref Expression
eltayl (πœ‘ β†’ (π‘‹π‘‡π‘Œ ↔ (𝑋 ∈ β„‚ ∧ π‘Œ ∈ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((𝑋 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))))))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   π‘˜,𝐹   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑁   𝑆,π‘˜   π‘˜,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝑇(π‘˜)   π‘Œ(π‘˜)
Proof of Theorem eltayl
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylfval.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 taylfval.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
3 taylfval.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
4 taylfval.n . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ 𝑁 = +∞))
5 taylfval.b . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
6 taylfval.t . . . 4 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)
71, 2, 3, 4, 5, 6taylfval 26306 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 = βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))))
87eleq2d 2815 . 2 (πœ‘ β†’ (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ 𝑇 ↔ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))))))
9 df-br 5149 . . 3 (π‘‹π‘‡π‘Œ ↔ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ 𝑇)
109bicomi 223 . 2 (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ 𝑇 ↔ π‘‹π‘‡π‘Œ)
11 oveq1 7427 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐡) = (𝑋 βˆ’ 𝐡))
1211oveq1d 7435 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜) = ((𝑋 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))
1312oveq2d 7436 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((𝑋 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))
1413mpteq2dv 5250 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))) = (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((𝑋 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))
1514oveq2d 7436 . . 3 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))) = (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((𝑋 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))))
1615opeliunxp2 5841 . 2 (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) ↔ (𝑋 ∈ β„‚ ∧ π‘Œ ∈ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((𝑋 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))))
178, 10, 163bitr3g 313 1 (πœ‘ β†’ (π‘‹π‘‡π‘Œ ↔ (𝑋 ∈ β„‚ ∧ π‘Œ ∈ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((𝑋 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  {csn 4629  {cpr 4631  βŸ¨cop 4635  βˆͺ ciun 4996   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5676  dom cdm 5678  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„‚cc 11137  β„cr 11138  0cc0 11139   Β· cmul 11144  +∞cpnf 11276   βˆ’ cmin 11475   / cdiv 11902  β„•0cn0 12503  β„€cz 12589  [,]cicc 13360  β†‘cexp 14059  !cfa 14265  β„‚fldccnfld 21279   tsums ctsu 24043   D𝑛 cdvn 25806   Tayl ctayl 26300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-exp 14060  df-fac 14266  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-tsms 24044  df-xms 24239  df-ms 24240  df-limc 25808  df-dv 25809  df-dvn 25810  df-tayl 26302
This theorem is referenced by:  taylf  26308  tayl0  26309
  Copyright terms: Public domain W3C validator