Theorem lcfrlem32 41510

Description: Lemma for lcfr 41521. (Contributed by NM, 10-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrlem17.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem17.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem17.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcfrlem17.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lcfrlem17.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem17.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
lcfrlem17.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfrlem17.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lcfrlem22.b	⊢ 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
lcfrlem24.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lcfrlem24.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem24.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑆)
lcfrlem24.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfrlem24.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
lcfrlem24.ib	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
lcfrlem24.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem25.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem28.jn	⊢ (𝜑 → ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ 𝑄)
lcfrlem29.i	⊢ 𝐹 = (invr‘𝑆)
lcfrlem30.m	⊢ − = (-g‘𝐷)
lcfrlem30.c	⊢ 𝐶 = ((𝐽‘𝑋) − (((𝐹‘((𝐽‘𝑌)‘𝐼))(.r‘𝑆)((𝐽‘𝑋)‘𝐼))( ·𝑠 ‘𝐷)(𝐽‘𝑌)))
lcfrlem31.xi	⊢ (𝜑 → ((𝐽‘𝑋)‘𝐼) ≠ 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem32	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ (0g‘𝐷))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤,𝑥, ⊥   + ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑅,𝑘,𝑣,𝑥   𝑆,𝑘   · ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑣,𝑉,𝑥   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤,𝑥   𝑘,𝑌,𝑣,𝑤,𝑥   𝑥, 0

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐴(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑄(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣)   𝑈(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐼(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐽(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   − (𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑁(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   0 (𝑤,𝑣,𝑘)

Proof of Theorem lcfrlem32

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrlem17.ne	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2		lcfrlem17.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		lcfrlem17.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcfrlem17.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		lcfrlem17.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		lcfrlem17.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑈)
7		lcfrlem17.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
8		lcfrlem17.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
9		lcfrlem17.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
10		lcfrlem17.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (0g‘𝐷)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		lcfrlem17.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (0g‘𝐷)) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14		lcfrlem17.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (0g‘𝐷)) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
16	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (0g‘𝐷)) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
17		lcfrlem22.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
18		lcfrlem24.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
19		lcfrlem24.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
20		lcfrlem24.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑆)
21		lcfrlem24.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
22		lcfrlem24.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
23		lcfrlem24.ib	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
24	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (0g‘𝐷)) → 𝐼 ∈ 𝐵)
25		lcfrlem24.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
26		lcfrlem25.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
27		lcfrlem28.jn	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ 𝑄)
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (0g‘𝐷)) → ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ 𝑄)
29		lcfrlem29.i	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (invr‘𝑆)
30		lcfrlem30.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐷)
31		lcfrlem30.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((𝐽‘𝑋) − (((𝐹‘((𝐽‘𝑌)‘𝐼))(.r‘𝑆)((𝐽‘𝑋)‘𝐼))( ·𝑠 ‘𝐷)(𝐽‘𝑌)))
32		lcfrlem31.xi	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘𝑋)‘𝐼) ≠ 𝑄)
33	32	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (0g‘𝐷)) → ((𝐽‘𝑋)‘𝐼) ≠ 𝑄)
34		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (0g‘𝐷)) → 𝐶 = (0g‘𝐷))
35	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 28, 29, 30, 31, 33, 34	lcfrlem31 41509	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (0g‘𝐷)) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
36	35	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 = (0g‘𝐷) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
37	36	necon3d 2952	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) → 𝐶 ≠ (0g‘𝐷)))
38	1, 37	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ (0g‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∃wrex 3059   ∖ cdif 3928   ∩ cin 3930  {csn 4606  {cpr 4608   ↦ cmpt 5205  ‘cfv 6540  ℩crio 7368  (class class class)co 7412  Basecbs 17228  +_gcplusg 17272  ._rcmulr 17273  Scalarcsca 17275   ·_𝑠 cvsca 17276  0_gc0g 17454  -_gcsg 18921  inv_rcinvr 20354  LSpanclspn 20936  LSAtomsclsa 38909  LKerclk 39020  LDualcld 39058  HLchlt 39285  LHypclh 39920  DVecHcdvh 41014  ocHcoch 41283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-riotaBAD 38888

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7678  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8232  df-undef 8279  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-nn 12248  df-2 12310  df-3 12311  df-4 12312  df-5 12313  df-6 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12860  df-fz 13529  df-struct 17165  df-sets 17182  df-slot 17200  df-ndx 17212  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17285  df-mulr 17286  df-sca 17288  df-vsca 17289  df-0g 17456  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-proset 18309  df-poset 18328  df-plt 18343  df-lub 18359  df-glb 18360  df-join 18361  df-meet 18362  df-p0 18438  df-p1 18439  df-lat 18445  df-clat 18512  df-mgm 18621  df-sgrp 18700  df-mnd 18716  df-submnd 18765  df-grp 18922  df-minusg 18923  df-sbg 18924  df-subg 19109  df-cntz 19303  df-oppg 19332  df-lsm 19621  df-cmn 19767  df-abl 19768  df-mgp 20105  df-rng 20117  df-ur 20146  df-ring 20199  df-oppr 20301  df-dvdsr 20324  df-unit 20325  df-invr 20355  df-dvr 20368  df-nzr 20480  df-rlreg 20661  df-domn 20662  df-drng 20698  df-lmod 20827  df-lss 20897  df-lsp 20937  df-lvec 21069  df-lsatoms 38911  df-lshyp 38912  df-lcv 38954  df-lfl 38993  df-lkr 39021  df-ldual 39059  df-oposet 39111  df-ol 39113  df-oml 39114  df-covers 39201  df-ats 39202  df-atl 39233  df-cvlat 39257  df-hlat 39286  df-llines 39434  df-lplanes 39435  df-lvols 39436  df-lines 39437  df-psubsp 39439  df-pmap 39440  df-padd 39732  df-lhyp 39924  df-laut 39925  df-ldil 40040  df-ltrn 40041  df-trl 40095  df-tgrp 40679  df-tendo 40691  df-edring 40693  df-dveca 40939  df-disoa 40965  df-dvech 41015  df-dib 41075  df-dic 41109  df-dih 41165  df-doch 41284  df-djh 41331

This theorem is referenced by:  lcfrlem34  41512