Theorem lcfrlem32 41533

Description: Lemma for lcfr 41544. (Contributed by NM, 10-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrlem17.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem17.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem17.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcfrlem17.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lcfrlem17.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem17.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
lcfrlem17.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfrlem17.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lcfrlem22.b	⊢ 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
lcfrlem24.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lcfrlem24.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem24.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑆)
lcfrlem24.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfrlem24.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
lcfrlem24.ib	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
lcfrlem24.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem25.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem28.jn	⊢ (𝜑 → ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ 𝑄)
lcfrlem29.i	⊢ 𝐹 = (invr‘𝑆)
lcfrlem30.m	⊢ − = (-g‘𝐷)
lcfrlem30.c	⊢ 𝐶 = ((𝐽‘𝑋) − (((𝐹‘((𝐽‘𝑌)‘𝐼))(.r‘𝑆)((𝐽‘𝑋)‘𝐼))( ·𝑠 ‘𝐷)(𝐽‘𝑌)))
lcfrlem31.xi	⊢ (𝜑 → ((𝐽‘𝑋)‘𝐼) ≠ 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem32	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ (0g‘𝐷))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤,𝑥, ⊥   + ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑅,𝑘,𝑣,𝑥   𝑆,𝑘   · ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑣,𝑉,𝑥   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤,𝑥   𝑘,𝑌,𝑣,𝑤,𝑥   𝑥, 0

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐴(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑄(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣)   𝑈(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐼(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐽(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   − (𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑁(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   0 (𝑤,𝑣,𝑘)

Proof of Theorem lcfrlem32

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrlem17.ne	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2		lcfrlem17.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		lcfrlem17.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcfrlem17.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		lcfrlem17.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		lcfrlem17.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑈)
7		lcfrlem17.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
8		lcfrlem17.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
9		lcfrlem17.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
10		lcfrlem17.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (0g‘𝐷)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		lcfrlem17.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (0g‘𝐷)) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14		lcfrlem17.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (0g‘𝐷)) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
16	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (0g‘𝐷)) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
17		lcfrlem22.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
18		lcfrlem24.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
19		lcfrlem24.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
20		lcfrlem24.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑆)
21		lcfrlem24.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
22		lcfrlem24.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
23		lcfrlem24.ib	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
24	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (0g‘𝐷)) → 𝐼 ∈ 𝐵)
25		lcfrlem24.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
26		lcfrlem25.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
27		lcfrlem28.jn	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ 𝑄)
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (0g‘𝐷)) → ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ 𝑄)
29		lcfrlem29.i	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (invr‘𝑆)
30		lcfrlem30.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐷)
31		lcfrlem30.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((𝐽‘𝑋) − (((𝐹‘((𝐽‘𝑌)‘𝐼))(.r‘𝑆)((𝐽‘𝑋)‘𝐼))( ·𝑠 ‘𝐷)(𝐽‘𝑌)))
32		lcfrlem31.xi	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘𝑋)‘𝐼) ≠ 𝑄)
33	32	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (0g‘𝐷)) → ((𝐽‘𝑋)‘𝐼) ≠ 𝑄)
34		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (0g‘𝐷)) → 𝐶 = (0g‘𝐷))
35	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 28, 29, 30, 31, 33, 34	lcfrlem31 41532	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (0g‘𝐷)) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
36	35	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 = (0g‘𝐷) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
37	36	necon3d 2967	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) → 𝐶 ≠ (0g‘𝐷)))
38	1, 37	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ (0g‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076   ∖ cdif 3973   ∩ cin 3975  {csn 4648  {cpr 4650   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6575  ℩crio 7405  (class class class)co 7450  Basecbs 17260  +_gcplusg 17313  ._rcmulr 17314  Scalarcsca 17316   ·_𝑠 cvsca 17317  0_gc0g 17501  -_gcsg 18977  inv_rcinvr 20415  LSpanclspn 20994  LSAtomsclsa 38932  LKerclk 39043  LDualcld 39081  HLchlt 39308  LHypclh 39943  DVecHcdvh 41037  ocHcoch 41306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263  ax-riotaBAD 38911

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-of 7716  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-tpos 8269  df-undef 8316  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-2o 8525  df-er 8765  df-map 8888  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-5 12361  df-6 12362  df-n0 12556  df-z 12642  df-uz 12906  df-fz 13570  df-struct 17196  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-ress 17290  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-0g 17503  df-mre 17646  df-mrc 17647  df-acs 17649  df-proset 18367  df-poset 18385  df-plt 18402  df-lub 18418  df-glb 18419  df-join 18420  df-meet 18421  df-p0 18497  df-p1 18498  df-lat 18504  df-clat 18571  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-submnd 18821  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-subg 19165  df-cntz 19359  df-oppg 19388  df-lsm 19680  df-cmn 19826  df-abl 19827  df-mgp 20164  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-oppr 20362  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416  df-dvr 20429  df-nzr 20541  df-rlreg 20718  df-domn 20719  df-drng 20755  df-lmod 20884  df-lss 20955  df-lsp 20995  df-lvec 21127  df-lsatoms 38934  df-lshyp 38935  df-lcv 38977  df-lfl 39016  df-lkr 39044  df-ldual 39082  df-oposet 39134  df-ol 39136  df-oml 39137  df-covers 39224  df-ats 39225  df-atl 39256  df-cvlat 39280  df-hlat 39309  df-llines 39457  df-lplanes 39458  df-lvols 39459  df-lines 39460  df-psubsp 39462  df-pmap 39463  df-padd 39755  df-lhyp 39947  df-laut 39948  df-ldil 40063  df-ltrn 40064  df-trl 40118  df-tgrp 40702  df-tendo 40714  df-edring 40716  df-dveca 40962  df-disoa 40988  df-dvech 41038  df-dib 41098  df-dic 41132  df-dih 41188  df-doch 41307  df-djh 41354

This theorem is referenced by:  lcfrlem34  41535