Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem32 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem32 39596
Description: Lemma for lcfr 39607. (Contributed by NM, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem17.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem17.p + = (+g𝑈)
lcfrlem17.z 0 = (0g𝑈)
lcfrlem17.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem17.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
lcfrlem17.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfrlem17.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lcfrlem22.b 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
lcfrlem24.t · = ( ·𝑠𝑈)
lcfrlem24.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem24.q 𝑄 = (0g𝑆)
lcfrlem24.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfrlem24.j 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
lcfrlem24.ib (𝜑𝐼𝐵)
lcfrlem24.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem25.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem28.jn (𝜑 → ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ 𝑄)
lcfrlem29.i 𝐹 = (invr𝑆)
lcfrlem30.m = (-g𝐷)
lcfrlem30.c 𝐶 = ((𝐽𝑋) (((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼))( ·𝑠𝐷)(𝐽𝑌)))
lcfrlem31.xi (𝜑 → ((𝐽𝑋)‘𝐼) ≠ 𝑄)
Assertion
Ref Expression
lcfrlem32 (𝜑𝐶 ≠ (0g𝐷))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤,𝑥,   + ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑅,𝑘,𝑣,𝑥   𝑆,𝑘   · ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑣,𝑉,𝑥   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤,𝑥   𝑘,𝑌,𝑣,𝑤,𝑥   𝑥, 0
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐴(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑄(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣)   𝑈(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐼(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐽(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   (𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑁(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   0 (𝑤,𝑣,𝑘)

Proof of Theorem lcfrlem32
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.ne . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2 lcfrlem17.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 lcfrlem17.o . . . . 5 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4 lcfrlem17.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 lcfrlem17.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
6 lcfrlem17.p . . . . 5 + = (+g𝑈)
7 lcfrlem17.z . . . . 5 0 = (0g𝑈)
8 lcfrlem17.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
9 lcfrlem17.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
10 lcfrlem17.k . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
1110adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = (0g𝐷)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
12 lcfrlem17.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1312adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = (0g𝐷)) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14 lcfrlem17.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1514adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = (0g𝐷)) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
161adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = (0g𝐷)) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
17 lcfrlem22.b . . . . 5 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
18 lcfrlem24.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑈)
19 lcfrlem24.s . . . . 5 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
20 lcfrlem24.q . . . . 5 𝑄 = (0g𝑆)
21 lcfrlem24.r . . . . 5 𝑅 = (Base‘𝑆)
22 lcfrlem24.j . . . . 5 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
23 lcfrlem24.ib . . . . . 6 (𝜑𝐼𝐵)
2423adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = (0g𝐷)) → 𝐼𝐵)
25 lcfrlem24.l . . . . 5 𝐿 = (LKer‘𝑈)
26 lcfrlem25.d . . . . 5 𝐷 = (LDual‘𝑈)
27 lcfrlem28.jn . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ 𝑄)
2827adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = (0g𝐷)) → ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ 𝑄)
29 lcfrlem29.i . . . . 5 𝐹 = (invr𝑆)
30 lcfrlem30.m . . . . 5 = (-g𝐷)
31 lcfrlem30.c . . . . 5 𝐶 = ((𝐽𝑋) (((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼))( ·𝑠𝐷)(𝐽𝑌)))
32 lcfrlem31.xi . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐽𝑋)‘𝐼) ≠ 𝑄)
3332adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = (0g𝐷)) → ((𝐽𝑋)‘𝐼) ≠ 𝑄)
34 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = (0g𝐷)) → 𝐶 = (0g𝐷))
352, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 28, 29, 30, 31, 33, 34lcfrlem31 39595 . . . 4 ((𝜑𝐶 = (0g𝐷)) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
3635ex 413 . . 3 (𝜑 → (𝐶 = (0g𝐷) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
3736necon3d 2964 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) → 𝐶 ≠ (0g𝐷)))
381, 37mpd 15 1 (𝜑𝐶 ≠ (0g𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wrex 3065  cdif 3883  cin 3885  {csn 4561  {cpr 4563  cmpt 5156  cfv 6426  crio 7223  (class class class)co 7267  Basecbs 16922  +gcplusg 16972  .rcmulr 16973  Scalarcsca 16975   ·𝑠 cvsca 16976  0gc0g 17160  -gcsg 18589  invrcinvr 19923  LSpanclspn 20243  LSAtomsclsa 36996  LKerclk 37107  LDualcld 37145  HLchlt 37372  LHypclh 38006  DVecHcdvh 39100  ocHcoch 39369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-riotaBAD 36975
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-of 7523  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-tpos 8029  df-undef 8076  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-map 8604  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-n0 12244  df-z 12330  df-uz 12593  df-fz 13250  df-struct 16858  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-sca 16988  df-vsca 16989  df-0g 17162  df-mre 17305  df-mrc 17306  df-acs 17308  df-proset 18023  df-poset 18041  df-plt 18058  df-lub 18074  df-glb 18075  df-join 18076  df-meet 18077  df-p0 18153  df-p1 18154  df-lat 18160  df-clat 18227  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-submnd 18441  df-grp 18590  df-minusg 18591  df-sbg 18592  df-subg 18762  df-cntz 18933  df-oppg 18960  df-lsm 19251  df-cmn 19398  df-abl 19399  df-mgp 19731  df-ur 19748  df-ring 19795  df-oppr 19872  df-dvdsr 19893  df-unit 19894  df-invr 19924  df-dvr 19935  df-drng 20003  df-lmod 20135  df-lss 20204  df-lsp 20244  df-lvec 20375  df-lsatoms 36998  df-lshyp 36999  df-lcv 37041  df-lfl 37080  df-lkr 37108  df-ldual 37146  df-oposet 37198  df-ol 37200  df-oml 37201  df-covers 37288  df-ats 37289  df-atl 37320  df-cvlat 37344  df-hlat 37373  df-llines 37520  df-lplanes 37521  df-lvols 37522  df-lines 37523  df-psubsp 37525  df-pmap 37526  df-padd 37818  df-lhyp 38010  df-laut 38011  df-ldil 38126  df-ltrn 38127  df-trl 38181  df-tgrp 38765  df-tendo 38777  df-edring 38779  df-dveca 39025  df-disoa 39051  df-dvech 39101  df-dib 39161  df-dic 39195  df-dih 39251  df-doch 39370  df-djh 39417
This theorem is referenced by:  lcfrlem34  39598
  Copyright terms: Public domain W3C validator