Theorem lcfrlem34 40442

Description: Lemma for lcfr 40451. (Contributed by NM, 10-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrlem17.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem17.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem17.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcfrlem17.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lcfrlem17.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem17.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
lcfrlem17.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfrlem17.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lcfrlem22.b	⊢ 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
lcfrlem24.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lcfrlem24.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem24.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑆)
lcfrlem24.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfrlem24.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
lcfrlem24.ib	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
lcfrlem24.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem25.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem28.jn	⊢ (𝜑 → ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ 𝑄)
lcfrlem29.i	⊢ 𝐹 = (invr‘𝑆)
lcfrlem30.m	⊢ − = (-g‘𝐷)
lcfrlem30.c	⊢ 𝐶 = ((𝐽‘𝑋) − (((𝐹‘((𝐽‘𝑌)‘𝐼))(.r‘𝑆)((𝐽‘𝑋)‘𝐼))( ·𝑠 ‘𝐷)(𝐽‘𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem34	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ (0g‘𝐷))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤,𝑥, ⊥   + ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑅,𝑘,𝑣,𝑥   𝑆,𝑘   · ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑣,𝑉,𝑥   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤,𝑥   𝑘,𝑌,𝑣,𝑤,𝑥   𝑥, 0

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐴(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑄(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣)   𝑈(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐼(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐽(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   − (𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑁(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   0 (𝑤,𝑣,𝑘)

Proof of Theorem lcfrlem34

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrlem17.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcfrlem17.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcfrlem17.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcfrlem17.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		lcfrlem17.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑈)
6		lcfrlem17.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
7		lcfrlem17.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8		lcfrlem17.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
9		lcfrlem17.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	9	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑋)‘𝐼) = 𝑄) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		lcfrlem17.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
12	11	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑋)‘𝐼) = 𝑄) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
13		lcfrlem17.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	13	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑋)‘𝐼) = 𝑄) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15		lcfrlem17.ne	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
16	15	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑋)‘𝐼) = 𝑄) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
17		lcfrlem22.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
18		lcfrlem24.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
19		lcfrlem24.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
20		lcfrlem24.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑆)
21		lcfrlem24.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
22		lcfrlem24.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
23		lcfrlem24.ib	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
24	23	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑋)‘𝐼) = 𝑄) → 𝐼 ∈ 𝐵)
25		lcfrlem24.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
26		lcfrlem25.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
27		lcfrlem28.jn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ 𝑄)
28	27	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑋)‘𝐼) = 𝑄) → ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ 𝑄)
29		lcfrlem29.i	. . 3 ⊢ 𝐹 = (invr‘𝑆)
30		lcfrlem30.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐷)
31		lcfrlem30.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((𝐽‘𝑋) − (((𝐹‘((𝐽‘𝑌)‘𝐼))(.r‘𝑆)((𝐽‘𝑋)‘𝐼))( ·𝑠 ‘𝐷)(𝐽‘𝑌)))
32		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑋)‘𝐼) = 𝑄) → ((𝐽‘𝑋)‘𝐼) = 𝑄)
33	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 28, 29, 30, 31, 32	lcfrlem33 40441	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑋)‘𝐼) = 𝑄) → 𝐶 ≠ (0g‘𝐷))
34	9	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑋)‘𝐼) ≠ 𝑄) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
35	11	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑋)‘𝐼) ≠ 𝑄) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
36	13	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑋)‘𝐼) ≠ 𝑄) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
37	15	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑋)‘𝐼) ≠ 𝑄) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
38	23	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑋)‘𝐼) ≠ 𝑄) → 𝐼 ∈ 𝐵)
39	27	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑋)‘𝐼) ≠ 𝑄) → ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ 𝑄)
40		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑋)‘𝐼) ≠ 𝑄) → ((𝐽‘𝑋)‘𝐼) ≠ 𝑄)
41	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 34, 35, 36, 37, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 38, 25, 26, 39, 29, 30, 31, 40	lcfrlem32 40440	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑋)‘𝐼) ≠ 𝑄) → 𝐶 ≠ (0g‘𝐷))
42	33, 41	pm2.61dane 3029	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ (0g‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   ∖ cdif 3945   ∩ cin 3947  {csn 4628  {cpr 4630   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  ℩crio 7363  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  +_gcplusg 17196  ._rcmulr 17197  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  0_gc0g 17384  -_gcsg 18820  inv_rcinvr 20200  LSpanclspn 20581  LSAtomsclsa 37839  LKerclk 37950  LDualcld 37988  HLchlt 38215  LHypclh 38850  DVecHcdvh 39944  ocHcoch 40213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 37818

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-undef 8257  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17386  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-cntz 19180  df-oppg 19209  df-lsm 19503  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-lvec 20713  df-lsatoms 37841  df-lshyp 37842  df-lcv 37884  df-lfl 37923  df-lkr 37951  df-ldual 37989  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-llines 38364  df-lplanes 38365  df-lvols 38366  df-lines 38367  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025  df-tgrp 39609  df-tendo 39621  df-edring 39623  df-dveca 39869  df-disoa 39895  df-dvech 39945  df-dib 40005  df-dic 40039  df-dih 40095  df-doch 40214  df-djh 40261

This theorem is referenced by:  lcfrlem35  40443