Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem34 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem34 41089
Description: Lemma for lcfr 41098. (Contributed by NM, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
lcfrlem17.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfrlem17.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfrlem17.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.p + = (+gβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.z 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
lcfrlem17.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
lcfrlem17.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
lcfrlem17.ne (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
lcfrlem22.b 𝐡 = ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}))
lcfrlem24.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
lcfrlem24.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem24.q 𝑄 = (0gβ€˜π‘†)
lcfrlem24.r 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
lcfrlem24.j 𝐽 = (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))))
lcfrlem24.ib (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐡)
lcfrlem24.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem25.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem28.jn (πœ‘ β†’ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) β‰  𝑄)
lcfrlem29.i 𝐹 = (invrβ€˜π‘†)
lcfrlem30.m βˆ’ = (-gβ€˜π·)
lcfrlem30.c 𝐢 = ((π½β€˜π‘‹) βˆ’ (((πΉβ€˜((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ))(.rβ€˜π‘†)((π½β€˜π‘‹)β€˜πΌ))( ·𝑠 β€˜π·)(π½β€˜π‘Œ)))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem34 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  (0gβ€˜π·))
Distinct variable groups:   𝑣,π‘˜,𝑀,π‘₯, βŠ₯   + ,π‘˜,𝑣,𝑀,π‘₯   𝑅,π‘˜,𝑣,π‘₯   𝑆,π‘˜   Β· ,π‘˜,𝑣,𝑀,π‘₯   𝑣,𝑉,π‘₯   π‘˜,𝑋,𝑣,𝑀,π‘₯   π‘˜,π‘Œ,𝑣,𝑀,π‘₯   π‘₯, 0
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐴(π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐡(π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐢(π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐷(π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   𝑄(π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   𝑅(𝑀)   𝑆(π‘₯,𝑀,𝑣)   π‘ˆ(π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐹(π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐻(π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐼(π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐽(π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐾(π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐿(π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   βˆ’ (π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   𝑁(π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   𝑉(𝑀,π‘˜)   π‘Š(π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   0 (𝑀,𝑣,π‘˜)

Proof of Theorem lcfrlem34
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 lcfrlem17.o . . 3 βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 lcfrlem17.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 lcfrlem17.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
5 lcfrlem17.p . . 3 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
6 lcfrlem17.z . . 3 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
7 lcfrlem17.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
8 lcfrlem17.a . . 3 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
9 lcfrlem17.k . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
109adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘‹)β€˜πΌ) = 𝑄) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
11 lcfrlem17.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
1211adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘‹)β€˜πΌ) = 𝑄) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
13 lcfrlem17.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
1413adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘‹)β€˜πΌ) = 𝑄) β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
15 lcfrlem17.ne . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
1615adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘‹)β€˜πΌ) = 𝑄) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
17 lcfrlem22.b . . 3 𝐡 = ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}))
18 lcfrlem24.t . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
19 lcfrlem24.s . . 3 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
20 lcfrlem24.q . . 3 𝑄 = (0gβ€˜π‘†)
21 lcfrlem24.r . . 3 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
22 lcfrlem24.j . . 3 𝐽 = (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))))
23 lcfrlem24.ib . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐡)
2423adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘‹)β€˜πΌ) = 𝑄) β†’ 𝐼 ∈ 𝐡)
25 lcfrlem24.l . . 3 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
26 lcfrlem25.d . . 3 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
27 lcfrlem28.jn . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) β‰  𝑄)
2827adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘‹)β€˜πΌ) = 𝑄) β†’ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) β‰  𝑄)
29 lcfrlem29.i . . 3 𝐹 = (invrβ€˜π‘†)
30 lcfrlem30.m . . 3 βˆ’ = (-gβ€˜π·)
31 lcfrlem30.c . . 3 𝐢 = ((π½β€˜π‘‹) βˆ’ (((πΉβ€˜((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ))(.rβ€˜π‘†)((π½β€˜π‘‹)β€˜πΌ))( ·𝑠 β€˜π·)(π½β€˜π‘Œ)))
32 simpr 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘‹)β€˜πΌ) = 𝑄) β†’ ((π½β€˜π‘‹)β€˜πΌ) = 𝑄)
331, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 28, 29, 30, 31, 32lcfrlem33 41088 . 2 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘‹)β€˜πΌ) = 𝑄) β†’ 𝐢 β‰  (0gβ€˜π·))
349adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘‹)β€˜πΌ) β‰  𝑄) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3511adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘‹)β€˜πΌ) β‰  𝑄) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3613adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘‹)β€˜πΌ) β‰  𝑄) β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3715adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘‹)β€˜πΌ) β‰  𝑄) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
3823adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘‹)β€˜πΌ) β‰  𝑄) β†’ 𝐼 ∈ 𝐡)
3927adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘‹)β€˜πΌ) β‰  𝑄) β†’ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) β‰  𝑄)
40 simpr 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘‹)β€˜πΌ) β‰  𝑄) β†’ ((π½β€˜π‘‹)β€˜πΌ) β‰  𝑄)
411, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 34, 35, 36, 37, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 38, 25, 26, 39, 29, 30, 31, 40lcfrlem32 41087 . 2 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘‹)β€˜πΌ) β‰  𝑄) β†’ 𝐢 β‰  (0gβ€˜π·))
4233, 41pm2.61dane 3026 1 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  (0gβ€˜π·))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆƒwrex 3067   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948  {csn 4632  {cpr 4634   ↦ cmpt 5235  β€˜cfv 6553  β„©crio 7381  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  +gcplusg 17242  .rcmulr 17243  Scalarcsca 17245   ·𝑠 cvsca 17246  0gc0g 17430  -gcsg 18906  invrcinvr 20340  LSpanclspn 20869  LSAtomsclsa 38486  LKerclk 38597  LDualcld 38635  HLchlt 38862  LHypclh 39497  DVecHcdvh 40591  ocHcoch 40860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-riotaBAD 38465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-undef 8287  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-0g 17432  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-proset 18296  df-poset 18314  df-plt 18331  df-lub 18347  df-glb 18348  df-join 18349  df-meet 18350  df-p0 18426  df-p1 18427  df-lat 18433  df-clat 18500  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19092  df-cntz 19282  df-oppg 19311  df-lsm 19605  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-dvr 20354  df-drng 20640  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-lvec 21002  df-lsatoms 38488  df-lshyp 38489  df-lcv 38531  df-lfl 38570  df-lkr 38598  df-ldual 38636  df-oposet 38688  df-ol 38690  df-oml 38691  df-covers 38778  df-ats 38779  df-atl 38810  df-cvlat 38834  df-hlat 38863  df-llines 39011  df-lplanes 39012  df-lvols 39013  df-lines 39014  df-psubsp 39016  df-pmap 39017  df-padd 39309  df-lhyp 39501  df-laut 39502  df-ldil 39617  df-ltrn 39618  df-trl 39672  df-tgrp 40256  df-tendo 40268  df-edring 40270  df-dveca 40516  df-disoa 40542  df-dvech 40592  df-dib 40652  df-dic 40686  df-dih 40742  df-doch 40861  df-djh 40908
This theorem is referenced by:  lcfrlem35  41090
  Copyright terms: Public domain W3C validator