Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2x Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lclkrlem2x 40705
Description: Lemma for lclkr 40708. Eliminate by cases the hypotheses of lclkrlem2u 40702, lclkrlem2u 40702 and lclkrlem2w 40704. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2x.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2x.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
lclkrlem2x.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lclkrlem2x.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lclkrlem2x.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2x.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2x.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
lclkrlem2x.p + = (+gβ€˜π·)
lclkrlem2x.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
lclkrlem2x.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2x.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lclkrlem2x.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2x.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2x.le (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΈ) = ( βŠ₯ β€˜{𝑋}))
lclkrlem2x.lg (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) = ( βŠ₯ β€˜{π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2x (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))) = (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))
Proof of Theorem lclkrlem2x
StepHypRef Expression
1 df-ne 2940 . . 3 (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ↔ Β¬ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
2 lclkrlem2x.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
3 eqid 2731 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
4 eqid 2731 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
5 eqid 2731 . . . 4 (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
6 eqid 2731 . . . 4 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
7 eqid 2731 . . . 4 (invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
8 eqid 2731 . . . 4 (-gβ€˜π‘ˆ) = (-gβ€˜π‘ˆ)
9 lclkrlem2x.f . . . 4 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
10 lclkrlem2x.d . . . 4 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
11 lclkrlem2x.p . . . 4 + = (+gβ€˜π·)
12 lclkrlem2x.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
1312adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
14 lclkrlem2x.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
1514adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
16 lclkrlem2x.e . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐹)
1716adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))) β†’ 𝐸 ∈ 𝐹)
18 lclkrlem2x.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
1918adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
20 eqid 2731 . . . 4 (LSpanβ€˜π‘ˆ) = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
21 lclkrlem2x.l . . . 4 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
22 lclkrlem2x.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
23 lclkrlem2x.o . . . 4 βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
24 lclkrlem2x.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
25 eqid 2731 . . . 4 (LSSumβ€˜π‘ˆ) = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
26 lclkrlem2x.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2726adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
28 lclkrlem2x.le . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΈ) = ( βŠ₯ β€˜{𝑋}))
2928adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))) β†’ (πΏβ€˜πΈ) = ( βŠ₯ β€˜{𝑋}))
30 lclkrlem2x.lg . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) = ( βŠ₯ β€˜{π‘Œ}))
3130adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))) β†’ (πΏβ€˜πΊ) = ( βŠ₯ β€˜{π‘Œ}))
32 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))) β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
332, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 29, 31, 32lclkrlem2u 40702 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))) = (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))
341, 33sylan2br 594 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))) = (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))
35 df-ne 2940 . . 3 (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ↔ Β¬ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
3612adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3714adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
3816adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))) β†’ 𝐸 ∈ 𝐹)
3918adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
4026adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
4128adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))) β†’ (πΏβ€˜πΈ) = ( βŠ₯ β€˜{𝑋}))
4230adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))) β†’ (πΏβ€˜πΊ) = ( βŠ₯ β€˜{π‘Œ}))
43 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))) β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
442, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 36, 37, 38, 39, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 40, 41, 42, 43lclkrlem2t 40701 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))) = (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))
4535, 44sylan2br 594 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))) = (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))
4612adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
4714adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
4816adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))) β†’ 𝐸 ∈ 𝐹)
4918adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
5026adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
5128adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (πΏβ€˜πΈ) = ( βŠ₯ β€˜{𝑋}))
5230adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))) β†’ (πΏβ€˜πΊ) = ( βŠ₯ β€˜{π‘Œ}))
53 simprl 768 . . 3 ((πœ‘ ∧ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))) β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
54 simprr 770 . . 3 ((πœ‘ ∧ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))) β†’ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
552, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 46, 47, 48, 49, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 50, 51, 52, 53, 54lclkrlem2w 40704 . 2 ((πœ‘ ∧ (((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘‹) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)β€˜π‘Œ) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))) = (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))
5634, 45, 55pm2.61dda 812 1 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))) = (πΏβ€˜(𝐸 + 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  {csn 4629  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  .rcmulr 17203  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  0gc0g 17390  -gcsg 18858  LSSumclsm 19544  invrcinvr 20279  LSpanclspn 20727  LFnlclfn 38231  LKerclk 38259  LDualcld 38297  HLchlt 38524  LHypclh 39159  DVecHcdvh 40253  ocHcoch 40522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-riotaBAD 38127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-tpos 8214  df-undef 8261  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-0g 17392  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18390  df-clat 18457  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-oppg 19252  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-drng 20503  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-lvec 20859  df-lsatoms 38150  df-lshyp 38151  df-lcv 38193  df-lfl 38232  df-lkr 38260  df-ldual 38298  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-llines 38673  df-lplanes 38674  df-lvols 38675  df-lines 38676  df-psubsp 38678  df-pmap 38679  df-padd 38971  df-lhyp 39163  df-laut 39164  df-ldil 39279  df-ltrn 39280  df-trl 39334  df-tgrp 39918  df-tendo 39930  df-edring 39932  df-dveca 40178  df-disoa 40204  df-dvech 40254  df-dib 40314  df-dic 40348  df-dih 40404  df-doch 40523  df-djh 40570
This theorem is referenced by:  lclkrlem2y  40706
  Copyright terms: Public domain W3C validator