Theorem lclkrlem2x 42404

Description: Lemma for lclkr 42407. Eliminate by cases the hypotheses of lclkrlem2u 42401, lclkrlem2u 42401 and lclkrlem2w 42403. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2x.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2x.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2x.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2x.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2x.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2x.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2x.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2x.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2x.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrlem2x.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2x.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lclkrlem2x.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2x.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2x.le	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
lclkrlem2x.lg	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2x	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2x

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2956	. . 3 ⊢ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈)) ↔ ¬ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))
2		lclkrlem2x.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑈)) = (.r‘(Scalar‘𝑈))
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (invr‘(Scalar‘𝑈)) = (invr‘(Scalar‘𝑈))
8		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑈) = (-g‘𝑈)
9		lclkrlem2x.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
10		lclkrlem2x.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
11		lclkrlem2x.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐷)
12		lclkrlem2x.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
13	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
14		lclkrlem2x.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
15	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → 𝑌 ∈ 𝑉)
16		lclkrlem2x.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → 𝐸 ∈ 𝐹)
18		lclkrlem2x.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
19	18	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
20		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
21		lclkrlem2x.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
22		lclkrlem2x.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
23		lclkrlem2x.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
24		lclkrlem2x.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
25		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
26		lclkrlem2x.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
27	26	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
28		lclkrlem2x.le	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
29	28	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
30		lclkrlem2x.lg	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
31	30	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
32		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈)))
33	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 29, 31, 32	lclkrlem2u 42401	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
34	1, 33	sylan2br 607	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
35		df-ne 2956	. . 3 ⊢ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈)) ↔ ¬ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))
36	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
37	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → 𝑌 ∈ 𝑉)
38	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → 𝐸 ∈ 𝐹)
39	18	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
40	26	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
41	28	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
42	30	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
43		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈)))
44	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 36, 37, 38, 39, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 40, 41, 42, 43	lclkrlem2t 42400	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
45	35, 44	sylan2br 607	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
46	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
47	14	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))) → 𝑌 ∈ 𝑉)
48	16	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))) → 𝐸 ∈ 𝐹)
49	18	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
50	26	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
51	28	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))) → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
52	30	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
53		simprl 783	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))
54		simprr 785	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))
55	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 46, 47, 48, 49, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 50, 51, 52, 53, 54	lclkrlem2w 42403	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
56	34, 45, 55	pm2.61dda 827	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  {csn 4584  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17302  +_gcplusg 17343  ._rcmulr 17344  Scalarcsca 17346   ·_𝑠 cvsca 17347  0_gc0g 17525  -_gcsg 19060  LSSumclsm 19762  inv_rcinvr 20529  LSpanclspn 21156  LFnlclfn 39931  LKerclk 39959  LDualcld 39997  HLchlt 40224  LHypclh 40858  DVecHcdvh 41952  ocHcoch 42221

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-riotaBAD 39827

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-0g 17527  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-proset 18383  df-poset 18402  df-plt 18417  df-lub 18433  df-glb 18434  df-join 18435  df-meet 18436  df-p0 18512  df-p1 18513  df-lat 18521  df-clat 18588  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-subg 19247  df-cntz 19445  df-oppg 19474  df-lsm 19764  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-invr 20530  df-dvr 20543  df-drng 20893  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-lvec 21288  df-lsatoms 39850  df-lshyp 39851  df-lcv 39893  df-lfl 39932  df-lkr 39960  df-ldual 39998  df-oposet 40050  df-ol 40052  df-oml 40053  df-covers 40140  df-ats 40141  df-atl 40172  df-cvlat 40196  df-hlat 40225  df-llines 40372  df-lplanes 40373  df-lvols 40374  df-lines 40375  df-psubsp 40377  df-pmap 40378  df-padd 40670  df-lhyp 40862  df-laut 40863  df-ldil 40978  df-ltrn 40979  df-trl 41033  df-tgrp 41617  df-tendo 41629  df-edring 41631  df-dveca 41877  df-disoa 41903  df-dvech 41953  df-dib 42013  df-dic 42047  df-dih 42103  df-doch 42222  df-djh 42269

This theorem is used by:  lclkrlem2y  42405