Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2x Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lclkrlem2x 41513
Description: Lemma for lclkr 41516. Eliminate by cases the hypotheses of lclkrlem2u 41510, lclkrlem2u 41510 and lclkrlem2w 41512. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2x.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2x.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2x.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2x.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2x.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2x.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2x.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2x.p + = (+g𝐷)
lclkrlem2x.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lclkrlem2x.x (𝜑𝑋𝑉)
lclkrlem2x.y (𝜑𝑌𝑉)
lclkrlem2x.e (𝜑𝐸𝐹)
lclkrlem2x.g (𝜑𝐺𝐹)
lclkrlem2x.le (𝜑 → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
lclkrlem2x.lg (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2x (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2x
StepHypRef Expression
1 df-ne 2939 . . 3 (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈)) ↔ ¬ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))
2 lclkrlem2x.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
3 eqid 2735 . . . 4 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
4 eqid 2735 . . . 4 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
5 eqid 2735 . . . 4 (.r‘(Scalar‘𝑈)) = (.r‘(Scalar‘𝑈))
6 eqid 2735 . . . 4 (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
7 eqid 2735 . . . 4 (invr‘(Scalar‘𝑈)) = (invr‘(Scalar‘𝑈))
8 eqid 2735 . . . 4 (-g𝑈) = (-g𝑈)
9 lclkrlem2x.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
10 lclkrlem2x.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑈)
11 lclkrlem2x.p . . . 4 + = (+g𝐷)
12 lclkrlem2x.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
1312adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → 𝑋𝑉)
14 lclkrlem2x.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
1514adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → 𝑌𝑉)
16 lclkrlem2x.e . . . . 5 (𝜑𝐸𝐹)
1716adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → 𝐸𝐹)
18 lclkrlem2x.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝐹)
1918adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → 𝐺𝐹)
20 eqid 2735 . . . 4 (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
21 lclkrlem2x.l . . . 4 𝐿 = (LKer‘𝑈)
22 lclkrlem2x.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
23 lclkrlem2x.o . . . 4 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
24 lclkrlem2x.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
25 eqid 2735 . . . 4 (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
26 lclkrlem2x.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2726adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
28 lclkrlem2x.le . . . . 5 (𝜑 → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
2928adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
30 lclkrlem2x.lg . . . . 5 (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
3130adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
32 simpr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈)))
332, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 29, 31, 32lclkrlem2u 41510 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
341, 33sylan2br 595 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈))) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
35 df-ne 2939 . . 3 (((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈)) ↔ ¬ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))
3612adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → 𝑋𝑉)
3714adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → 𝑌𝑉)
3816adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → 𝐸𝐹)
3918adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → 𝐺𝐹)
4026adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4128adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
4230adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
43 simpr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈)))
442, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 36, 37, 38, 39, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 40, 41, 42, 43lclkrlem2t 41509 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑈))) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
4535, 44sylan2br 595 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈))) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
4612adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))) → 𝑋𝑉)
4714adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))) → 𝑌𝑉)
4816adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))) → 𝐸𝐹)
4918adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))) → 𝐺𝐹)
5026adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
5128adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))) → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
5230adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))) → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
53 simprl 771 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))
54 simprr 773 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))
552, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 46, 47, 48, 49, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 50, 51, 52, 53, 54lclkrlem2w 41512 . 2 ((𝜑 ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑈)) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = (0g‘(Scalar‘𝑈)))) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
5634, 45, 55pm2.61dda 815 1 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  {csn 4631  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17486  -gcsg 18966  LSSumclsm 19667  invrcinvr 20404  LSpanclspn 20987  LFnlclfn 39039  LKerclk 39067  LDualcld 39105  HLchlt 39332  LHypclh 39967  DVecHcdvh 41061  ocHcoch 41330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-riotaBAD 38935
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-undef 8297  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-oppg 19377  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-lsatoms 38958  df-lshyp 38959  df-lcv 39001  df-lfl 39040  df-lkr 39068  df-ldual 39106  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-tgrp 40726  df-tendo 40738  df-edring 40740  df-dveca 40986  df-disoa 41012  df-dvech 41062  df-dib 41122  df-dic 41156  df-dih 41212  df-doch 41331  df-djh 41378
This theorem is referenced by:  lclkrlem2y  41514
  Copyright terms: Public domain W3C validator