Theorem lclkrlem2y 39157

Description: Lemma for lclkr 39159. Restate the hypotheses for 𝐸 and 𝐺 to say their kernels are closed, in order to eliminate the generating vectors 𝑋 and 𝑌. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2y.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2y.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2y.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2y.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2y.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2y.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2y.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2y.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrlem2y.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2y.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2y.le	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))) = (𝐿‘𝐸))
lclkrlem2y.lg	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2y	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2y

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrlem2y.lg	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))
2		lclkrlem2y.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		lclkrlem2y.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		lclkrlem2y.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
6		lclkrlem2y.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7		lclkrlem2y.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8		lclkrlem2y.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		lclkrlem2y.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lcfl8a 39129	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺) ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})))
11	1, 10	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦}))
12		lclkrlem2y.le	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))) = (𝐿‘𝐸))
13		lclkrlem2y.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13	lcfl8a 39129	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))) = (𝐿‘𝐸) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥})))
15	12, 14	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
16		lclkrlem2y.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
17		lclkrlem2y.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐷)
18	8	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19		simp21 1207	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑈))
20		simp23 1209	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑈))
21	13	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})) → 𝐸 ∈ 𝐹)
22	9	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})) → 𝐺 ∈ 𝐹)
23		simp22 1208	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})) → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
24		simp3 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦}))
25	7, 2, 3, 4, 5, 6, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24	lclkrlem2x 39156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
26	25	3exp 1120	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) → ((𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))))
27	26	3expd 1354	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) → ((𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑈) → ((𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))))))
28	27	rexlimdv 3192	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑈) → ((𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺))))))
29	15, 28	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (Base‘𝑈) → ((𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))))
30	29	rexlimdv 3192	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺))))
31	11, 30	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3054  {csn 4513  ‘cfv 6333  (class class class)co 7164  Basecbs 16579  +_gcplusg 16661  LFnlclfn 36683  LKerclk 36711  LDualcld 36749  HLchlt 36976  LHypclh 37610  DVecHcdvh 38704  ocHcoch 38973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-riotaBAD 36579

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-tpos 7914  df-undef 7961  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-map 8432  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-fz 12975  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-0g 16811  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-proset 17647  df-poset 17665  df-plt 17677  df-lub 17693  df-glb 17694  df-join 17695  df-meet 17696  df-p0 17758  df-p1 17759  df-lat 17765  df-clat 17827  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-submnd 18066  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-sbg 18217  df-subg 18387  df-cntz 18558  df-oppg 18585  df-lsm 18872  df-cmn 19019  df-abl 19020  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-ring 19411  df-oppr 19488  df-dvdsr 19506  df-unit 19507  df-invr 19537  df-dvr 19548  df-drng 19616  df-lmod 19748  df-lss 19816  df-lsp 19856  df-lvec 19987  df-lsatoms 36602  df-lshyp 36603  df-lcv 36645  df-lfl 36684  df-lkr 36712  df-ldual 36750  df-oposet 36802  df-ol 36804  df-oml 36805  df-covers 36892  df-ats 36893  df-atl 36924  df-cvlat 36948  df-hlat 36977  df-llines 37124  df-lplanes 37125  df-lvols 37126  df-lines 37127  df-psubsp 37129  df-pmap 37130  df-padd 37422  df-lhyp 37614  df-laut 37615  df-ldil 37730  df-ltrn 37731  df-trl 37785  df-tgrp 38369  df-tendo 38381  df-edring 38383  df-dveca 38629  df-disoa 38655  df-dvech 38705  df-dib 38765  df-dic 38799  df-dih 38855  df-doch 38974  df-djh 39021

This theorem is referenced by:  lclkrlem2  39158