Theorem lclkrlem2y 41514

Description: Lemma for lclkr 41516. Restate the hypotheses for 𝐸 and 𝐺 to say their kernels are closed, in order to eliminate the generating vectors 𝑋 and 𝑌. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2y.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2y.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2y.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2y.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2y.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2y.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2y.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2y.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrlem2y.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2y.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2y.le	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))) = (𝐿‘𝐸))
lclkrlem2y.lg	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2y	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2y

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrlem2y.lg	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))
2		lclkrlem2y.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		lclkrlem2y.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		lclkrlem2y.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
6		lclkrlem2y.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7		lclkrlem2y.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8		lclkrlem2y.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		lclkrlem2y.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lcfl8a 41486	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺) ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})))
11	1, 10	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦}))
12		lclkrlem2y.le	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))) = (𝐿‘𝐸))
13		lclkrlem2y.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13	lcfl8a 41486	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))) = (𝐿‘𝐸) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥})))
15	12, 14	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
16		lclkrlem2y.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
17		lclkrlem2y.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐷)
18	8	3ad2ant1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19		simp21 1205	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑈))
20		simp23 1207	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑈))
21	13	3ad2ant1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})) → 𝐸 ∈ 𝐹)
22	9	3ad2ant1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})) → 𝐺 ∈ 𝐹)
23		simp22 1206	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})) → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
24		simp3 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦}))
25	7, 2, 3, 4, 5, 6, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24	lclkrlem2x 41513	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
26	25	3exp 1118	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) → ((𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))))
27	26	3expd 1352	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) → ((𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑈) → ((𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))))))
28	27	rexlimdv 3151	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑈) → ((𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺))))))
29	15, 28	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (Base‘𝑈) → ((𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))))
30	29	rexlimdv 3151	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺))))
31	11, 30	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068  {csn 4631  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  LFnlclfn 39039  LKerclk 39067  LDualcld 39105  HLchlt 39332  LHypclh 39967  DVecHcdvh 41061  ocHcoch 41330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-riotaBAD 38935

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-undef 8297  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-oppg 19377  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-lsatoms 38958  df-lshyp 38959  df-lcv 39001  df-lfl 39040  df-lkr 39068  df-ldual 39106  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-tgrp 40726  df-tendo 40738  df-edring 40740  df-dveca 40986  df-disoa 41012  df-dvech 41062  df-dib 41122  df-dic 41156  df-dih 41212  df-doch 41331  df-djh 41378

This theorem is referenced by:  lclkrlem2  41515