Theorem lclkrlem2y 41994

Description: Lemma for lclkr 41996. Restate the hypotheses for 𝐸 and 𝐺 to say their kernels are closed, in order to eliminate the generating vectors 𝑋 and 𝑌. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2y.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2y.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2y.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2y.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2y.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2y.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2y.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2y.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrlem2y.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2y.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2y.le	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))) = (𝐿‘𝐸))
lclkrlem2y.lg	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2y	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2y

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrlem2y.lg	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))
2		lclkrlem2y.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		lclkrlem2y.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		lclkrlem2y.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
6		lclkrlem2y.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7		lclkrlem2y.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8		lclkrlem2y.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		lclkrlem2y.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lcfl8a 41966	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺) ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})))
11	1, 10	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦}))
12		lclkrlem2y.le	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))) = (𝐿‘𝐸))
13		lclkrlem2y.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13	lcfl8a 41966	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))) = (𝐿‘𝐸) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥})))
15	12, 14	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
16		lclkrlem2y.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
17		lclkrlem2y.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐷)
18	8	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19		simp21 1208	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑈))
20		simp23 1210	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑈))
21	13	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})) → 𝐸 ∈ 𝐹)
22	9	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})) → 𝐺 ∈ 𝐹)
23		simp22 1209	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})) → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
24		simp3 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦}))
25	7, 2, 3, 4, 5, 6, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24	lclkrlem2x 41993	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
26	25	3exp 1120	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) → ((𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))))
27	26	3expd 1355	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) → ((𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑈) → ((𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))))))
28	27	rexlimdv 3137	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑈) → ((𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺))))))
29	15, 28	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (Base‘𝑈) → ((𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))))
30	29	rexlimdv 3137	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺))))
31	11, 30	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  {csn 4568  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173  +_gcplusg 17214  LFnlclfn 39520  LKerclk 39548  LDualcld 39586  HLchlt 39813  LHypclh 40447  DVecHcdvh 41541  ocHcoch 41810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-riotaBAD 39416

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-tpos 8170  df-undef 8217  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-0g 17398  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-proset 18254  df-poset 18273  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18392  df-clat 18459  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-subg 19093  df-cntz 19286  df-oppg 19315  df-lsm 19605  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-dvr 20375  df-drng 20702  df-lmod 20851  df-lss 20921  df-lsp 20961  df-lvec 21093  df-lsatoms 39439  df-lshyp 39440  df-lcv 39482  df-lfl 39521  df-lkr 39549  df-ldual 39587  df-oposet 39639  df-ol 39641  df-oml 39642  df-covers 39729  df-ats 39730  df-atl 39761  df-cvlat 39785  df-hlat 39814  df-llines 39961  df-lplanes 39962  df-lvols 39963  df-lines 39964  df-psubsp 39966  df-pmap 39967  df-padd 40259  df-lhyp 40451  df-laut 40452  df-ldil 40567  df-ltrn 40568  df-trl 40622  df-tgrp 41206  df-tendo 41218  df-edring 41220  df-dveca 41466  df-disoa 41492  df-dvech 41542  df-dib 41602  df-dic 41636  df-dih 41692  df-doch 41811  df-djh 41858

This theorem is referenced by:  lclkrlem2  41995