Theorem lclkrlem2y 41791

Description: Lemma for lclkr 41793. Restate the hypotheses for 𝐸 and 𝐺 to say their kernels are closed, in order to eliminate the generating vectors 𝑋 and 𝑌. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2y.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2y.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2y.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2y.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2y.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2y.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2y.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2y.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrlem2y.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2y.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2y.le	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))) = (𝐿‘𝐸))
lclkrlem2y.lg	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2y	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2y

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrlem2y.lg	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))
2		lclkrlem2y.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		lclkrlem2y.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		lclkrlem2y.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
6		lclkrlem2y.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7		lclkrlem2y.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8		lclkrlem2y.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		lclkrlem2y.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lcfl8a 41763	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺) ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})))
11	1, 10	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦}))
12		lclkrlem2y.le	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))) = (𝐿‘𝐸))
13		lclkrlem2y.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13	lcfl8a 41763	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))) = (𝐿‘𝐸) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥})))
15	12, 14	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
16		lclkrlem2y.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
17		lclkrlem2y.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐷)
18	8	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19		simp21 1207	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑈))
20		simp23 1209	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑈))
21	13	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})) → 𝐸 ∈ 𝐹)
22	9	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})) → 𝐺 ∈ 𝐹)
23		simp22 1208	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})) → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}))
24		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦}))
25	7, 2, 3, 4, 5, 6, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24	lclkrlem2x 41790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) ∧ (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦})) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
26	25	3exp 1119	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈)) → ((𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))))
27	26	3expd 1354	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) → ((𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑈) → ((𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))))))
28	27	rexlimdv 3135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑥}) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑈) → ((𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺))))))
29	15, 28	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (Base‘𝑈) → ((𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))))
30	29	rexlimdv 3135	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑦}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺))))
31	11, 30	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  {csn 4580  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  LFnlclfn 39317  LKerclk 39345  LDualcld 39383  HLchlt 39610  LHypclh 40244  DVecHcdvh 41338  ocHcoch 41607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-riotaBAD 39213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-undef 8215  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-0g 17361  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-p0 18346  df-p1 18347  df-lat 18355  df-clat 18422  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-cntz 19246  df-oppg 19275  df-lsm 19565  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-dvr 20337  df-drng 20664  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-lvec 21055  df-lsatoms 39236  df-lshyp 39237  df-lcv 39279  df-lfl 39318  df-lkr 39346  df-ldual 39384  df-oposet 39436  df-ol 39438  df-oml 39439  df-covers 39526  df-ats 39527  df-atl 39558  df-cvlat 39582  df-hlat 39611  df-llines 39758  df-lplanes 39759  df-lvols 39760  df-lines 39761  df-psubsp 39763  df-pmap 39764  df-padd 40056  df-lhyp 40248  df-laut 40249  df-ldil 40364  df-ltrn 40365  df-trl 40419  df-tgrp 41003  df-tendo 41015  df-edring 41017  df-dveca 41263  df-disoa 41289  df-dvech 41339  df-dib 41399  df-dic 41433  df-dih 41489  df-doch 41608  df-djh 41655

This theorem is referenced by:  lclkrlem2  41792