Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh6kN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mapdh6kN 40209
Description: Lemmma for mapdh6N 40210. Eliminate nonzero vector requirement. (Contributed by NM, 1-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s − = (-g‘𝑈)
mapdhc.o 0 = (0g‘𝑈)
mapdh.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdhc.f (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.p + = (+g‘𝑈)
mapdh.a ✚ = (+g‘𝐶)
mapdh6k.y (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdh6k.z (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
mapdh6k.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
Assertion
Ref Expression
mapdh6kN (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,ℎ   ℎ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥, −   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   𝜑,ℎ   0 ,ℎ   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ   ℎ,𝐽   ℎ,𝑀   ℎ,𝑁   𝑅,ℎ   𝑈,ℎ   − ,ℎ   ℎ,𝑍,𝑥   ✚ ,ℎ   ℎ,𝐼,𝑥   + ,ℎ,𝑥   ℎ,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   ✚ (𝑥)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,ℎ)   𝐾(𝑥,ℎ)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,ℎ)
Proof of Theorem mapdh6kN
StepHypRef Expression
1 mapdh.q . . 3 𝑄 = (0g‘𝐶)
2 mapdh.i . . 3 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
3 mapdh.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 mapdh.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
5 mapdh.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 mapdh.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
7 mapdh.s . . 3 − = (-g‘𝑈)
8 mapdhc.o . . 3 0 = (0g‘𝑈)
9 mapdh.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10 mapdh.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
11 mapdh.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐶)
12 mapdh.r . . 3 𝑅 = (-g‘𝐶)
13 mapdh.j . . 3 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
14 mapdh.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
1514adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ 𝑌 = 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16 mapdhc.f . . . 4 (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
1716adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ 𝑌 = 0 ) → 𝐹 ∈ 𝐷)
18 mapdh.mn . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
1918adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ 𝑌 = 0 ) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
20 mapdhcl.x . . . 4 (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2120adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ 𝑌 = 0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22 mapdh.p . . 3 + = (+g‘𝑈)
23 mapdh.a . . 3 ✚ = (+g‘𝐶)
24 simpr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ 𝑌 = 0 ) → 𝑌 = 0 )
25 mapdh6k.z . . . 4 (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
2625adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ 𝑌 = 0 ) → 𝑍 ∈ 𝑉)
27 mapdh6k.xn . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
2827adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ 𝑌 = 0 ) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
291, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 24, 26, 28mapdh6bN 40200 . 2 ((𝜑 ∧ 𝑌 = 0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
3014adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ 𝑍 = 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3116adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ 𝑍 = 0 ) → 𝐹 ∈ 𝐷)
3218adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ 𝑍 = 0 ) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
3320adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ 𝑍 = 0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
34 mapdh6k.y . . . 4 (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
3534adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ 𝑍 = 0 ) → 𝑌 ∈ 𝑉)
36 simpr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ 𝑍 = 0 ) → 𝑍 = 0 )
3727adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ 𝑍 = 0 ) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
381, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 30, 31, 32, 33, 22, 23, 35, 36, 37mapdh6cN 40201 . 2 ((𝜑 ∧ 𝑍 = 0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
3914adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 ≠ 0 ∧ 𝑍 ≠ 0 )) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4016adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 ≠ 0 ∧ 𝑍 ≠ 0 )) → 𝐹 ∈ 𝐷)
4118adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 ≠ 0 ∧ 𝑍 ≠ 0 )) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
4220adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 ≠ 0 ∧ 𝑍 ≠ 0 )) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4327adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 ≠ 0 ∧ 𝑍 ≠ 0 )) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
4434adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 ≠ 0 ∧ 𝑍 ≠ 0 )) → 𝑌 ∈ 𝑉)
45 simprl 769 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 ≠ 0 ∧ 𝑍 ≠ 0 )) → 𝑌 ≠ 0 )
46 eldifsn 4747 . . . 4 (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ≠ 0 ))
4744, 45, 46sylanbrc 583 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 ≠ 0 ∧ 𝑍 ≠ 0 )) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4825adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 ≠ 0 ∧ 𝑍 ≠ 0 )) → 𝑍 ∈ 𝑉)
49 simprr 771 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 ≠ 0 ∧ 𝑍 ≠ 0 )) → 𝑍 ≠ 0 )
50 eldifsn 4747 . . . 4 (𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ≠ 0 ))
5148, 49, 50sylanbrc 583 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 ≠ 0 ∧ 𝑍 ≠ 0 )) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
521, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 39, 40, 41, 42, 22, 23, 43, 47, 51mapdh6jN 40208 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑌 ≠ 0 ∧ 𝑍 ≠ 0 )) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
5329, 38, 52pm2.61da2ne 3033 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3445   ∖ cdif 3907  ifcif 4486  {csn 4586  {cpr 4588  ⟨cotp 4594   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6496  ℩crio 7312  (class class class)co 7357  1st c1st 7919  2nd c2nd 7920  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  0gc0g 17321  -gcsg 18750  LSpanclspn 20432  HLchlt 37812  LHypclh 38447  DVecHcdvh 39541  LCDualclcd 40049  mapdcmpd 40087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-riotaBAD 37415
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-undef 8204  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-0g 17323  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-oppg 19124  df-lsm 19418  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-drng 20187  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lvec 20564  df-lsatoms 37438  df-lshyp 37439  df-lcv 37481  df-lfl 37520  df-lkr 37548  df-ldual 37586  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-llines 37961  df-lplanes 37962  df-lvols 37963  df-lines 37964  df-psubsp 37966  df-pmap 37967  df-padd 38259  df-lhyp 38451  df-laut 38452  df-ldil 38567  df-ltrn 38568  df-trl 38622  df-tgrp 39206  df-tendo 39218  df-edring 39220  df-dveca 39466  df-disoa 39492  df-dvech 39542  df-dib 39602  df-dic 39636  df-dih 39692  df-doch 39811  df-djh 39858  df-lcdual 40050  df-mapd 40088
This theorem is referenced by:  mapdh6N  40210
  Copyright terms: Public domain W3C validator