Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapd1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapd1o 40111
Description: The map defined by df-mapd 40088 is one-to-one and onto the set of dual subspaces of functionals with closed kernels. This shows 𝑀 satisfies part of the definition of projectivity of [Baer] p. 40. TODO: change theorems leading to this (lcfr 40048, mapdrval 40110, lclkrs 40002, lclkr 39996,...) to use 𝑇 ∩ 𝒫 𝐶? TODO: maybe get rid of $d's for 𝑔 versus 𝐾𝑈𝑊; propagate to mapdrn 40112 and any others. (Contributed by NM, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapd1o.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapd1o.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapd1o.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapd1o.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapd1o.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapd1o.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapd1o.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapd1o.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
mapd1o.t 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
mapd1o.c 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
mapd1o.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
mapd1o (𝜑𝑀:𝑆1-1-onto→(𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝐾   𝑔,𝐿   𝑔,𝑂   𝑈,𝑔   𝑔,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝐷(𝑔)   𝑆(𝑔)   𝑇(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝑀(𝑔)

Proof of Theorem mapd1o
Dummy variables 𝑓 𝑐 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapd1o.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
21fvexi 6856 . . . . 5 𝐹 ∈ V
32rabex 5289 . . . 4 {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑡)} ∈ V
4 eqid 2736 . . . 4 (𝑡𝑆 ↦ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑡)}) = (𝑡𝑆 ↦ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑡)})
53, 4fnmpti 6644 . . 3 (𝑡𝑆 ↦ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑡)}) Fn 𝑆
6 mapd1o.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 mapd1o.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 mapd1o.u . . . . . 6 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9 mapd1o.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
10 mapd1o.l . . . . . 6 𝐿 = (LKer‘𝑈)
11 mapd1o.o . . . . . 6 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
12 mapd1o.m . . . . . 6 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
137, 8, 9, 1, 10, 11, 12mapdfval 40090 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑀 = (𝑡𝑆 ↦ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑡)}))
146, 13syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 = (𝑡𝑆 ↦ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑡)}))
1514fneq1d 6595 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Fn 𝑆 ↔ (𝑡𝑆 ↦ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑡)}) Fn 𝑆))
165, 15mpbiri 257 . 2 (𝜑𝑀 Fn 𝑆)
172rabex 5289 . . . . . . 7 {𝑔𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑡)} ∈ V
18 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑡𝑆 ↦ {𝑔𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑡)}) = (𝑡𝑆 ↦ {𝑔𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑡)})
1917, 18fnmpti 6644 . . . . . 6 (𝑡𝑆 ↦ {𝑔𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑡)}) Fn 𝑆
207, 8, 9, 1, 10, 11, 12mapdfval 40090 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑀 = (𝑡𝑆 ↦ {𝑔𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑡)}))
216, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 = (𝑡𝑆 ↦ {𝑔𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑡)}))
2221fneq1d 6595 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 Fn 𝑆 ↔ (𝑡𝑆 ↦ {𝑔𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑡)}) Fn 𝑆))
2319, 22mpbiri 257 . . . . 5 (𝜑𝑀 Fn 𝑆)
24 fvelrnb 6903 . . . . 5 (𝑀 Fn 𝑆 → (𝑡 ∈ ran 𝑀 ↔ ∃𝑐𝑆 (𝑀𝑐) = 𝑡))
2523, 24syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑡 ∈ ran 𝑀 ↔ ∃𝑐𝑆 (𝑀𝑐) = 𝑡))
266adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
27 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝑆) → 𝑐𝑆)
287, 8, 9, 1, 10, 11, 12, 26, 27mapdval 40091 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐𝑆) → (𝑀𝑐) = {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)})
29 mapd1o.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (LDual‘𝑈)
30 mapd1o.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
31 mapd1o.c . . . . . . . . . 10 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
32 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} = {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)}
337, 11, 8, 9, 1, 10, 29, 30, 31, 32, 26, 27lclkrs2 40003 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝑆) → ({𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ⊆ 𝐶))
34 elin 3926 . . . . . . . . . 10 ({𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ↔ ({𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝒫 𝐶))
352rabex 5289 . . . . . . . . . . . 12 {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ V
3635elpw 4564 . . . . . . . . . . 11 ({𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝒫 𝐶 ↔ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ⊆ 𝐶)
3736anbi2i 623 . . . . . . . . . 10 (({𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝒫 𝐶) ↔ ({𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ⊆ 𝐶))
3834, 37bitr2i 275 . . . . . . . . 9 (({𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ⊆ 𝐶) ↔ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
3933, 38sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐𝑆) → {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
4028, 39eqeltrd 2838 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐𝑆) → (𝑀𝑐) ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
41 eleq1 2825 . . . . . . 7 ((𝑀𝑐) = 𝑡 → ((𝑀𝑐) ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ↔ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
4240, 41syl5ibcom 244 . . . . . 6 ((𝜑𝑐𝑆) → ((𝑀𝑐) = 𝑡𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
4342rexlimdva 3152 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑐𝑆 (𝑀𝑐) = 𝑡𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
44 eqid 2736 . . . . . . . 8 𝑓𝑡 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = 𝑓𝑡 (𝑂‘(𝐿𝑓))
456adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
46 inss1 4188 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ⊆ 𝑇
4746sseli 3940 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → 𝑡𝑇)
4847adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → 𝑡𝑇)
49 inss2 4189 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ⊆ 𝒫 𝐶
5049sseli 3940 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐶)
5150elpwid 4569 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → 𝑡𝐶)
5251adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → 𝑡𝐶)
537, 11, 8, 9, 1, 10, 29, 30, 31, 44, 45, 48, 52lcfr 40048 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → 𝑓𝑡 (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ 𝑆)
547, 11, 12, 8, 9, 1, 10, 29, 30, 31, 45, 48, 52, 44mapdrval 40110 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → (𝑀 𝑓𝑡 (𝑂‘(𝐿𝑓))) = 𝑡)
55 fveqeq2 6851 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑓𝑡 (𝑂‘(𝐿𝑓)) → ((𝑀𝑐) = 𝑡 ↔ (𝑀 𝑓𝑡 (𝑂‘(𝐿𝑓))) = 𝑡))
5655rspcev 3581 . . . . . . 7 (( 𝑓𝑡 (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ 𝑆 ∧ (𝑀 𝑓𝑡 (𝑂‘(𝐿𝑓))) = 𝑡) → ∃𝑐𝑆 (𝑀𝑐) = 𝑡)
5753, 54, 56syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → ∃𝑐𝑆 (𝑀𝑐) = 𝑡)
5857ex 413 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → ∃𝑐𝑆 (𝑀𝑐) = 𝑡))
5943, 58impbid 211 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑐𝑆 (𝑀𝑐) = 𝑡𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
6025, 59bitrd 278 . . 3 (𝜑 → (𝑡 ∈ ran 𝑀𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
6160eqrdv 2734 . 2 (𝜑 → ran 𝑀 = (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
626adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑆𝑢𝑆)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
63 simprl 769 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑆𝑢𝑆)) → 𝑡𝑆)
64 simprr 771 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑆𝑢𝑆)) → 𝑢𝑆)
657, 8, 9, 12, 62, 63, 64mapd11 40102 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑆𝑢𝑆)) → ((𝑀𝑡) = (𝑀𝑢) ↔ 𝑡 = 𝑢))
6665biimpd 228 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑆𝑢𝑆)) → ((𝑀𝑡) = (𝑀𝑢) → 𝑡 = 𝑢))
6766ralrimivva 3197 . 2 (𝜑 → ∀𝑡𝑆𝑢𝑆 ((𝑀𝑡) = (𝑀𝑢) → 𝑡 = 𝑢))
68 dff1o6 7221 . 2 (𝑀:𝑆1-1-onto→(𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ↔ (𝑀 Fn 𝑆 ∧ ran 𝑀 = (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ∧ ∀𝑡𝑆𝑢𝑆 ((𝑀𝑡) = (𝑀𝑢) → 𝑡 = 𝑢)))
6916, 61, 67, 68syl3anbrc 1343 1 (𝜑𝑀:𝑆1-1-onto→(𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  cin 3909  wss 3910  𝒫 cpw 4560   ciun 4954  cmpt 5188  ran crn 5634   Fn wfn 6491  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  LSubSpclss 20392  LFnlclfn 37519  LKerclk 37547  LDualcld 37585  HLchlt 37812  LHypclh 38447  DVecHcdvh 39541  ocHcoch 39810  mapdcmpd 40087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-riotaBAD 37415
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-undef 8204  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-0g 17323  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-oppg 19124  df-lsm 19418  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-drng 20187  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lvec 20564  df-lsatoms 37438  df-lshyp 37439  df-lcv 37481  df-lfl 37520  df-lkr 37548  df-ldual 37586  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-llines 37961  df-lplanes 37962  df-lvols 37963  df-lines 37964  df-psubsp 37966  df-pmap 37967  df-padd 38259  df-lhyp 38451  df-laut 38452  df-ldil 38567  df-ltrn 38568  df-trl 38622  df-tgrp 39206  df-tendo 39218  df-edring 39220  df-dveca 39466  df-disoa 39492  df-dvech 39542  df-dib 39602  df-dic 39636  df-dih 39692  df-doch 39811  df-djh 39858  df-mapd 40088
This theorem is referenced by:  mapdrn  40112  mapdcnvcl  40115  mapdcl  40116  mapdcnvid1N  40117  mapdcnvid2  40120
  Copyright terms: Public domain W3C validator