Theorem mapd1o 39662

Description: The map defined by df-mapd 39639 is one-to-one and onto the set of dual subspaces of functionals with closed kernels. This shows 𝑀 satisfies part of the definition of projectivity of [Baer] p. 40. TODO: change theorems leading to this (lcfr 39599, mapdrval 39661, lclkrs 39553, lclkr 39547,...) to use 𝑇 ∩ 𝒫 𝐶? TODO: maybe get rid of $d's for 𝑔 versus 𝐾𝑈𝑊; propagate to mapdrn 39663 and any others. (Contributed by NM, 12-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapd1o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapd1o.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapd1o.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapd1o.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapd1o.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapd1o.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapd1o.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapd1o.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
mapd1o.t	⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
mapd1o.c	⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
mapd1o.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
mapd1o	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑆–1-1-onto→(𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝐾   𝑔,𝐿   𝑔,𝑂   𝑈,𝑔   𝑔,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝐷(𝑔)   𝑆(𝑔)   𝑇(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝑀(𝑔)

Proof of Theorem mapd1o

Dummy variables 𝑓 𝑐 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapd1o.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
2	1	fvexi 6788	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ V
3	2	rabex 5256	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)} ∈ V
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)}) = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)})
5	3, 4	fnmpti 6576	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)}) Fn 𝑆
6		mapd1o.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		mapd1o.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		mapd1o.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		mapd1o.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
10		mapd1o.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
11		mapd1o.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
12		mapd1o.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13	7, 8, 9, 1, 10, 11, 12	mapdfval 39641	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑀 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)}))
14	6, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)}))
15	14	fneq1d 6526	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Fn 𝑆 ↔ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)}) Fn 𝑆))
16	5, 15	mpbiri 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 Fn 𝑆)
17	2	rabex 5256	. . . . . . 7 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)} ∈ V
18		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)}) = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)})
19	17, 18	fnmpti 6576	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)}) Fn 𝑆
20	7, 8, 9, 1, 10, 11, 12	mapdfval 39641	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑀 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)}))
21	6, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)}))
22	21	fneq1d 6526	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Fn 𝑆 ↔ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)}) Fn 𝑆))
23	19, 22	mpbiri 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 Fn 𝑆)
24		fvelrnb 6830	. . . . 5 ⊢ (𝑀 Fn 𝑆 → (𝑡 ∈ ran 𝑀 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡))
25	23, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ran 𝑀 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡))
26	6	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
27		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → 𝑐 ∈ 𝑆)
28	7, 8, 9, 1, 10, 11, 12, 26, 27	mapdval 39642	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑐) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)})
29		mapd1o.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
30		mapd1o.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
31		mapd1o.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
32		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)}
33	7, 11, 8, 9, 1, 10, 29, 30, 31, 32, 26, 27	lclkrs2 39554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → ({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ⊆ 𝐶))
34		elin 3903	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ↔ ({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝒫 𝐶))
35	2	rabex 5256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ V
36	35	elpw 4537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝒫 𝐶 ↔ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ⊆ 𝐶)
37	36	anbi2i 623	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝒫 𝐶) ↔ ({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ⊆ 𝐶))
38	34, 37	bitr2i 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ⊆ 𝐶) ↔ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
39	33, 38	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
40	28, 39	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑐) ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
41		eleq1 2826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀‘𝑐) = 𝑡 → ((𝑀‘𝑐) ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ↔ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
42	40, 41	syl5ibcom 244	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → ((𝑀‘𝑐) = 𝑡 → 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
43	42	rexlimdva 3213	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡 → 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
44		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓))
45	6	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
46		inss1 4162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ⊆ 𝑇
47	46	sseli 3917	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → 𝑡 ∈ 𝑇)
48	47	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → 𝑡 ∈ 𝑇)
49		inss2 4163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ⊆ 𝒫 𝐶
50	49	sseli 3917	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐶)
51	50	elpwid 4544	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → 𝑡 ⊆ 𝐶)
52	51	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → 𝑡 ⊆ 𝐶)
53	7, 11, 8, 9, 1, 10, 29, 30, 31, 44, 45, 48, 52	lcfr 39599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → ∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ 𝑆)
54	7, 11, 12, 8, 9, 1, 10, 29, 30, 31, 45, 48, 52, 44	mapdrval 39661	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = 𝑡)
55		fveqeq2 6783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) → ((𝑀‘𝑐) = 𝑡 ↔ (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = 𝑡))
56	55	rspcev 3561	. . . . . . 7 ⊢ ((∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = 𝑡) → ∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡)
57	53, 54, 56	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → ∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡)
58	57	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → ∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡))
59	43, 58	impbid 211	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡 ↔ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
60	25, 59	bitrd 278	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ran 𝑀 ↔ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
61	60	eqrdv 2736	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝑀 = (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
62	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
63		simprl 768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → 𝑡 ∈ 𝑆)
64		simprr 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → 𝑢 ∈ 𝑆)
65	7, 8, 9, 12, 62, 63, 64	mapd11 39653	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → ((𝑀‘𝑡) = (𝑀‘𝑢) ↔ 𝑡 = 𝑢))
66	65	biimpd 228	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → ((𝑀‘𝑡) = (𝑀‘𝑢) → 𝑡 = 𝑢))
67	66	ralrimivva 3123	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑆 ∀𝑢 ∈ 𝑆 ((𝑀‘𝑡) = (𝑀‘𝑢) → 𝑡 = 𝑢))
68		dff1o6 7147	. 2 ⊢ (𝑀:𝑆–1-1-onto→(𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ↔ (𝑀 Fn 𝑆 ∧ ran 𝑀 = (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ∀𝑢 ∈ 𝑆 ((𝑀‘𝑡) = (𝑀‘𝑢) → 𝑡 = 𝑢)))
69	16, 61, 67, 68	syl3anbrc 1342	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑆–1-1-onto→(𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  {crab 3068   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533  ∪ ciun 4924   ↦ cmpt 5157  ran crn 5590   Fn wfn 6428  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  LSubSpclss 20193  LFnlclfn 37071  LKerclk 37099  LDualcld 37137  HLchlt 37364  LHypclh 37998  DVecHcdvh 39092  ocHcoch 39361  mapdcmpd 39638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-undef 8089  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-0g 17152  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-oppg 18950  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365  df-lsatoms 36990  df-lshyp 36991  df-lcv 37033  df-lfl 37072  df-lkr 37100  df-ldual 37138  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173  df-tgrp 38757  df-tendo 38769  df-edring 38771  df-dveca 39017  df-disoa 39043  df-dvech 39093  df-dib 39153  df-dic 39187  df-dih 39243  df-doch 39362  df-djh 39409  df-mapd 39639

This theorem is referenced by:  mapdrn  39663  mapdcnvcl  39666  mapdcl  39667  mapdcnvid1N  39668  mapdcnvid2  39671