Theorem mapd1o 40822

Description: The map defined by df-mapd 40799 is one-to-one and onto the set of dual subspaces of functionals with closed kernels. This shows 𝑀 satisfies part of the definition of projectivity of [Baer] p. 40. TODO: change theorems leading to this (lcfr 40759, mapdrval 40821, lclkrs 40713, lclkr 40707,...) to use 𝑇 ∩ 𝒫 𝐶? TODO: maybe get rid of $d's for 𝑔 versus 𝐾𝑈𝑊; propagate to mapdrn 40823 and any others. (Contributed by NM, 12-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapd1o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapd1o.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapd1o.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapd1o.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapd1o.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapd1o.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapd1o.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapd1o.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
mapd1o.t	⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
mapd1o.c	⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
mapd1o.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
mapd1o	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑆–1-1-onto→(𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝐾   𝑔,𝐿   𝑔,𝑂   𝑈,𝑔   𝑔,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝐷(𝑔)   𝑆(𝑔)   𝑇(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝑀(𝑔)

Proof of Theorem mapd1o

Dummy variables 𝑓 𝑐 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapd1o.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
2	1	fvexi 6905	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ V
3	2	rabex 5332	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)} ∈ V
4		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)}) = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)})
5	3, 4	fnmpti 6693	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)}) Fn 𝑆
6		mapd1o.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		mapd1o.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		mapd1o.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		mapd1o.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
10		mapd1o.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
11		mapd1o.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
12		mapd1o.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13	7, 8, 9, 1, 10, 11, 12	mapdfval 40801	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑀 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)}))
14	6, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)}))
15	14	fneq1d 6642	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Fn 𝑆 ↔ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)}) Fn 𝑆))
16	5, 15	mpbiri 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 Fn 𝑆)
17	2	rabex 5332	. . . . . . 7 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)} ∈ V
18		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)}) = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)})
19	17, 18	fnmpti 6693	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)}) Fn 𝑆
20	7, 8, 9, 1, 10, 11, 12	mapdfval 40801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑀 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)}))
21	6, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)}))
22	21	fneq1d 6642	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Fn 𝑆 ↔ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)}) Fn 𝑆))
23	19, 22	mpbiri 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 Fn 𝑆)
24		fvelrnb 6952	. . . . 5 ⊢ (𝑀 Fn 𝑆 → (𝑡 ∈ ran 𝑀 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡))
25	23, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ran 𝑀 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡))
26	6	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
27		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → 𝑐 ∈ 𝑆)
28	7, 8, 9, 1, 10, 11, 12, 26, 27	mapdval 40802	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑐) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)})
29		mapd1o.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
30		mapd1o.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
31		mapd1o.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
32		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)}
33	7, 11, 8, 9, 1, 10, 29, 30, 31, 32, 26, 27	lclkrs2 40714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → ({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ⊆ 𝐶))
34		elin 3964	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ↔ ({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝒫 𝐶))
35	2	rabex 5332	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ V
36	35	elpw 4606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝒫 𝐶 ↔ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ⊆ 𝐶)
37	36	anbi2i 623	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝒫 𝐶) ↔ ({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ⊆ 𝐶))
38	34, 37	bitr2i 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ⊆ 𝐶) ↔ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
39	33, 38	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
40	28, 39	eqeltrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑐) ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
41		eleq1 2821	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀‘𝑐) = 𝑡 → ((𝑀‘𝑐) ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ↔ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
42	40, 41	syl5ibcom 244	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → ((𝑀‘𝑐) = 𝑡 → 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
43	42	rexlimdva 3155	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡 → 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
44		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓))
45	6	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
46		inss1 4228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ⊆ 𝑇
47	46	sseli 3978	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → 𝑡 ∈ 𝑇)
48	47	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → 𝑡 ∈ 𝑇)
49		inss2 4229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ⊆ 𝒫 𝐶
50	49	sseli 3978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐶)
51	50	elpwid 4611	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → 𝑡 ⊆ 𝐶)
52	51	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → 𝑡 ⊆ 𝐶)
53	7, 11, 8, 9, 1, 10, 29, 30, 31, 44, 45, 48, 52	lcfr 40759	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → ∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ 𝑆)
54	7, 11, 12, 8, 9, 1, 10, 29, 30, 31, 45, 48, 52, 44	mapdrval 40821	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = 𝑡)
55		fveqeq2 6900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) → ((𝑀‘𝑐) = 𝑡 ↔ (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = 𝑡))
56	55	rspcev 3612	. . . . . . 7 ⊢ ((∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = 𝑡) → ∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡)
57	53, 54, 56	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → ∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡)
58	57	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → ∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡))
59	43, 58	impbid 211	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡 ↔ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
60	25, 59	bitrd 278	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ran 𝑀 ↔ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
61	60	eqrdv 2730	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝑀 = (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
62	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
63		simprl 769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → 𝑡 ∈ 𝑆)
64		simprr 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → 𝑢 ∈ 𝑆)
65	7, 8, 9, 12, 62, 63, 64	mapd11 40813	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → ((𝑀‘𝑡) = (𝑀‘𝑢) ↔ 𝑡 = 𝑢))
66	65	biimpd 228	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → ((𝑀‘𝑡) = (𝑀‘𝑢) → 𝑡 = 𝑢))
67	66	ralrimivva 3200	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑆 ∀𝑢 ∈ 𝑆 ((𝑀‘𝑡) = (𝑀‘𝑢) → 𝑡 = 𝑢))
68		dff1o6 7275	. 2 ⊢ (𝑀:𝑆–1-1-onto→(𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ↔ (𝑀 Fn 𝑆 ∧ ran 𝑀 = (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ∀𝑢 ∈ 𝑆 ((𝑀‘𝑡) = (𝑀‘𝑢) → 𝑡 = 𝑢)))
69	16, 61, 67, 68	syl3anbrc 1343	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑆–1-1-onto→(𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3432   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  𝒫 cpw 4602  ∪ ciun 4997   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   Fn wfn 6538  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  LSubSpclss 20686  LFnlclfn 38230  LKerclk 38258  LDualcld 38296  HLchlt 38523  LHypclh 39158  DVecHcdvh 40252  ocHcoch 40521  mapdcmpd 40798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38126

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-undef 8260  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-0g 17391  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-oppg 19251  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858  df-lsatoms 38149  df-lshyp 38150  df-lcv 38192  df-lfl 38231  df-lkr 38259  df-ldual 38297  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673  df-lvols 38674  df-lines 38675  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333  df-tgrp 39917  df-tendo 39929  df-edring 39931  df-dveca 40177  df-disoa 40203  df-dvech 40253  df-dib 40313  df-dic 40347  df-dih 40403  df-doch 40522  df-djh 40569  df-mapd 40799

This theorem is referenced by:  mapdrn  40823  mapdcnvcl  40826  mapdcl  40827  mapdcnvid1N  40828  mapdcnvid2  40831