Theorem mapd1o 40567

Description: The map defined by df-mapd 40544 is one-to-one and onto the set of dual subspaces of functionals with closed kernels. This shows 𝑀 satisfies part of the definition of projectivity of [Baer] p. 40. TODO: change theorems leading to this (lcfr 40504, mapdrval 40566, lclkrs 40458, lclkr 40452,...) to use 𝑇 ∩ 𝒫 𝐶? TODO: maybe get rid of $d's for 𝑔 versus 𝐾𝑈𝑊; propagate to mapdrn 40568 and any others. (Contributed by NM, 12-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapd1o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapd1o.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapd1o.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapd1o.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapd1o.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapd1o.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapd1o.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapd1o.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
mapd1o.t	⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
mapd1o.c	⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
mapd1o.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
mapd1o	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑆–1-1-onto→(𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝐾   𝑔,𝐿   𝑔,𝑂   𝑈,𝑔   𝑔,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝐷(𝑔)   𝑆(𝑔)   𝑇(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝑀(𝑔)

Proof of Theorem mapd1o

Dummy variables 𝑓 𝑐 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapd1o.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
2	1	fvexi 6906	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ V
3	2	rabex 5333	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)} ∈ V
4		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)}) = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)})
5	3, 4	fnmpti 6694	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)}) Fn 𝑆
6		mapd1o.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		mapd1o.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		mapd1o.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		mapd1o.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
10		mapd1o.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
11		mapd1o.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
12		mapd1o.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13	7, 8, 9, 1, 10, 11, 12	mapdfval 40546	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑀 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)}))
14	6, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)}))
15	14	fneq1d 6643	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Fn 𝑆 ↔ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)}) Fn 𝑆))
16	5, 15	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 Fn 𝑆)
17	2	rabex 5333	. . . . . . 7 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)} ∈ V
18		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)}) = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)})
19	17, 18	fnmpti 6694	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)}) Fn 𝑆
20	7, 8, 9, 1, 10, 11, 12	mapdfval 40546	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑀 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)}))
21	6, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)}))
22	21	fneq1d 6643	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Fn 𝑆 ↔ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)}) Fn 𝑆))
23	19, 22	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 Fn 𝑆)
24		fvelrnb 6953	. . . . 5 ⊢ (𝑀 Fn 𝑆 → (𝑡 ∈ ran 𝑀 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡))
25	23, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ran 𝑀 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡))
26	6	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
27		simpr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → 𝑐 ∈ 𝑆)
28	7, 8, 9, 1, 10, 11, 12, 26, 27	mapdval 40547	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑐) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)})
29		mapd1o.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
30		mapd1o.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
31		mapd1o.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
32		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)}
33	7, 11, 8, 9, 1, 10, 29, 30, 31, 32, 26, 27	lclkrs2 40459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → ({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ⊆ 𝐶))
34		elin 3965	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ↔ ({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝒫 𝐶))
35	2	rabex 5333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ V
36	35	elpw 4607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝒫 𝐶 ↔ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ⊆ 𝐶)
37	36	anbi2i 624	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝒫 𝐶) ↔ ({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ⊆ 𝐶))
38	34, 37	bitr2i 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ⊆ 𝐶) ↔ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
39	33, 38	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
40	28, 39	eqeltrd 2834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑐) ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
41		eleq1 2822	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀‘𝑐) = 𝑡 → ((𝑀‘𝑐) ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ↔ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
42	40, 41	syl5ibcom 244	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → ((𝑀‘𝑐) = 𝑡 → 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
43	42	rexlimdva 3156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡 → 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
44		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓))
45	6	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
46		inss1 4229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ⊆ 𝑇
47	46	sseli 3979	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → 𝑡 ∈ 𝑇)
48	47	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → 𝑡 ∈ 𝑇)
49		inss2 4230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ⊆ 𝒫 𝐶
50	49	sseli 3979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐶)
51	50	elpwid 4612	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → 𝑡 ⊆ 𝐶)
52	51	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → 𝑡 ⊆ 𝐶)
53	7, 11, 8, 9, 1, 10, 29, 30, 31, 44, 45, 48, 52	lcfr 40504	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → ∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ 𝑆)
54	7, 11, 12, 8, 9, 1, 10, 29, 30, 31, 45, 48, 52, 44	mapdrval 40566	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = 𝑡)
55		fveqeq2 6901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) → ((𝑀‘𝑐) = 𝑡 ↔ (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = 𝑡))
56	55	rspcev 3613	. . . . . . 7 ⊢ ((∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = 𝑡) → ∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡)
57	53, 54, 56	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → ∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡)
58	57	ex 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → ∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡))
59	43, 58	impbid 211	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡 ↔ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
60	25, 59	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ran 𝑀 ↔ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
61	60	eqrdv 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝑀 = (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
62	6	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
63		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → 𝑡 ∈ 𝑆)
64		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → 𝑢 ∈ 𝑆)
65	7, 8, 9, 12, 62, 63, 64	mapd11 40558	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → ((𝑀‘𝑡) = (𝑀‘𝑢) ↔ 𝑡 = 𝑢))
66	65	biimpd 228	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → ((𝑀‘𝑡) = (𝑀‘𝑢) → 𝑡 = 𝑢))
67	66	ralrimivva 3201	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑆 ∀𝑢 ∈ 𝑆 ((𝑀‘𝑡) = (𝑀‘𝑢) → 𝑡 = 𝑢))
68		dff1o6 7273	. 2 ⊢ (𝑀:𝑆–1-1-onto→(𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ↔ (𝑀 Fn 𝑆 ∧ ran 𝑀 = (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ∀𝑢 ∈ 𝑆 ((𝑀‘𝑡) = (𝑀‘𝑢) → 𝑡 = 𝑢)))
69	16, 61, 67, 68	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑆–1-1-onto→(𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  {crab 3433   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  𝒫 cpw 4603  ∪ ciun 4998   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   Fn wfn 6539  –1-1-onto→wf1o 6543  ‘cfv 6544  LSubSpclss 20542  LFnlclfn 37975  LKerclk 38003  LDualcld 38041  HLchlt 38268  LHypclh 38903  DVecHcdvh 39997  ocHcoch 40266  mapdcmpd 40543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-riotaBAD 37871

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-undef 8258  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-0g 17387  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-oppg 19210  df-lsm 19504  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-lvec 20714  df-lsatoms 37894  df-lshyp 37895  df-lcv 37937  df-lfl 37976  df-lkr 38004  df-ldual 38042  df-oposet 38094  df-ol 38096  df-oml 38097  df-covers 38184  df-ats 38185  df-atl 38216  df-cvlat 38240  df-hlat 38269  df-llines 38417  df-lplanes 38418  df-lvols 38419  df-lines 38420  df-psubsp 38422  df-pmap 38423  df-padd 38715  df-lhyp 38907  df-laut 38908  df-ldil 39023  df-ltrn 39024  df-trl 39078  df-tgrp 39662  df-tendo 39674  df-edring 39676  df-dveca 39922  df-disoa 39948  df-dvech 39998  df-dib 40058  df-dic 40092  df-dih 40148  df-doch 40267  df-djh 40314  df-mapd 40544

This theorem is referenced by:  mapdrn  40568  mapdcnvcl  40571  mapdcl  40572  mapdcnvid1N  40573  mapdcnvid2  40576