Theorem mapd1o 41642

Description: The map defined by df-mapd 41619 is one-to-one and onto the set of dual subspaces of functionals with closed kernels. This shows 𝑀 satisfies part of the definition of projectivity of [Baer] p. 40. TODO: change theorems leading to this (lcfr 41579, mapdrval 41641, lclkrs 41533, lclkr 41527,...) to use 𝑇 ∩ 𝒫 𝐶? TODO: maybe get rid of $d's for 𝑔 versus 𝐾𝑈𝑊; propagate to mapdrn 41643 and any others. (Contributed by NM, 12-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapd1o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapd1o.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapd1o.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapd1o.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapd1o.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapd1o.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapd1o.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapd1o.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
mapd1o.t	⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
mapd1o.c	⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
mapd1o.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
mapd1o	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑆–1-1-onto→(𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝐾   𝑔,𝐿   𝑔,𝑂   𝑈,𝑔   𝑔,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝐷(𝑔)   𝑆(𝑔)   𝑇(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝑀(𝑔)

Proof of Theorem mapd1o

Dummy variables 𝑓 𝑐 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapd1o.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
2	1	fvexi 6872	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ V
3	2	rabex 5294	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)} ∈ V
4		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)}) = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)})
5	3, 4	fnmpti 6661	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)}) Fn 𝑆
6		mapd1o.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		mapd1o.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		mapd1o.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		mapd1o.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
10		mapd1o.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
11		mapd1o.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
12		mapd1o.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13	7, 8, 9, 1, 10, 11, 12	mapdfval 41621	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑀 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)}))
14	6, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)}))
15	14	fneq1d 6611	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Fn 𝑆 ↔ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)}) Fn 𝑆))
16	5, 15	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 Fn 𝑆)
17	2	rabex 5294	. . . . . . 7 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)} ∈ V
18		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)}) = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)})
19	17, 18	fnmpti 6661	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)}) Fn 𝑆
20	7, 8, 9, 1, 10, 11, 12	mapdfval 41621	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑀 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)}))
21	6, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)}))
22	21	fneq1d 6611	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Fn 𝑆 ↔ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)}) Fn 𝑆))
23	19, 22	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 Fn 𝑆)
24		fvelrnb 6921	. . . . 5 ⊢ (𝑀 Fn 𝑆 → (𝑡 ∈ ran 𝑀 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡))
25	23, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ran 𝑀 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡))
26	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
27		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → 𝑐 ∈ 𝑆)
28	7, 8, 9, 1, 10, 11, 12, 26, 27	mapdval 41622	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑐) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)})
29		mapd1o.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
30		mapd1o.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
31		mapd1o.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
32		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)}
33	7, 11, 8, 9, 1, 10, 29, 30, 31, 32, 26, 27	lclkrs2 41534	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → ({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ⊆ 𝐶))
34		elin 3930	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ↔ ({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝒫 𝐶))
35	2	rabex 5294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ V
36	35	elpw 4567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝒫 𝐶 ↔ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ⊆ 𝐶)
37	36	anbi2i 623	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝒫 𝐶) ↔ ({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ⊆ 𝐶))
38	34, 37	bitr2i 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ⊆ 𝐶) ↔ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
39	33, 38	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
40	28, 39	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑐) ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
41		eleq1 2816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀‘𝑐) = 𝑡 → ((𝑀‘𝑐) ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ↔ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
42	40, 41	syl5ibcom 245	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → ((𝑀‘𝑐) = 𝑡 → 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
43	42	rexlimdva 3134	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡 → 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
44		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓))
45	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
46		inss1 4200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ⊆ 𝑇
47	46	sseli 3942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → 𝑡 ∈ 𝑇)
48	47	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → 𝑡 ∈ 𝑇)
49		inss2 4201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ⊆ 𝒫 𝐶
50	49	sseli 3942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐶)
51	50	elpwid 4572	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → 𝑡 ⊆ 𝐶)
52	51	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → 𝑡 ⊆ 𝐶)
53	7, 11, 8, 9, 1, 10, 29, 30, 31, 44, 45, 48, 52	lcfr 41579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → ∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ 𝑆)
54	7, 11, 12, 8, 9, 1, 10, 29, 30, 31, 45, 48, 52, 44	mapdrval 41641	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = 𝑡)
55		fveqeq2 6867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) → ((𝑀‘𝑐) = 𝑡 ↔ (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = 𝑡))
56	55	rspcev 3588	. . . . . . 7 ⊢ ((∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = 𝑡) → ∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡)
57	53, 54, 56	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → ∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡)
58	57	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → ∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡))
59	43, 58	impbid 212	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡 ↔ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
60	25, 59	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ran 𝑀 ↔ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
61	60	eqrdv 2727	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝑀 = (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
62	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
63		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → 𝑡 ∈ 𝑆)
64		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → 𝑢 ∈ 𝑆)
65	7, 8, 9, 12, 62, 63, 64	mapd11 41633	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → ((𝑀‘𝑡) = (𝑀‘𝑢) ↔ 𝑡 = 𝑢))
66	65	biimpd 229	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → ((𝑀‘𝑡) = (𝑀‘𝑢) → 𝑡 = 𝑢))
67	66	ralrimivva 3180	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑆 ∀𝑢 ∈ 𝑆 ((𝑀‘𝑡) = (𝑀‘𝑢) → 𝑡 = 𝑢))
68		dff1o6 7250	. 2 ⊢ (𝑀:𝑆–1-1-onto→(𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ↔ (𝑀 Fn 𝑆 ∧ ran 𝑀 = (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ∀𝑢 ∈ 𝑆 ((𝑀‘𝑡) = (𝑀‘𝑢) → 𝑡 = 𝑢)))
69	16, 61, 67, 68	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑆–1-1-onto→(𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3405   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  𝒫 cpw 4563  ∪ ciun 4955   ↦ cmpt 5188  ran crn 5639   Fn wfn 6506  –1-1-onto→wf1o 6510  ‘cfv 6511  LSubSpclss 20837  LFnlclfn 39050  LKerclk 39078  LDualcld 39116  HLchlt 39343  LHypclh 39978  DVecHcdvh 41072  ocHcoch 41341  mapdcmpd 41618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-riotaBAD 38946

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8205  df-undef 8252  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-0g 17404  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-p1 18385  df-lat 18391  df-clat 18458  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-cntz 19249  df-oppg 19278  df-lsm 19566  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-dvr 20310  df-nzr 20422  df-rlreg 20603  df-domn 20604  df-drng 20640  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-lvec 21010  df-lsatoms 38969  df-lshyp 38970  df-lcv 39012  df-lfl 39051  df-lkr 39079  df-ldual 39117  df-oposet 39169  df-ol 39171  df-oml 39172  df-covers 39259  df-ats 39260  df-atl 39291  df-cvlat 39315  df-hlat 39344  df-llines 39492  df-lplanes 39493  df-lvols 39494  df-lines 39495  df-psubsp 39497  df-pmap 39498  df-padd 39790  df-lhyp 39982  df-laut 39983  df-ldil 40098  df-ltrn 40099  df-trl 40153  df-tgrp 40737  df-tendo 40749  df-edring 40751  df-dveca 40997  df-disoa 41023  df-dvech 41073  df-dib 41133  df-dic 41167  df-dih 41223  df-doch 41342  df-djh 41389  df-mapd 41619

This theorem is referenced by:  mapdrn  41643  mapdcnvcl  41646  mapdcl  41647  mapdcnvid1N  41648  mapdcnvid2  41651