Theorem mapd1o 41605

Description: The map defined by df-mapd 41582 is one-to-one and onto the set of dual subspaces of functionals with closed kernels. This shows 𝑀 satisfies part of the definition of projectivity of [Baer] p. 40. TODO: change theorems leading to this (lcfr 41542, mapdrval 41604, lclkrs 41496, lclkr 41490,...) to use 𝑇 ∩ 𝒫 𝐶? TODO: maybe get rid of $d's for 𝑔 versus 𝐾𝑈𝑊; propagate to mapdrn 41606 and any others. (Contributed by NM, 12-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapd1o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapd1o.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapd1o.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapd1o.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapd1o.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapd1o.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapd1o.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapd1o.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
mapd1o.t	⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
mapd1o.c	⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
mapd1o.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
mapd1o	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑆–1-1-onto→(𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝐾   𝑔,𝐿   𝑔,𝑂   𝑈,𝑔   𝑔,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝐷(𝑔)   𝑆(𝑔)   𝑇(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝑀(𝑔)

Proof of Theorem mapd1o

Dummy variables 𝑓 𝑐 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapd1o.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
2	1	fvexi 6934	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ V
3	2	rabex 5357	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)} ∈ V
4		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)}) = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)})
5	3, 4	fnmpti 6723	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)}) Fn 𝑆
6		mapd1o.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		mapd1o.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		mapd1o.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		mapd1o.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
10		mapd1o.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
11		mapd1o.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
12		mapd1o.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13	7, 8, 9, 1, 10, 11, 12	mapdfval 41584	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑀 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)}))
14	6, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)}))
15	14	fneq1d 6672	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Fn 𝑆 ↔ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑡)}) Fn 𝑆))
16	5, 15	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 Fn 𝑆)
17	2	rabex 5357	. . . . . . 7 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)} ∈ V
18		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)}) = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)})
19	17, 18	fnmpti 6723	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)}) Fn 𝑆
20	7, 8, 9, 1, 10, 11, 12	mapdfval 41584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑀 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)}))
21	6, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)}))
22	21	fneq1d 6672	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Fn 𝑆 ↔ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑡)}) Fn 𝑆))
23	19, 22	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 Fn 𝑆)
24		fvelrnb 6982	. . . . 5 ⊢ (𝑀 Fn 𝑆 → (𝑡 ∈ ran 𝑀 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡))
25	23, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ran 𝑀 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡))
26	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
27		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → 𝑐 ∈ 𝑆)
28	7, 8, 9, 1, 10, 11, 12, 26, 27	mapdval 41585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑐) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)})
29		mapd1o.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
30		mapd1o.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
31		mapd1o.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
32		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)}
33	7, 11, 8, 9, 1, 10, 29, 30, 31, 32, 26, 27	lclkrs2 41497	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → ({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ⊆ 𝐶))
34		elin 3992	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ↔ ({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝒫 𝐶))
35	2	rabex 5357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ V
36	35	elpw 4626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝒫 𝐶 ↔ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ⊆ 𝐶)
37	36	anbi2i 622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝒫 𝐶) ↔ ({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ⊆ 𝐶))
38	34, 37	bitr2i 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ⊆ 𝐶) ↔ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
39	33, 38	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
40	28, 39	eqeltrd 2844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑐) ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
41		eleq1 2832	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀‘𝑐) = 𝑡 → ((𝑀‘𝑐) ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ↔ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
42	40, 41	syl5ibcom 245	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆) → ((𝑀‘𝑐) = 𝑡 → 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
43	42	rexlimdva 3161	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡 → 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
44		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓))
45	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
46		inss1 4258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ⊆ 𝑇
47	46	sseli 4004	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → 𝑡 ∈ 𝑇)
48	47	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → 𝑡 ∈ 𝑇)
49		inss2 4259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ⊆ 𝒫 𝐶
50	49	sseli 4004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐶)
51	50	elpwid 4631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → 𝑡 ⊆ 𝐶)
52	51	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → 𝑡 ⊆ 𝐶)
53	7, 11, 8, 9, 1, 10, 29, 30, 31, 44, 45, 48, 52	lcfr 41542	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → ∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ 𝑆)
54	7, 11, 12, 8, 9, 1, 10, 29, 30, 31, 45, 48, 52, 44	mapdrval 41604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = 𝑡)
55		fveqeq2 6929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) → ((𝑀‘𝑐) = 𝑡 ↔ (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = 𝑡))
56	55	rspcev 3635	. . . . . . 7 ⊢ ((∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑡 (𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = 𝑡) → ∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡)
57	53, 54, 56	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → ∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡)
58	57	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → ∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡))
59	43, 58	impbid 212	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑐) = 𝑡 ↔ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
60	25, 59	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ran 𝑀 ↔ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
61	60	eqrdv 2738	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝑀 = (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
62	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
63		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → 𝑡 ∈ 𝑆)
64		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → 𝑢 ∈ 𝑆)
65	7, 8, 9, 12, 62, 63, 64	mapd11 41596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → ((𝑀‘𝑡) = (𝑀‘𝑢) ↔ 𝑡 = 𝑢))
66	65	biimpd 229	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → ((𝑀‘𝑡) = (𝑀‘𝑢) → 𝑡 = 𝑢))
67	66	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑆 ∀𝑢 ∈ 𝑆 ((𝑀‘𝑡) = (𝑀‘𝑢) → 𝑡 = 𝑢))
68		dff1o6 7311	. 2 ⊢ (𝑀:𝑆–1-1-onto→(𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ↔ (𝑀 Fn 𝑆 ∧ ran 𝑀 = (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑆 ∀𝑢 ∈ 𝑆 ((𝑀‘𝑡) = (𝑀‘𝑢) → 𝑡 = 𝑢)))
69	16, 61, 67, 68	syl3anbrc 1343	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑆–1-1-onto→(𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  {crab 3443   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622  ∪ ciun 5015   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701   Fn wfn 6568  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  LSubSpclss 20952  LFnlclfn 39013  LKerclk 39041  LDualcld 39079  HLchlt 39306  LHypclh 39941  DVecHcdvh 41035  ocHcoch 41304  mapdcmpd 41581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-riotaBAD 38909

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-undef 8314  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-0g 17501  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-p1 18496  df-lat 18502  df-clat 18569  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-oppg 19386  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-nzr 20539  df-rlreg 20716  df-domn 20717  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-lvec 21125  df-lsatoms 38932  df-lshyp 38933  df-lcv 38975  df-lfl 39014  df-lkr 39042  df-ldual 39080  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-llines 39455  df-lplanes 39456  df-lvols 39457  df-lines 39458  df-psubsp 39460  df-pmap 39461  df-padd 39753  df-lhyp 39945  df-laut 39946  df-ldil 40061  df-ltrn 40062  df-trl 40116  df-tgrp 40700  df-tendo 40712  df-edring 40714  df-dveca 40960  df-disoa 40986  df-dvech 41036  df-dib 41096  df-dic 41130  df-dih 41186  df-doch 41305  df-djh 41352  df-mapd 41582

This theorem is referenced by:  mapdrn  41606  mapdcnvcl  41609  mapdcl  41610  mapdcnvid1N  41611  mapdcnvid2  41614