Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapd1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapd1o 40324
Description: The map defined by df-mapd 40301 is one-to-one and onto the set of dual subspaces of functionals with closed kernels. This shows 𝑀 satisfies part of the definition of projectivity of [Baer] p. 40. TODO: change theorems leading to this (lcfr 40261, mapdrval 40323, lclkrs 40215, lclkr 40209,...) to use 𝑇 ∩ 𝒫 𝐶? TODO: maybe get rid of $d's for 𝑔 versus 𝐾𝑈𝑊; propagate to mapdrn 40325 and any others. (Contributed by NM, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapd1o.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapd1o.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapd1o.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapd1o.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapd1o.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapd1o.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapd1o.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapd1o.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
mapd1o.t 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
mapd1o.c 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
mapd1o.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
mapd1o (𝜑𝑀:𝑆1-1-onto→(𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝐾   𝑔,𝐿   𝑔,𝑂   𝑈,𝑔   𝑔,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝐷(𝑔)   𝑆(𝑔)   𝑇(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝑀(𝑔)

Proof of Theorem mapd1o
Dummy variables 𝑓 𝑐 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapd1o.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
21fvexi 6892 . . . . 5 𝐹 ∈ V
32rabex 5325 . . . 4 {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑡)} ∈ V
4 eqid 2731 . . . 4 (𝑡𝑆 ↦ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑡)}) = (𝑡𝑆 ↦ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑡)})
53, 4fnmpti 6680 . . 3 (𝑡𝑆 ↦ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑡)}) Fn 𝑆
6 mapd1o.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 mapd1o.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 mapd1o.u . . . . . 6 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9 mapd1o.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
10 mapd1o.l . . . . . 6 𝐿 = (LKer‘𝑈)
11 mapd1o.o . . . . . 6 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
12 mapd1o.m . . . . . 6 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
137, 8, 9, 1, 10, 11, 12mapdfval 40303 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑀 = (𝑡𝑆 ↦ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑡)}))
146, 13syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 = (𝑡𝑆 ↦ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑡)}))
1514fneq1d 6631 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Fn 𝑆 ↔ (𝑡𝑆 ↦ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑡)}) Fn 𝑆))
165, 15mpbiri 257 . 2 (𝜑𝑀 Fn 𝑆)
172rabex 5325 . . . . . . 7 {𝑔𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑡)} ∈ V
18 eqid 2731 . . . . . . 7 (𝑡𝑆 ↦ {𝑔𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑡)}) = (𝑡𝑆 ↦ {𝑔𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑡)})
1917, 18fnmpti 6680 . . . . . 6 (𝑡𝑆 ↦ {𝑔𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑡)}) Fn 𝑆
207, 8, 9, 1, 10, 11, 12mapdfval 40303 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑀 = (𝑡𝑆 ↦ {𝑔𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑡)}))
216, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 = (𝑡𝑆 ↦ {𝑔𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑡)}))
2221fneq1d 6631 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 Fn 𝑆 ↔ (𝑡𝑆 ↦ {𝑔𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑡)}) Fn 𝑆))
2319, 22mpbiri 257 . . . . 5 (𝜑𝑀 Fn 𝑆)
24 fvelrnb 6939 . . . . 5 (𝑀 Fn 𝑆 → (𝑡 ∈ ran 𝑀 ↔ ∃𝑐𝑆 (𝑀𝑐) = 𝑡))
2523, 24syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑡 ∈ ran 𝑀 ↔ ∃𝑐𝑆 (𝑀𝑐) = 𝑡))
266adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
27 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝑆) → 𝑐𝑆)
287, 8, 9, 1, 10, 11, 12, 26, 27mapdval 40304 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐𝑆) → (𝑀𝑐) = {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)})
29 mapd1o.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (LDual‘𝑈)
30 mapd1o.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
31 mapd1o.c . . . . . . . . . 10 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
32 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} = {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)}
337, 11, 8, 9, 1, 10, 29, 30, 31, 32, 26, 27lclkrs2 40216 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝑆) → ({𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ⊆ 𝐶))
34 elin 3960 . . . . . . . . . 10 ({𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ↔ ({𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝒫 𝐶))
352rabex 5325 . . . . . . . . . . . 12 {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ V
3635elpw 4600 . . . . . . . . . . 11 ({𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝒫 𝐶 ↔ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ⊆ 𝐶)
3736anbi2i 623 . . . . . . . . . 10 (({𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝒫 𝐶) ↔ ({𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ⊆ 𝐶))
3834, 37bitr2i 275 . . . . . . . . 9 (({𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ⊆ 𝐶) ↔ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
3933, 38sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐𝑆) → {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
4028, 39eqeltrd 2832 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐𝑆) → (𝑀𝑐) ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
41 eleq1 2820 . . . . . . 7 ((𝑀𝑐) = 𝑡 → ((𝑀𝑐) ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ↔ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
4240, 41syl5ibcom 244 . . . . . 6 ((𝜑𝑐𝑆) → ((𝑀𝑐) = 𝑡𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
4342rexlimdva 3154 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑐𝑆 (𝑀𝑐) = 𝑡𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
44 eqid 2731 . . . . . . . 8 𝑓𝑡 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = 𝑓𝑡 (𝑂‘(𝐿𝑓))
456adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
46 inss1 4224 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ⊆ 𝑇
4746sseli 3974 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → 𝑡𝑇)
4847adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → 𝑡𝑇)
49 inss2 4225 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ⊆ 𝒫 𝐶
5049sseli 3974 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐶)
5150elpwid 4605 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → 𝑡𝐶)
5251adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → 𝑡𝐶)
537, 11, 8, 9, 1, 10, 29, 30, 31, 44, 45, 48, 52lcfr 40261 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → 𝑓𝑡 (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ 𝑆)
547, 11, 12, 8, 9, 1, 10, 29, 30, 31, 45, 48, 52, 44mapdrval 40323 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → (𝑀 𝑓𝑡 (𝑂‘(𝐿𝑓))) = 𝑡)
55 fveqeq2 6887 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑓𝑡 (𝑂‘(𝐿𝑓)) → ((𝑀𝑐) = 𝑡 ↔ (𝑀 𝑓𝑡 (𝑂‘(𝐿𝑓))) = 𝑡))
5655rspcev 3609 . . . . . . 7 (( 𝑓𝑡 (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ 𝑆 ∧ (𝑀 𝑓𝑡 (𝑂‘(𝐿𝑓))) = 𝑡) → ∃𝑐𝑆 (𝑀𝑐) = 𝑡)
5753, 54, 56syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → ∃𝑐𝑆 (𝑀𝑐) = 𝑡)
5857ex 413 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → ∃𝑐𝑆 (𝑀𝑐) = 𝑡))
5943, 58impbid 211 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑐𝑆 (𝑀𝑐) = 𝑡𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
6025, 59bitrd 278 . . 3 (𝜑 → (𝑡 ∈ ran 𝑀𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
6160eqrdv 2729 . 2 (𝜑 → ran 𝑀 = (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
626adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑆𝑢𝑆)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
63 simprl 769 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑆𝑢𝑆)) → 𝑡𝑆)
64 simprr 771 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑆𝑢𝑆)) → 𝑢𝑆)
657, 8, 9, 12, 62, 63, 64mapd11 40315 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑆𝑢𝑆)) → ((𝑀𝑡) = (𝑀𝑢) ↔ 𝑡 = 𝑢))
6665biimpd 228 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑆𝑢𝑆)) → ((𝑀𝑡) = (𝑀𝑢) → 𝑡 = 𝑢))
6766ralrimivva 3199 . 2 (𝜑 → ∀𝑡𝑆𝑢𝑆 ((𝑀𝑡) = (𝑀𝑢) → 𝑡 = 𝑢))
68 dff1o6 7257 . 2 (𝑀:𝑆1-1-onto→(𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ↔ (𝑀 Fn 𝑆 ∧ ran 𝑀 = (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ∧ ∀𝑡𝑆𝑢𝑆 ((𝑀𝑡) = (𝑀𝑢) → 𝑡 = 𝑢)))
6916, 61, 67, 68syl3anbrc 1343 1 (𝜑𝑀:𝑆1-1-onto→(𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3060  wrex 3069  {crab 3431  cin 3943  wss 3944  𝒫 cpw 4596   ciun 4990  cmpt 5224  ran crn 5670   Fn wfn 6527  1-1-ontowf1o 6531  cfv 6532  LSubSpclss 20491  LFnlclfn 37732  LKerclk 37760  LDualcld 37798  HLchlt 38025  LHypclh 38660  DVecHcdvh 39754  ocHcoch 40023  mapdcmpd 40300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-riotaBAD 37628
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-tpos 8193  df-undef 8240  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-0g 17369  df-mre 17512  df-mrc 17513  df-acs 17515  df-proset 18230  df-poset 18248  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-p1 18361  df-lat 18367  df-clat 18434  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-submnd 18648  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-subg 18975  df-cntz 19147  df-oppg 19174  df-lsm 19468  df-cmn 19614  df-abl 19615  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-oppr 20102  df-dvdsr 20123  df-unit 20124  df-invr 20154  df-dvr 20165  df-drng 20267  df-lmod 20422  df-lss 20492  df-lsp 20532  df-lvec 20663  df-lsatoms 37651  df-lshyp 37652  df-lcv 37694  df-lfl 37733  df-lkr 37761  df-ldual 37799  df-oposet 37851  df-ol 37853  df-oml 37854  df-covers 37941  df-ats 37942  df-atl 37973  df-cvlat 37997  df-hlat 38026  df-llines 38174  df-lplanes 38175  df-lvols 38176  df-lines 38177  df-psubsp 38179  df-pmap 38180  df-padd 38472  df-lhyp 38664  df-laut 38665  df-ldil 38780  df-ltrn 38781  df-trl 38835  df-tgrp 39419  df-tendo 39431  df-edring 39433  df-dveca 39679  df-disoa 39705  df-dvech 39755  df-dib 39815  df-dic 39849  df-dih 39905  df-doch 40024  df-djh 40071  df-mapd 40301
This theorem is referenced by:  mapdrn  40325  mapdcnvcl  40328  mapdcl  40329  mapdcnvid1N  40330  mapdcnvid2  40333
  Copyright terms: Public domain W3C validator