Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonhoi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonhoi 45373
Description: The Lebesgue outer measure of a multidimensional half-open interval is its dimensional volume (the product of its length in each dimension, when the dimension is nonzero). A direct consequence of Proposition 115D (b) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonhoi.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
vonhoi.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
vonhoi.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
vonhoi.c 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))
vonhoi.l 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
Assertion
Ref Expression
vonhoi (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝐡,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝑋,π‘Ž,𝑏,π‘˜,π‘₯   πœ‘,π‘Ž,𝑏,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝐼(π‘₯,π‘˜,π‘Ž,𝑏)   𝐿(π‘₯,π‘˜,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem vonhoi
StepHypRef Expression
1 vonhoi.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
2 vonhoi.c . . . 4 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))
3 eqid 2732 . . . . 5 dom (volnβ€˜π‘‹) = dom (volnβ€˜π‘‹)
4 vonhoi.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
5 vonhoi.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
61, 3, 4, 5hoimbl 45337 . . . 4 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ dom (volnβ€˜π‘‹))
72, 6eqeltrid 2837 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ dom (volnβ€˜π‘‹))
81, 7mblvon 45345 . 2 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = ((voln*β€˜π‘‹)β€˜πΌ))
9 vonhoi.l . . 3 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
101, 4, 5, 2, 9ovnhoi 45309 . 2 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜πΌ) = (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡))
118, 10eqtrd 2772 1 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ…c0 4322  ifcif 4528   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410   ↑m cmap 8819  Xcixp 8890  Fincfn 8938  β„cr 11108  0cc0 11109  [,)cico 13325  βˆcprod 15848  volcvol 24979  voln*covoln 45242  volncvoln 45244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-ac2 10457  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-ac 10110  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-prod 15849  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17367  df-0g 17386  df-topgen 17388  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-subg 19002  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-drng 20358  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cmp 22890  df-ovol 24980  df-vol 24981  df-salg 45015  df-sumge0 45069  df-mea 45156  df-ome 45196  df-caragen 45198  df-ovoln 45243  df-voln 45245
This theorem is referenced by:  vonn0hoi  45376
  Copyright terms: Public domain W3C validator