Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem96 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem96 45377
Description: limit for 𝐹 at the lower bound of an interval for the moved partition 𝑉. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem96.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem96.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem96.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem96.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem96.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem96.fper ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem96.qcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem96.8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem96.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem96.d (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
fourierdlem96.j (𝜑𝐽 ∈ (0..^((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)))
fourierdlem96.v 𝑉 = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem96 (𝜑 → if(((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉𝐽))) = (𝑄‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉𝐽))), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉𝐽))), (𝐹‘((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉𝐽))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) lim (𝑉𝐽)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑢,𝑦,𝑖,𝑥   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖,𝑦   𝐵,𝑗,𝑢,𝑦,𝑖,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝑣,𝐵,𝑗,𝑦   𝐶,𝑔,𝑦   𝐶,𝑖,𝑥   𝐶,𝑚,𝑝   𝐷,𝑔,𝑦   𝐷,𝑖,𝑥   𝐷,𝑚,𝑝   𝑖,𝐹,𝑥   𝑖,𝐽,𝑥   𝑗,𝑀,𝑦,𝑖,𝑥   𝑚,𝑀,𝑝   𝑄,𝑔,𝑘,𝑦   𝑄,,𝑦   𝑄,𝑖,𝑗,𝑥   𝑄,𝑚,𝑝   𝑖,𝑘,𝑚,𝑝   𝑥,𝑅   𝑇,𝑔,𝑘,𝑦   𝑇,   𝑇,𝑖,𝑗,𝑣,𝑥   𝑇,𝑚,𝑝   𝑖,𝑉,𝑥   𝑉,𝑝   𝜑,𝑖,𝑥   𝑥,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑣,𝑢,𝑔,,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐴(𝑣,𝑔,,𝑘)   𝐵(𝑔,,𝑘)   𝐶(𝑣,𝑢,,𝑗,𝑘)   𝐷(𝑣,𝑢,,𝑗,𝑘)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔,,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑣,𝑢)   𝑅(𝑦,𝑣,𝑢,𝑔,,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑇(𝑢)   𝐹(𝑦,𝑣,𝑢,𝑔,,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐽(𝑦,𝑣,𝑢,𝑔,,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑣,𝑢,𝑔,,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑣,𝑢,𝑔,,𝑗,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem fourierdlem96
Dummy variables 𝑓 𝑙 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem96.p . 2 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
2 fourierdlem96.t . 2 𝑇 = (𝐵𝐴)
3 fourierdlem96.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4 fourierdlem96.q . 2 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
5 fourierdlem96.f . . 3 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
6 ax-resscn 11173 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
85, 7fssd 6735 . 2 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
9 fourierdlem96.fper . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
10 fourierdlem96.qcn . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
11 fourierdlem96.8 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
12 fourierdlem96.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
13 fourierdlem96.d . 2 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
14 eqid 2731 . 2 (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
15 oveq1 7419 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)))
1615eleq1d 2817 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
1716rexbidv 3177 . . . . 5 (𝑧 = 𝑦 → (∃𝑙 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
1817cbvrabv 3441 . . . 4 {𝑧 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
1918uneq2i 4160 . . 3 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑧 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
2019eqcomi 2740 . 2 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑧 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
21 oveq1 7419 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 · 𝑇) = (𝑙 · 𝑇))
2221oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑙 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)))
2322eleq1d 2817 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑙 → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
2423cbvrexvw 3234 . . . . . . 7 (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
2524a1i 11 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
2625rabbiia 3435 . . . . 5 {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
2726uneq2i 4160 . . . 4 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
2827fveq2i 6894 . . 3 (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) = (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))
2928oveq1i 7422 . 2 ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1) = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
30 oveq1 7419 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = → (𝑙 · 𝑇) = ( · 𝑇))
3130oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = → (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) = (𝑦 + ( · 𝑇)))
3231eleq1d 2817 . . . . . . . . 9 (𝑙 = → ((𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
3332cbvrexvw 3234 . . . . . . . 8 (∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) → (∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
3534rabbiia 3435 . . . . . 6 {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
3635uneq2i 4160 . . . . 5 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
37 isoeq5 7321 . . . . 5 (({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
3836, 37ax-mp 5 . . . 4 (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
3938iotabii 6528 . . 3 (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
40 isoeq1 7317 . . . 4 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
4140cbviotavw 6503 . . 3 (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
42 fourierdlem96.v . . 3 𝑉 = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
4339, 41, 423eqtr4ri 2770 . 2 𝑉 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
44 id 22 . . . 4 (𝑣 = 𝑥𝑣 = 𝑥)
45 oveq2 7420 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑥 → (𝐵𝑣) = (𝐵𝑥))
4645oveq1d 7427 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑥 → ((𝐵𝑣) / 𝑇) = ((𝐵𝑥) / 𝑇))
4746fveq2d 6895 . . . . 5 (𝑣 = 𝑥 → (⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)))
4847oveq1d 7427 . . . 4 (𝑣 = 𝑥 → ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
4944, 48oveq12d 7430 . . 3 (𝑣 = 𝑥 → (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
5049cbvmptv 5261 . 2 (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
51 eqeq1 2735 . . . 4 (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 = 𝐵𝑧 = 𝐵))
52 id 22 . . . 4 (𝑢 = 𝑧𝑢 = 𝑧)
5351, 52ifbieq2d 4554 . . 3 (𝑢 = 𝑧 → if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢) = if(𝑧 = 𝐵, 𝐴, 𝑧))
5453cbvmptv 5261 . 2 (𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢)) = (𝑧 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐴, 𝑧))
55 fourierdlem96.j . 2 (𝜑𝐽 ∈ (0..^((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)))
56 eqid 2731 . 2 ((𝑉‘(𝐽 + 1)) − ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1)))) = ((𝑉‘(𝐽 + 1)) − ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1))))
57 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 → (𝑄𝑗) = (𝑄𝑖))
5857breq1d 5158 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄𝑗) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦)) ↔ (𝑄𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))))
5958cbvrabv 3441 . . . . 5 {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}
60 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦) = ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))
6160fveq2d 6895 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦)) = ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥)))
6261breq2d 5160 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑄𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦)) ↔ (𝑄𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))))
6362rabbidv 3439 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))})
6459, 63eqtrid 2783 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))})
6564supeq1d 9447 . . 3 (𝑦 = 𝑥 → sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ) = sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}, ℝ, < ))
6665cbvmptv 5261 . 2 (𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}, ℝ, < ))
67 eqid 2731 . 2 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)
681, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 29, 43, 50, 54, 55, 56, 66, 67fourierdlem89 45370 1 (𝜑 → if(((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉𝐽))) = (𝑄‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉𝐽))), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑗) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉𝐽))), (𝐹‘((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉𝐽))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) lim (𝑉𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  wrex 3069  {crab 3431  cun 3946  wss 3948  ifcif 4528  {cpr 4630   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ran crn 5677  cres 5678  cio 6493  wf 6539  cfv 6543   Isom wiso 6544  (class class class)co 7412  m cmap 8826  supcsup 9441  cc 11114  cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121  +∞cpnf 11252   < clt 11255  cle 11256  cmin 11451   / cdiv 11878  cn 12219  cz 12565  (,)cioo 13331  (,]cioc 13332  [,]cicc 13334  ...cfz 13491  ..^cfzo 13634  cfl 13762  chash 14297  cnccncf 24716   lim climc 25711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-oadd 8476  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-dju 9902  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-rest 17375  df-topn 17376  df-topgen 17396  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-met 21227  df-bl 21228  df-mopn 21229  df-cnfld 21234  df-top 22716  df-topon 22733  df-topsp 22755  df-bases 22769  df-cld 22843  df-ntr 22844  df-cls 22845  df-nei 22922  df-lp 22960  df-cn 23051  df-cnp 23052  df-cmp 23211  df-xms 24146  df-ms 24147  df-cncf 24718  df-limc 25715
This theorem is referenced by:  fourierdlem112  45393
  Copyright terms: Public domain W3C validator