Theorem fourierdlem96 46645

Description: limit for 𝐹 at the lower bound of an interval for the moved partition 𝑉. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem96.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem96.p	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem96.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem96.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem96.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem96.fper	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
fourierdlem96.qcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem96.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
fourierdlem96.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem96.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
fourierdlem96.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)))
fourierdlem96.v	⊢ 𝑉 = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))

Assertion

Ref

Expression

fourierdlem96

⊢ (𝜑 → if(((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘𝐽))) = (𝑄‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝐽))), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝐽))), (𝐹‘((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘𝐽))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) limℂ (𝑉‘𝐽)))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑄,𝑖,𝑗   𝑇,ℎ   𝑥,𝑅   𝑇,𝑖,𝑗,𝑣,𝑥   𝑄,𝑘,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥   𝑥,𝑀   𝑇,𝑚,𝑝   𝑄,𝑚,𝑝   𝑖,𝑘,𝑚,𝑝   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑖,𝐽,𝑥   𝑄,ℎ,𝑦   𝑖,𝐹,𝑥   𝑉,𝑝,𝑖   𝑥,𝑉   𝑗,𝑀,𝑦   𝑇,𝑔,𝑘,𝑦   𝐵,𝑖,𝑢,𝑥,𝑗   𝑣,𝐵,𝑦   𝐶,𝑚,𝑝,𝑦,𝑖   𝑥,𝐶   𝐶,𝑔   𝐷,𝑖,𝑥,𝑦   𝐷,𝑚,𝑝   𝐵,𝑚,𝑝   𝐴,𝑖,𝑚,𝑝   𝐷,𝑔   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦,𝑢   𝑄,𝑔

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑣,𝑢,𝑔,ℎ,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐴(𝑣,𝑔,ℎ,𝑘)   𝐵(𝑔,ℎ,𝑘)   𝐶(𝑣,𝑢,ℎ,𝑗,𝑘)   𝐷(𝑣,𝑢,ℎ,𝑗,𝑘)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔,ℎ,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑣,𝑢)   𝑅(𝑦,𝑣,𝑢,𝑔,ℎ,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑇(𝑢)   𝐹(𝑦,𝑣,𝑢,𝑔,ℎ,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐽(𝑦,𝑣,𝑢,𝑔,ℎ,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑣,𝑢,𝑔,ℎ,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑣,𝑢,𝑔,ℎ,𝑗,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem fourierdlem96

Dummy variables 𝑓 𝑧 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem96.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
2		fourierdlem96.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
3		fourierdlem96.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4		fourierdlem96.q	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
5		fourierdlem96.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6		ax-resscn 11086	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
8	5, 7	fssd 6672	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
9		fourierdlem96.fper	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
10		fourierdlem96.qcn	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
11		fourierdlem96.8	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
12		fourierdlem96.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
13		fourierdlem96.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
14		eqid 2739	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
15		oveq1 7363	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)))
16	15	eleq1d 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
17	16	rexbidv 3163	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (∃𝑙 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
18	17	cbvrabv 3401	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
19	18	uneq2i 4095	. . 3 ⊢ ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑧 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
20	19	eqcomi 2748	. 2 ⊢ ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑧 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
21		oveq1 7363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 · 𝑇) = (𝑙 · 𝑇))
22	21	oveq2d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)))
23	22	eleq1d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
24	23	cbvrexvw 3218	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
26	25	rabbiia 3395	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
27	26	uneq2i 4095	. . . 4 ⊢ ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
28	27	fveq2i 6830	. . 3 ⊢ (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) = (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))
29	28	oveq1i 7366	. 2 ⊢ ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1) = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
30		oveq1 7363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = ℎ → (𝑙 · 𝑇) = (ℎ · 𝑇))
31	30	oveq2d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = ℎ → (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) = (𝑦 + (ℎ · 𝑇)))
32	31	eleq1d 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = ℎ → ((𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
33	32	cbvrexvw 3218	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) → (∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
35	34	rabbiia 3395	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
36	35	uneq2i 4095	. . . . 5 ⊢ ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
37		isoeq5 7265	. . . . 5 ⊢ (({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
39	38	iotabii 6470	. . 3 ⊢ (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
40		isoeq1 7261	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
41	40	cbviotavw 6449	. . 3 ⊢ (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
42		fourierdlem96.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
43	39, 41, 42	3eqtr4ri 2773	. 2 ⊢ 𝑉 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
44		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → 𝑣 = 𝑥)
45		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (𝐵 − 𝑣) = (𝐵 − 𝑥))
46	45	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → ((𝐵 − 𝑣) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇))
47	46	fveq2d 6831	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)))
48	47	oveq1d 7371	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
49	44, 48	oveq12d 7374	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
50	49	cbvmptv 5176	. 2 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
51		eqeq1 2743	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 = 𝐵 ↔ 𝑧 = 𝐵))
52		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → 𝑢 = 𝑧)
53	51, 52	ifbieq2d 4481	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢) = if(𝑧 = 𝐵, 𝐴, 𝑧))
54	53	cbvmptv 5176	. 2 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢)) = (𝑧 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐴, 𝑧))
55		fourierdlem96.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)))
56		eqid 2739	. 2 ⊢ ((𝑉‘(𝐽 + 1)) − ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1)))) = ((𝑉‘(𝐽 + 1)) − ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1))))
57		fveq2 6827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘𝑖))
58	57	breq1d 5082	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦)) ↔ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))))
59	58	cbvrabv 3401	. . . . 5 ⊢ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}
60		fveq2 6827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦) = ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))
61	60	fveq2d 6831	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦)) = ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥)))
62	61	breq2d 5084	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦)) ↔ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))))
63	62	rabbidv 3398	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))})
64	59, 63	eqtrid 2786	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))})
65	64	supeq1d 9349	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ) = sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}, ℝ, < ))
66	65	cbvmptv 5176	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}, ℝ, < ))
67		eqid 2739	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)
68	1, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 29, 43, 50, 54, 55, 56, 66, 67	fourierdlem89 46638	1 ⊢ (𝜑 → if(((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘𝐽))) = (𝑄‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝐽))), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝐽))), (𝐹‘((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘𝐽))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) limℂ (𝑉‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  {crab 3391   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  ifcif 4454  {cpr 4557   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ran crn 5619   ↾ cres 5620  ℩cio 6439  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485   Isom wiso 6486  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8763  supcsup 9343  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034  +∞cpnf 11167   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12165  ℤcz 12515  (,)cioo 13289  (,]cioc 13290  [,]cicc 13292  ...cfz 13452  ..^cfzo 13599  ⌊cfl 13740  ♯chash 14283  –cn→ccncf 24861   lim_ℂ climc 25847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-rest 17376  df-topn 17377  df-topgen 17397  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-cnfld 21348  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-cld 23002  df-ntr 23003  df-cls 23004  df-nei 23081  df-lp 23119  df-cn 23210  df-cnp 23211  df-cmp 23370  df-xms 24303  df-ms 24304  df-cncf 24863  df-limc 25851

This theorem is referenced by:  fourierdlem112  46661