Theorem fourierdlem96 45513

Description: limit for 𝐹 at the lower bound of an interval for the moved partition 𝑉. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem96.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem96.p	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem96.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem96.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem96.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem96.fper	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
fourierdlem96.qcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem96.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
fourierdlem96.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem96.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
fourierdlem96.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)))
fourierdlem96.v	⊢ 𝑉 = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))

Assertion

Ref

Expression

fourierdlem96

⊢ (𝜑 → if(((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘𝐽))) = (𝑄‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝐽))), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝐽))), (𝐹‘((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘𝐽))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) limℂ (𝑉‘𝐽)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑢,𝑦,𝑖,𝑥   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖,𝑦   𝐵,𝑗,𝑢,𝑦,𝑖,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝑣,𝐵,𝑗,𝑦   𝐶,𝑔,𝑦   𝐶,𝑖,𝑥   𝐶,𝑚,𝑝   𝐷,𝑔,𝑦   𝐷,𝑖,𝑥   𝐷,𝑚,𝑝   𝑖,𝐹,𝑥   𝑖,𝐽,𝑥   𝑗,𝑀,𝑦,𝑖,𝑥   𝑚,𝑀,𝑝   𝑄,𝑔,𝑘,𝑦   𝑄,ℎ,𝑦   𝑄,𝑖,𝑗,𝑥   𝑄,𝑚,𝑝   𝑖,𝑘,𝑚,𝑝   𝑥,𝑅   𝑇,𝑔,𝑘,𝑦   𝑇,ℎ   𝑇,𝑖,𝑗,𝑣,𝑥   𝑇,𝑚,𝑝   𝑖,𝑉,𝑥   𝑉,𝑝   𝜑,𝑖,𝑥   𝑥,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑣,𝑢,𝑔,ℎ,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐴(𝑣,𝑔,ℎ,𝑘)   𝐵(𝑔,ℎ,𝑘)   𝐶(𝑣,𝑢,ℎ,𝑗,𝑘)   𝐷(𝑣,𝑢,ℎ,𝑗,𝑘)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔,ℎ,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑣,𝑢)   𝑅(𝑦,𝑣,𝑢,𝑔,ℎ,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑇(𝑢)   𝐹(𝑦,𝑣,𝑢,𝑔,ℎ,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐽(𝑦,𝑣,𝑢,𝑔,ℎ,𝑗,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑣,𝑢,𝑔,ℎ,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑣,𝑢,𝑔,ℎ,𝑗,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem fourierdlem96

Dummy variables 𝑓 𝑙 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem96.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
2		fourierdlem96.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
3		fourierdlem96.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4		fourierdlem96.q	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
5		fourierdlem96.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6		ax-resscn 11187	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
8	5, 7	fssd 6734	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
9		fourierdlem96.fper	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
10		fourierdlem96.qcn	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
11		fourierdlem96.8	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
12		fourierdlem96.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
13		fourierdlem96.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
14		eqid 2727	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
15		oveq1 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)))
16	15	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
17	16	rexbidv 3173	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (∃𝑙 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
18	17	cbvrabv 3437	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
19	18	uneq2i 4156	. . 3 ⊢ ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑧 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
20	19	eqcomi 2736	. 2 ⊢ ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑧 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
21		oveq1 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 · 𝑇) = (𝑙 · 𝑇))
22	21	oveq2d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)))
23	22	eleq1d 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
24	23	cbvrexvw 3230	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
26	25	rabbiia 3431	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
27	26	uneq2i 4156	. . . 4 ⊢ ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
28	27	fveq2i 6894	. . 3 ⊢ (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) = (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))
29	28	oveq1i 7424	. 2 ⊢ ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1) = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
30		oveq1 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = ℎ → (𝑙 · 𝑇) = (ℎ · 𝑇))
31	30	oveq2d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = ℎ → (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) = (𝑦 + (ℎ · 𝑇)))
32	31	eleq1d 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = ℎ → ((𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
33	32	cbvrexvw 3230	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) → (∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
35	34	rabbiia 3431	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
36	35	uneq2i 4156	. . . . 5 ⊢ ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
37		isoeq5 7323	. . . . 5 ⊢ (({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
39	38	iotabii 6527	. . 3 ⊢ (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
40		isoeq1 7319	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
41	40	cbviotavw 6502	. . 3 ⊢ (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
42		fourierdlem96.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ℎ ∈ ℤ (𝑦 + (ℎ · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
43	39, 41, 42	3eqtr4ri 2766	. 2 ⊢ 𝑉 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
44		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → 𝑣 = 𝑥)
45		oveq2 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (𝐵 − 𝑣) = (𝐵 − 𝑥))
46	45	oveq1d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → ((𝐵 − 𝑣) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇))
47	46	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)))
48	47	oveq1d 7429	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
49	44, 48	oveq12d 7432	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
50	49	cbvmptv 5255	. 2 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
51		eqeq1 2731	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 = 𝐵 ↔ 𝑧 = 𝐵))
52		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → 𝑢 = 𝑧)
53	51, 52	ifbieq2d 4550	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢) = if(𝑧 = 𝐵, 𝐴, 𝑧))
54	53	cbvmptv 5255	. 2 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢)) = (𝑧 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐴, 𝑧))
55		fourierdlem96.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0..^((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)))
56		eqid 2727	. 2 ⊢ ((𝑉‘(𝐽 + 1)) − ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1)))) = ((𝑉‘(𝐽 + 1)) − ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1))))
57		fveq2 6891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘𝑖))
58	57	breq1d 5152	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦)) ↔ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))))
59	58	cbvrabv 3437	. . . . 5 ⊢ {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}
60		fveq2 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦) = ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))
61	60	fveq2d 6895	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦)) = ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥)))
62	61	breq2d 5154	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦)) ↔ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))))
63	62	rabbidv 3435	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))})
64	59, 63	eqtrid 2779	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))})
65	64	supeq1d 9461	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ) = sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}, ℝ, < ))
66	65	cbvmptv 5255	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}, ℝ, < ))
67		eqid 2727	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)
68	1, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 29, 43, 50, 54, 55, 56, 66, 67	fourierdlem89 45506	1 ⊢ (𝜑 → if(((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘𝐽))) = (𝑄‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝐽))), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)‘((𝑦 ∈ ℝ ↦ sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑗) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑦))}, ℝ, < ))‘(𝑉‘𝐽))), (𝐹‘((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘𝐽))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉‘𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) limℂ (𝑉‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056  ∃wrex 3065  {crab 3427   ∪ cun 3942   ⊆ wss 3944  ifcif 4524  {cpr 4626   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ran crn 5673   ↾ cres 5674  ℩cio 6492  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542   Isom wiso 6543  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8836  supcsup 9455  ℂcc 11128  ℝcr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   · cmul 11135  +∞cpnf 11267   < clt 11270   ≤ cle 11271   − cmin 11466   / cdiv 11893  ℕcn 12234  ℤcz 12580  (,)cioo 13348  (,]cioc 13349  [,]cicc 13351  ...cfz 13508  ..^cfzo 13651  ⌊cfl 13779  ♯chash 14313  –cn→ccncf 24783   lim_ℂ climc 25778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-struct 17107  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-rest 17395  df-topn 17396  df-topgen 17416  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-cmp 23278  df-xms 24213  df-ms 24214  df-cncf 24785  df-limc 25782

This theorem is referenced by:  fourierdlem112  45529