Theorem dfpjop 32276

Description: Definition of projection operator in [Hughes] p. 47, except that we do not need linearity to be explicit by virtue of hmoplin 32036. (Contributed by NM, 24-Apr-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dfpjop	⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ ↔ (𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇))

Proof of Theorem dfpjop

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjmfn 31809	. . . 4 ⊢ projℎ Fn Cℋ
2		fvelrnb 6904	. . . 4 ⊢ (projℎ Fn Cℋ → (𝑇 ∈ ran projℎ ↔ ∃𝑥 ∈ Cℋ (projℎ‘𝑥) = 𝑇))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ ↔ ∃𝑥 ∈ Cℋ (projℎ‘𝑥) = 𝑇)
4		pjhmop 32244	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (projℎ‘𝑥) ∈ HrmOp)
5		pjidmco 32275	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((projℎ‘𝑥) ∘ (projℎ‘𝑥)) = (projℎ‘𝑥))
6	4, 5	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((projℎ‘𝑥) ∈ HrmOp ∧ ((projℎ‘𝑥) ∘ (projℎ‘𝑥)) = (projℎ‘𝑥)))
7		eleq1 2825	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝑥) = 𝑇 → ((projℎ‘𝑥) ∈ HrmOp ↔ 𝑇 ∈ HrmOp))
8		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((projℎ‘𝑥) = 𝑇 → (projℎ‘𝑥) = 𝑇)
9	8, 8	coeq12d 5823	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘𝑥) = 𝑇 → ((projℎ‘𝑥) ∘ (projℎ‘𝑥)) = (𝑇 ∘ 𝑇))
10	9, 8	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝑥) = 𝑇 → (((projℎ‘𝑥) ∘ (projℎ‘𝑥)) = (projℎ‘𝑥) ↔ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇))
11	7, 10	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝑥) = 𝑇 → (((projℎ‘𝑥) ∈ HrmOp ∧ ((projℎ‘𝑥) ∘ (projℎ‘𝑥)) = (projℎ‘𝑥)) ↔ (𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇)))
12	6, 11	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((projℎ‘𝑥) = 𝑇 → (𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇)))
13	12	rexlimiv 3132	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ Cℋ (projℎ‘𝑥) = 𝑇 → (𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇))
14	3, 13	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → (𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇))
15		hmopidmpj 32248	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇) → 𝑇 = (projℎ‘ran 𝑇))
16		hmopidmch 32247	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇) → ran 𝑇 ∈ Cℋ )
17		fnfvelrn 7036	. . . 4 ⊢ ((projℎ Fn Cℋ ∧ ran 𝑇 ∈ Cℋ ) → (projℎ‘ran 𝑇) ∈ ran projℎ)
18	1, 16, 17	sylancr 588	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇) → (projℎ‘ran 𝑇) ∈ ran projℎ)
19	15, 18	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇) → 𝑇 ∈ ran projℎ)
20	14, 19	impbii 209	1 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ ↔ (𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  ran crn 5635   ∘ ccom 5638   Fn wfn 6497  ‘cfv 6502   C_ℋ cch 31023  proj_ℎcpjh 31031  HrmOpcho 31044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-inf2 9564  ax-cc 10359  ax-dc 10370  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118  ax-addf 11119  ax-mulf 11120  ax-hilex 31093  ax-hfvadd 31094  ax-hvcom 31095  ax-hvass 31096  ax-hv0cl 31097  ax-hvaddid 31098  ax-hfvmul 31099  ax-hvmulid 31100  ax-hvmulass 31101  ax-hvdistr1 31102  ax-hvdistr2 31103  ax-hvmul0 31104  ax-hfi 31173  ax-his1 31176  ax-his2 31177  ax-his3 31178  ax-his4 31179  ax-hcompl 31296

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-oadd 8413  df-omul 8414  df-er 8647  df-map 8779  df-pm 8780  df-ixp 8850  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-fi 9328  df-sup 9359  df-inf 9360  df-oi 9429  df-card 9865  df-acn 9868  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-q 12876  df-rp 12920  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13279  df-ico 13281  df-icc 13282  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-fl 13726  df-seq 13939  df-exp 13999  df-hash 14268  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-clim 15425  df-rlim 15426  df-sum 15624  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-starv 17206  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-unif 17214  df-hom 17215  df-cco 17216  df-rest 17356  df-topn 17357  df-0g 17375  df-gsum 17376  df-topgen 17377  df-pt 17378  df-prds 17381  df-xrs 17437  df-qtop 17442  df-imas 17443  df-xps 17445  df-mre 17519  df-mrc 17520  df-acs 17522  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-submnd 18723  df-mulg 19015  df-cntz 19263  df-cmn 19728  df-psmet 21318  df-xmet 21319  df-met 21320  df-bl 21321  df-mopn 21322  df-fbas 21323  df-fg 21324  df-cnfld 21327  df-top 22855  df-topon 22872  df-topsp 22894  df-bases 22907  df-cld 22980  df-ntr 22981  df-cls 22982  df-nei 23059  df-cn 23188  df-cnp 23189  df-lm 23190  df-t1 23275  df-haus 23276  df-cmp 23348  df-tx 23523  df-hmeo 23716  df-fil 23807  df-fm 23899  df-flim 23900  df-flf 23901  df-fcls 23902  df-xms 24281  df-ms 24282  df-tms 24283  df-cncf 24844  df-cfil 25228  df-cau 25229  df-cmet 25230  df-grpo 30587  df-gid 30588  df-ginv 30589  df-gdiv 30590  df-ablo 30639  df-vc 30653  df-nv 30686  df-va 30689  df-ba 30690  df-sm 30691  df-0v 30692  df-vs 30693  df-nmcv 30694  df-ims 30695  df-dip 30795  df-ssp 30816  df-lno 30838  df-nmoo 30839  df-blo 30840  df-0o 30841  df-ph 30907  df-cbn 30957  df-hlo 30980  df-hnorm 31062  df-hba 31063  df-hvsub 31065  df-hlim 31066  df-hcau 31067  df-sh 31301  df-ch 31315  df-oc 31346  df-ch0 31347  df-shs 31402  df-pjh 31489  df-h0op 31842  df-iop 31843  df-nmop 31933  df-cnop 31934  df-lnop 31935  df-bdop 31936  df-unop 31937  df-hmop 31938

This theorem is referenced by:  pjhmopidm  32277  elpjidm  32278  elpjhmop  32279  elpjch  32283