Theorem dfpjop 32115

Description: Definition of projection operator in [Hughes] p. 47, except that we do not need linearity to be explicit by virtue of hmoplin 31875. (Contributed by NM, 24-Apr-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dfpjop	⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ ↔ (𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇))

Proof of Theorem dfpjop

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjmfn 31648	. . . 4 ⊢ projℎ Fn Cℋ
2		fvelrnb 6963	. . . 4 ⊢ (projℎ Fn Cℋ → (𝑇 ∈ ran projℎ ↔ ∃𝑥 ∈ Cℋ (projℎ‘𝑥) = 𝑇))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ ↔ ∃𝑥 ∈ Cℋ (projℎ‘𝑥) = 𝑇)
4		pjhmop 32083	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → (projℎ‘𝑥) ∈ HrmOp)
5		pjidmco 32114	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((projℎ‘𝑥) ∘ (projℎ‘𝑥)) = (projℎ‘𝑥))
6	4, 5	jca 510	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((projℎ‘𝑥) ∈ HrmOp ∧ ((projℎ‘𝑥) ∘ (projℎ‘𝑥)) = (projℎ‘𝑥)))
7		eleq1 2814	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝑥) = 𝑇 → ((projℎ‘𝑥) ∈ HrmOp ↔ 𝑇 ∈ HrmOp))
8		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((projℎ‘𝑥) = 𝑇 → (projℎ‘𝑥) = 𝑇)
9	8, 8	coeq12d 5871	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘𝑥) = 𝑇 → ((projℎ‘𝑥) ∘ (projℎ‘𝑥)) = (𝑇 ∘ 𝑇))
10	9, 8	eqeq12d 2742	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝑥) = 𝑇 → (((projℎ‘𝑥) ∘ (projℎ‘𝑥)) = (projℎ‘𝑥) ↔ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇))
11	7, 10	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝑥) = 𝑇 → (((projℎ‘𝑥) ∈ HrmOp ∧ ((projℎ‘𝑥) ∘ (projℎ‘𝑥)) = (projℎ‘𝑥)) ↔ (𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇)))
12	6, 11	syl5ibcom 244	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → ((projℎ‘𝑥) = 𝑇 → (𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇)))
13	12	rexlimiv 3138	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ Cℋ (projℎ‘𝑥) = 𝑇 → (𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇))
14	3, 13	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ → (𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇))
15		hmopidmpj 32087	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇) → 𝑇 = (projℎ‘ran 𝑇))
16		hmopidmch 32086	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇) → ran 𝑇 ∈ Cℋ )
17		fnfvelrn 7094	. . . 4 ⊢ ((projℎ Fn Cℋ ∧ ran 𝑇 ∈ Cℋ ) → (projℎ‘ran 𝑇) ∈ ran projℎ)
18	1, 16, 17	sylancr 585	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇) → (projℎ‘ran 𝑇) ∈ ran projℎ)
19	15, 18	eqeltrd 2826	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇) → 𝑇 ∈ ran projℎ)
20	14, 19	impbii 208	1 ⊢ (𝑇 ∈ ran projℎ ↔ (𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3060  ran crn 5683   ∘ ccom 5686   Fn wfn 6549  ‘cfv 6554   C_ℋ cch 30862  proj_ℎcpjh 30870  HrmOpcho 30883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cc 10478  ax-dc 10489  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237  ax-mulf 11238  ax-hilex 30932  ax-hfvadd 30933  ax-hvcom 30934  ax-hvass 30935  ax-hv0cl 30936  ax-hvaddid 30937  ax-hfvmul 30938  ax-hvmulid 30939  ax-hvmulass 30940  ax-hvdistr1 30941  ax-hvdistr2 30942  ax-hvmul0 30943  ax-hfi 31012  ax-his1 31015  ax-his2 31016  ax-his3 31017  ax-his4 31018  ax-hcompl 31135

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-oadd 8500  df-omul 8501  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-card 9982  df-acn 9985  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-mulg 19062  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-fbas 21340  df-fg 21341  df-cnfld 21344  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cld 23014  df-ntr 23015  df-cls 23016  df-nei 23093  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-lm 23224  df-t1 23309  df-haus 23310  df-cmp 23382  df-tx 23557  df-hmeo 23750  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-fcls 23936  df-xms 24317  df-ms 24318  df-tms 24319  df-cncf 24889  df-cfil 25274  df-cau 25275  df-cmet 25276  df-grpo 30426  df-gid 30427  df-ginv 30428  df-gdiv 30429  df-ablo 30478  df-vc 30492  df-nv 30525  df-va 30528  df-ba 30529  df-sm 30530  df-0v 30531  df-vs 30532  df-nmcv 30533  df-ims 30534  df-dip 30634  df-ssp 30655  df-lno 30677  df-nmoo 30678  df-blo 30679  df-0o 30680  df-ph 30746  df-cbn 30796  df-hlo 30819  df-hnorm 30901  df-hba 30902  df-hvsub 30904  df-hlim 30905  df-hcau 30906  df-sh 31140  df-ch 31154  df-oc 31185  df-ch0 31186  df-shs 31241  df-pjh 31328  df-h0op 31681  df-iop 31682  df-nmop 31772  df-cnop 31773  df-lnop 31774  df-bdop 31775  df-unop 31776  df-hmop 31777

This theorem is referenced by:  pjhmopidm  32116  elpjidm  32117  elpjhmop  32118  elpjch  32122