Theorem lclkrlem2i 41044

Description: Lemma for lclkr 41062. Eliminate the (𝐿‘𝐸) ≠ (𝐿‘𝐺) hypothesis. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2f.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2f.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2f.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2f.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2f.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2f.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑆)
lclkrlem2f.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lclkrlem2f.a	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
lclkrlem2f.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2f.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2f.j	⊢ 𝐽 = (LSHyp‘𝑈)
lclkrlem2f.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2f.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2f.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2f.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrlem2f.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lclkrlem2f.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2f.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2f.le	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
lclkrlem2f.lg	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
lclkrlem2f.kb	⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 𝑄)
lclkrlem2f.nx	⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})))
lclkrlem2i.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lclkrlem2i.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2i	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrlem2f.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lclkrlem2f.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lclkrlem2f.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		lclkrlem2f.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		lclkrlem2f.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		lclkrlem2f.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7		lclkrlem2f.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8		lclkrlem2f.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
9		lclkrlem2f.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐷)
10		lclkrlem2f.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11	10	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘𝐸) = (𝐿‘𝐺)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		lclkrlem2i.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
13	12	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘𝐸) = (𝐿‘𝐺)) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14		lclkrlem2f.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
15	14	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘𝐸) = (𝐿‘𝐺)) → 𝐸 ∈ 𝐹)
16		lclkrlem2f.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
17	16	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘𝐸) = (𝐿‘𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
18		lclkrlem2f.le	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
19	18	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘𝐸) = (𝐿‘𝐺)) → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
20		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘𝐸) = (𝐿‘𝐺)) → (𝐿‘𝐸) = (𝐿‘𝐺))
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 20	lclkrlem2e 41040	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘𝐸) = (𝐿‘𝐺)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
22		lclkrlem2f.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
23		lclkrlem2f.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑆)
24		lclkrlem2f.a	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
25		lclkrlem2f.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
26		lclkrlem2f.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (LSHyp‘𝑈)
27	10	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘𝐸) ≠ (𝐿‘𝐺)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
28		lclkrlem2f.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
29	28	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘𝐸) ≠ (𝐿‘𝐺)) → 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
30	14	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘𝐸) ≠ (𝐿‘𝐺)) → 𝐸 ∈ 𝐹)
31	16	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘𝐸) ≠ (𝐿‘𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
32	18	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘𝐸) ≠ (𝐿‘𝐺)) → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
33		lclkrlem2f.lg	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
34	33	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘𝐸) ≠ (𝐿‘𝐺)) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
35		lclkrlem2f.kb	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 𝑄)
36	35	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘𝐸) ≠ (𝐿‘𝐺)) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 𝑄)
37		lclkrlem2f.nx	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})))
38	37	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘𝐸) ≠ (𝐿‘𝐺)) → (¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})))
39	12	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘𝐸) ≠ (𝐿‘𝐺)) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
40		lclkrlem2i.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
41	40	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘𝐸) ≠ (𝐿‘𝐺)) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
42		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘𝐸) ≠ (𝐿‘𝐺)) → (𝐿‘𝐸) ≠ (𝐿‘𝐺))
43	1, 2, 3, 4, 22, 23, 5, 24, 25, 6, 26, 7, 8, 9, 27, 29, 30, 31, 32, 34, 36, 38, 39, 41, 42	lclkrlem2h 41043	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘𝐸) ≠ (𝐿‘𝐺)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
44	21, 43	pm2.61dane 3019	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930   ∖ cdif 3936  {csn 4624  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +_gcplusg 17232  Scalarcsca 17235  0_gc0g 17420  LSSumclsm 19593  LSpanclspn 20859  LSHypclsh 38503  LFnlclfn 38585  LKerclk 38613  LDualcld 38651  HLchlt 38878  LHypclh 39513  DVecHcdvh 40607  ocHcoch 40876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-riotaBAD 38481

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-undef 8277  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-0g 17422  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-cntz 19272  df-oppg 19301  df-lsm 19595  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-dvr 20344  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-lvec 20992  df-lsatoms 38504  df-lshyp 38505  df-lcv 38547  df-lfl 38586  df-lkr 38614  df-ldual 38652  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-lplanes 39028  df-lvols 39029  df-lines 39030  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325  df-lhyp 39517  df-laut 39518  df-ldil 39633  df-ltrn 39634  df-trl 39688  df-tgrp 40272  df-tendo 40284  df-edring 40286  df-dveca 40532  df-disoa 40558  df-dvech 40608  df-dib 40668  df-dic 40702  df-dih 40758  df-doch 40877  df-djh 40924

This theorem is referenced by:  lclkrlem2l  41047