Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2t Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lclkrlem2t 38698
 Description: Lemma for lclkr 38705. We eliminate all hypotheses with 𝐵 here. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2m.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t · = ( ·𝑠𝑈)
lclkrlem2m.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q × = (.r𝑆)
lclkrlem2m.z 0 = (0g𝑆)
lclkrlem2m.i 𝐼 = (invr𝑆)
lclkrlem2m.m = (-g𝑈)
lclkrlem2m.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p + = (+g𝐷)
lclkrlem2m.x (𝜑𝑋𝑉)
lclkrlem2m.y (𝜑𝑌𝑉)
lclkrlem2m.e (𝜑𝐸𝐹)
lclkrlem2m.g (𝜑𝐺𝐹)
lclkrlem2n.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2n.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2o.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2o.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.a = (LSSum‘𝑈)
lclkrlem2o.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lclkrlem2q.le (𝜑 → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
lclkrlem2q.lg (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
lclkrlem2t.n (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2t (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2t
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2m.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
2 lclkrlem2m.t . . 3 · = ( ·𝑠𝑈)
3 lclkrlem2m.s . . 3 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
4 lclkrlem2m.q . . 3 × = (.r𝑆)
5 lclkrlem2m.z . . 3 0 = (0g𝑆)
6 lclkrlem2m.i . . 3 𝐼 = (invr𝑆)
7 lclkrlem2m.m . . 3 = (-g𝑈)
8 lclkrlem2m.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
9 lclkrlem2m.d . . 3 𝐷 = (LDual‘𝑈)
10 lclkrlem2m.p . . 3 + = (+g𝐷)
11 lclkrlem2m.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
1211adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g𝑈)) → 𝑋𝑉)
13 lclkrlem2m.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
1413adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g𝑈)) → 𝑌𝑉)
15 lclkrlem2m.e . . . 4 (𝜑𝐸𝐹)
1615adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g𝑈)) → 𝐸𝐹)
17 lclkrlem2m.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
1817adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g𝑈)) → 𝐺𝐹)
19 lclkrlem2n.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
20 lclkrlem2n.l . . 3 𝐿 = (LKer‘𝑈)
21 lclkrlem2o.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
22 lclkrlem2o.o . . 3 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
23 lclkrlem2o.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
24 lclkrlem2o.a . . 3 = (LSSum‘𝑈)
25 lclkrlem2o.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2625adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
27 lclkrlem2q.le . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
2827adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g𝑈)) → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
29 lclkrlem2q.lg . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
3029adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g𝑈)) → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
31 eqid 2820 . . 3 (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
32 lclkrlem2t.n . . . 4 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
3332adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g𝑈)) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
34 simpr 487 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g𝑈)) → (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g𝑈))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 33, 34lclkrlem2s 38697 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g𝑈)) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
3611adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g𝑈)) → 𝑋𝑉)
3713adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g𝑈)) → 𝑌𝑉)
3815adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g𝑈)) → 𝐸𝐹)
3917adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g𝑈)) → 𝐺𝐹)
4025adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4127adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g𝑈)) → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
4229adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g𝑈)) → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
4332adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g𝑈)) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
44 simpr 487 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g𝑈)) → (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g𝑈))
451, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 36, 37, 38, 39, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 40, 41, 42, 31, 43, 44lclkrlem2q 38695 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g𝑈)) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
4635, 45pm2.61dane 3093 1 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3006  {csn 4543  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133  Basecbs 16462  +gcplusg 16544  .rcmulr 16545  Scalarcsca 16547   ·𝑠 cvsca 16548  0gc0g 16692  -gcsg 18084  LSSumclsm 18738  invrcinvr 19400  LSpanclspn 19719  LFnlclfn 36229  LKerclk 36257  LDualcld 36295  HLchlt 36522  LHypclh 37156  DVecHcdvh 38250  ocHcoch 38519 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-riotaBAD 36125 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-iin 4898  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-tpos 7870  df-undef 7917  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-fz 12877  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-0g 16694  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-proset 17517  df-poset 17535  df-plt 17547  df-lub 17563  df-glb 17564  df-join 17565  df-meet 17566  df-p0 17628  df-p1 17629  df-lat 17635  df-clat 17697  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-subg 18255  df-cntz 18426  df-oppg 18453  df-lsm 18740  df-cmn 18887  df-abl 18888  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371  df-invr 19401  df-dvr 19412  df-drng 19480  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-lsp 19720  df-lvec 19851  df-lsatoms 36148  df-lshyp 36149  df-lcv 36191  df-lfl 36230  df-lkr 36258  df-ldual 36296  df-oposet 36348  df-ol 36350  df-oml 36351  df-covers 36438  df-ats 36439  df-atl 36470  df-cvlat 36494  df-hlat 36523  df-llines 36670  df-lplanes 36671  df-lvols 36672  df-lines 36673  df-psubsp 36675  df-pmap 36676  df-padd 36968  df-lhyp 37160  df-laut 37161  df-ldil 37276  df-ltrn 37277  df-trl 37331  df-tgrp 37915  df-tendo 37927  df-edring 37929  df-dveca 38175  df-disoa 38201  df-dvech 38251  df-dib 38311  df-dic 38345  df-dih 38401  df-doch 38520  df-djh 38567 This theorem is referenced by:  lclkrlem2u  38699  lclkrlem2x  38702
 Copyright terms: Public domain W3C validator