Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2t Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lclkrlem2t 42278
Description: Lemma for lclkr 42285. We eliminate all hypotheses with 𝐵 here. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2m.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lclkrlem2m.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q × = (.r‘𝑆)
lclkrlem2m.z 0 = (0g‘𝑆)
lclkrlem2m.i 𝐼 = (invr‘𝑆)
lclkrlem2m.m − = (-g‘𝑈)
lclkrlem2m.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2m.x (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.y (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.e (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.g (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2n.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2n.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2o.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2o.o ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.a ⊕ = (LSSum‘𝑈)
lclkrlem2o.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrlem2q.le (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
lclkrlem2q.lg (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
lclkrlem2t.n (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2t (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
Proof of Theorem lclkrlem2t
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2m.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
2 lclkrlem2m.t . . 3 · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
3 lclkrlem2m.s . . 3 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
4 lclkrlem2m.q . . 3 × = (.r‘𝑆)
5 lclkrlem2m.z . . 3 0 = (0g‘𝑆)
6 lclkrlem2m.i . . 3 𝐼 = (invr‘𝑆)
7 lclkrlem2m.m . . 3 − = (-g‘𝑈)
8 lclkrlem2m.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
9 lclkrlem2m.d . . 3 𝐷 = (LDual‘𝑈)
10 lclkrlem2m.p . . 3 + = (+g‘𝐷)
11 lclkrlem2m.x . . . 4 (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
1211adantr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g‘𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
13 lclkrlem2m.y . . . 4 (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
1413adantr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g‘𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
15 lclkrlem2m.e . . . 4 (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
1615adantr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g‘𝑈)) → 𝐸 ∈ 𝐹)
17 lclkrlem2m.g . . . 4 (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
1817adantr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g‘𝑈)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
19 lclkrlem2n.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
20 lclkrlem2n.l . . 3 𝐿 = (LKer‘𝑈)
21 lclkrlem2o.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
22 lclkrlem2o.o . . 3 ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
23 lclkrlem2o.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
24 lclkrlem2o.a . . 3 ⊕ = (LSSum‘𝑈)
25 lclkrlem2o.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2625adantr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
27 lclkrlem2q.le . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
2827adantr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g‘𝑈)) → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
29 lclkrlem2q.lg . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
3029adantr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g‘𝑈)) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
31 eqid 2763 . . 3 (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
32 lclkrlem2t.n . . . 4 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
3332adantr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g‘𝑈)) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
34 simpr 489 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g‘𝑈)) → (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g‘𝑈))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 33, 34lclkrlem2s 42277 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
3611adantr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
3713adantr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
3815adantr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g‘𝑈)) → 𝐸 ∈ 𝐹)
3917adantr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g‘𝑈)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
4025adantr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4127adantr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
4229adantr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
4332adantr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
44 simpr 489 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g‘𝑈))
451, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 36, 37, 38, 39, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 40, 41, 42, 31, 43, 44lclkrlem2q 42275 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
4635, 45pm2.61dane 3045 1 (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  {csn 4590  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  +gcplusg 17311  .rcmulr 17312  Scalarcsca 17314   ·𝑠 cvsca 17315  0gc0g 17493  -gcsg 19003  LSSumclsm 19705  invrcinvr 20470  LSpanclspn 21073  LFnlclfn 39809  LKerclk 39837  LDualcld 39875  HLchlt 40102  LHypclh 40736  DVecHcdvh 41830  ocHcoch 42099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-riotaBAD 39705
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-undef 8270  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-0g 17495  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18385  df-lub 18401  df-glb 18402  df-join 18403  df-meet 18404  df-p0 18480  df-p1 18481  df-lat 18489  df-clat 18556  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-subg 19190  df-cntz 19388  df-oppg 19417  df-lsm 19707  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-invr 20471  df-dvr 20484  df-drng 20816  df-lmod 20964  df-lss 21034  df-lsp 21074  df-lvec 21205  df-lsatoms 39728  df-lshyp 39729  df-lcv 39771  df-lfl 39810  df-lkr 39838  df-ldual 39876  df-oposet 39928  df-ol 39930  df-oml 39931  df-covers 40018  df-ats 40019  df-atl 40050  df-cvlat 40074  df-hlat 40103  df-llines 40250  df-lplanes 40251  df-lvols 40252  df-lines 40253  df-psubsp 40255  df-pmap 40256  df-padd 40548  df-lhyp 40740  df-laut 40741  df-ldil 40856  df-ltrn 40857  df-trl 40911  df-tgrp 41495  df-tendo 41507  df-edring 41509  df-dveca 41755  df-disoa 41781  df-dvech 41831  df-dib 41891  df-dic 41925  df-dih 41981  df-doch 42100  df-djh 42147
This theorem is referenced by:  lclkrlem2u  42279  lclkrlem2x  42282
  Copyright terms: Public domain W3C validator