Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2t Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lclkrlem2t 42341
Description: Lemma for lclkr 42348. We eliminate all hypotheses with 𝐵 here. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2m.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lclkrlem2m.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q × = (.r‘𝑆)
lclkrlem2m.z 0 = (0g‘𝑆)
lclkrlem2m.i 𝐼 = (invr‘𝑆)
lclkrlem2m.m − = (-g‘𝑈)
lclkrlem2m.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2m.x (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.y (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.e (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.g (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2n.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2n.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2o.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2o.o ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.a ⊕ = (LSSum‘𝑈)
lclkrlem2o.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrlem2q.le (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
lclkrlem2q.lg (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
lclkrlem2t.n (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2t (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
Proof of Theorem lclkrlem2t
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2m.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
2 lclkrlem2m.t . . 3 · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
3 lclkrlem2m.s . . 3 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
4 lclkrlem2m.q . . 3 × = (.r‘𝑆)
5 lclkrlem2m.z . . 3 0 = (0g‘𝑆)
6 lclkrlem2m.i . . 3 𝐼 = (invr‘𝑆)
7 lclkrlem2m.m . . 3 − = (-g‘𝑈)
8 lclkrlem2m.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
9 lclkrlem2m.d . . 3 𝐷 = (LDual‘𝑈)
10 lclkrlem2m.p . . 3 + = (+g‘𝐷)
11 lclkrlem2m.x . . . 4 (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
1211adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g‘𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
13 lclkrlem2m.y . . . 4 (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
1413adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g‘𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
15 lclkrlem2m.e . . . 4 (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
1615adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g‘𝑈)) → 𝐸 ∈ 𝐹)
17 lclkrlem2m.g . . . 4 (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
1817adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g‘𝑈)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
19 lclkrlem2n.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
20 lclkrlem2n.l . . 3 𝐿 = (LKer‘𝑈)
21 lclkrlem2o.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
22 lclkrlem2o.o . . 3 ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
23 lclkrlem2o.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
24 lclkrlem2o.a . . 3 ⊕ = (LSSum‘𝑈)
25 lclkrlem2o.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2625adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
27 lclkrlem2q.le . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
2827adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g‘𝑈)) → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
29 lclkrlem2q.lg . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
3029adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g‘𝑈)) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
31 eqid 2766 . . 3 (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
32 lclkrlem2t.n . . . 4 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
3332adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g‘𝑈)) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
34 simpr 490 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g‘𝑈)) → (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g‘𝑈))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 33, 34lclkrlem2s 42340 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
3611adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
3713adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
3815adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g‘𝑈)) → 𝐸 ∈ 𝐹)
3917adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g‘𝑈)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
4025adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4127adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
4229adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
4332adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g‘𝑈)) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
44 simpr 490 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g‘𝑈))
451, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 36, 37, 38, 39, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 40, 41, 42, 31, 43, 44lclkrlem2q 42338 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) ≠ (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
4635, 45pm2.61dane 3048 1 (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
Colors of variables:    wff setvar class
This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  {csn 4594  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  +gcplusg 17335  .rcmulr 17336  Scalarcsca 17338   ·𝑠 cvsca 17339  0gc0g 17517  -gcsg 19033  LSSumclsm 19735  invrcinvr 20502  LSpanclspn 21129  LFnlclfn 39872  LKerclk 39900  LDualcld 39938  HLchlt 40165  LHypclh 40799  DVecHcdvh 41893  ocHcoch 42162
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-riotaBAD 39768
This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-undef 8278  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-0g 17519  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-proset 18375  df-poset 18394  df-plt 18409  df-lub 18425  df-glb 18426  df-join 18427  df-meet 18428  df-p0 18504  df-p1 18505  df-lat 18513  df-clat 18580  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-subg 19220  df-cntz 19418  df-oppg 19447  df-lsm 19737  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-oppr 20452  df-dvdsr 20472  df-unit 20473  df-invr 20503  df-dvr 20516  df-drng 20866  df-lmod 21020  df-lss 21090  df-lsp 21130  df-lvec 21261  df-lsatoms 39791  df-lshyp 39792  df-lcv 39834  df-lfl 39873  df-lkr 39901  df-ldual 39939  df-oposet 39991  df-ol 39993  df-oml 39994  df-covers 40081  df-ats 40082  df-atl 40113  df-cvlat 40137  df-hlat 40166  df-llines 40313  df-lplanes 40314  df-lvols 40315  df-lines 40316  df-psubsp 40318  df-pmap 40319  df-padd 40611  df-lhyp 40803  df-laut 40804  df-ldil 40919  df-ltrn 40920  df-trl 40974  df-tgrp 41558  df-tendo 41570  df-edring 41572  df-dveca 41818  df-disoa 41844  df-dvech 41894  df-dib 41954  df-dic 41988  df-dih 42044  df-doch 42163  df-djh 42210
This theorem is used by:  lclkrlem2u  42342  lclkrlem2x  42345
  Copyright terms: Public domain W3C validator