Theorem mapddlssN 42476

Description: The mapping of a subspace of vector space H to the dual space is a subspace of the dual space. TODO: Make this obsolete, use mapdcl2 42492 instead. (Contributed by NM, 31-Jan-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapddlss.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapddlss.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapddlss.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapddlss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapddlss.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
mapddlss.t	⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
mapddlss.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapddlss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mapddlssN	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑅) ∈ 𝑇)

Proof of Theorem mapddlssN

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapddlss.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapddlss.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapddlss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
4		eqid 2765	. . 3 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
5		eqid 2765	. . 3 ⊢ (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
6		eqid 2765	. . 3 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7		mapddlss.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
8		mapddlss.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		mapddlss.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mapdval 42464	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑅) = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ((((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓) ∧ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓)) ⊆ 𝑅)})
11		mapddlss.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
12		mapddlss.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
13		eqid 2765	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ((((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓) ∧ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓)) ⊆ 𝑅)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ((((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓) ∧ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓)) ⊆ 𝑅)}
14	1, 6, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 13, 8, 9	lclkrs 42375	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ((((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓) ∧ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓)) ⊆ 𝑅)} ∈ 𝑇)
15	10, 14	eqeltrd 2865	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑅) ∈ 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3418   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6540  LSubSpclss 21106  LFnlclfn 39893  LKerclk 39921  LDualcld 39959  HLchlt 40186  LHypclh 40820  DVecHcdvh 41914  ocHcoch 42183  mapdcmpd 42460

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-riotaBAD 39789

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-undef 8275  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-fz 13556  df-struct 17233  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-ress 17317  df-plusg 17349  df-mulr 17350  df-sca 17352  df-vsca 17353  df-0g 17520  df-mre 17664  df-mrc 17665  df-acs 17667  df-proset 18376  df-poset 18395  df-plt 18410  df-lub 18426  df-glb 18427  df-join 18428  df-meet 18429  df-p0 18505  df-p1 18506  df-lat 18514  df-clat 18581  df-mgm 18724  df-sgrp 18813  df-mnd 18829  df-submnd 18883  df-grp 19051  df-minusg 19052  df-sbg 19053  df-subg 19237  df-cntz 19435  df-oppg 19464  df-lsm 19754  df-cmn 19900  df-abl 19901  df-mgp 20265  df-rng 20279  df-ur 20312  df-ring 20365  df-oppr 20469  df-dvdsr 20489  df-unit 20490  df-invr 20520  df-dvr 20533  df-nzr 20664  df-rlreg 20847  df-domn 20848  df-drng 20883  df-lmod 21037  df-lss 21107  df-lsp 21147  df-lvec 21278  df-lsatoms 39812  df-lshyp 39813  df-lcv 39855  df-lfl 39894  df-lkr 39922  df-ldual 39960  df-oposet 40012  df-ol 40014  df-oml 40015  df-covers 40102  df-ats 40103  df-atl 40134  df-cvlat 40158  df-hlat 40187  df-llines 40334  df-lplanes 40335  df-lvols 40336  df-lines 40337  df-psubsp 40339  df-pmap 40340  df-padd 40632  df-lhyp 40824  df-laut 40825  df-ldil 40940  df-ltrn 40941  df-trl 40995  df-tgrp 41579  df-tendo 41591  df-edring 41593  df-dveca 41839  df-disoa 41865  df-dvech 41915  df-dib 41975  df-dic 42009  df-dih 42065  df-doch 42184  df-djh 42231  df-mapd 42461

This theorem is used by: (None)