Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem29 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem29 37863
Description: Lemma for mapdpg 37869. Baer p. 45 line 16: "But Gx' and Gy'' are distinct points and so x' and y'' are independent elements in B. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpg.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpg.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpg.s = (-g𝑈)
mapdpg.z 0 = (0g𝑈)
mapdpg.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpg.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpg.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpg.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpg.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpg.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpg.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpg.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpgem25.h1 (𝜑 → (𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)}))))
mapdpgem25.i1 (𝜑 → (𝑖𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
mapdpglem26.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem26.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem26.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem26.o 𝑂 = (0g𝐴)
mapdpglem28.ve (𝜑𝑣𝐵)
mapdpglem28.u1 (𝜑 = (𝑢 · 𝑖))
mapdpglem28.u2 (𝜑 → (𝐺𝑅) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)))
Assertion
Ref Expression
mapdpglem29 (𝜑 → (𝐽‘{𝐺}) ≠ (𝐽‘{𝑖}))
Distinct variable groups:   ,𝑖,𝑢,𝑣   𝑢,𝐵,𝑣   𝑢,𝐶,𝑣   𝑢,𝑂,𝑣   𝑢, · ,𝑣   𝑣,𝐺   𝑣,𝑅
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝐴(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝐵(,𝑖)   𝐶(,𝑖)   𝑅(𝑢,,𝑖)   · (,𝑖)   𝑈(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝐹(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝐺(𝑢,,𝑖)   𝐻(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝐽(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝐾(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝑀(𝑣,𝑢,,𝑖)   (𝑣,𝑢,,𝑖)   𝑁(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝑂(,𝑖)   𝑉(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝑊(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝑋(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝑌(𝑣,𝑢,,𝑖)   0 (𝑣,𝑢,,𝑖)

Proof of Theorem mapdpglem29
StepHypRef Expression
1 mapdpg.ne . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2 mapdpg.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 mapdpg.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2778 . . . . 5 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5 mapdpg.m . . . . 5 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
6 mapdpg.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
72, 3, 6dvhlmod 37273 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
8 mapdpg.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
98eldifad 3804 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
10 mapdpg.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑈)
11 mapdpg.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
1210, 4, 11lspsncl 19383 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
137, 9, 12syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
14 mapdpg.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1514eldifad 3804 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
1610, 4, 11lspsncl 19383 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
177, 15, 16syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
182, 3, 4, 5, 6, 13, 17mapd11 37802 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
1918necon3bid 3013 . . 3 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ≠ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
201, 19mpbird 249 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ≠ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
21 mapdpg.e . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
22 mapdpgem25.i1 . . . 4 (𝜑 → (𝑖𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
2322simprd 491 . . 3 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))
2423simpld 490 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}))
2520, 21, 243netr3d 3045 1 (𝜑 → (𝐽‘{𝐺}) ≠ (𝐽‘{𝑖}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  cdif 3789  {csn 4398  cfv 6137  (class class class)co 6924  Basecbs 16266  Scalarcsca 16352   ·𝑠 cvsca 16353  0gc0g 16497  -gcsg 17822  LModclmod 19266  LSubSpclss 19335  LSpanclspn 19377  HLchlt 35513  LHypclh 36147  DVecHcdvh 37241  LCDualclcd 37749  mapdcmpd 37787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-riotaBAD 35116
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-tpos 7636  df-undef 7683  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-0g 16499  df-proset 17325  df-poset 17343  df-plt 17355  df-lub 17371  df-glb 17372  df-join 17373  df-meet 17374  df-p0 17436  df-p1 17437  df-lat 17443  df-clat 17505  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-submnd 17733  df-grp 17823  df-minusg 17824  df-sbg 17825  df-subg 17986  df-cntz 18144  df-lsm 18446  df-cmn 18592  df-abl 18593  df-mgp 18888  df-ur 18900  df-ring 18947  df-oppr 19021  df-dvdsr 19039  df-unit 19040  df-invr 19070  df-dvr 19081  df-drng 19152  df-lmod 19268  df-lss 19336  df-lsp 19378  df-lvec 19509  df-lsatoms 35139  df-lshyp 35140  df-lfl 35221  df-lkr 35249  df-oposet 35339  df-ol 35341  df-oml 35342  df-covers 35429  df-ats 35430  df-atl 35461  df-cvlat 35485  df-hlat 35514  df-llines 35661  df-lplanes 35662  df-lvols 35663  df-lines 35664  df-psubsp 35666  df-pmap 35667  df-padd 35959  df-lhyp 36151  df-laut 36152  df-ldil 36267  df-ltrn 36268  df-trl 36322  df-tgrp 36906  df-tendo 36918  df-edring 36920  df-dveca 37166  df-disoa 37192  df-dvech 37242  df-dib 37302  df-dic 37336  df-dih 37392  df-doch 37511  df-djh 37558  df-mapd 37788
This theorem is referenced by:  mapdpglem30  37865
  Copyright terms: Public domain W3C validator