Theorem mapdheq2biN 41828

Description: Lemmma for ~? mapdh . Part (2) in [Baer] p. 45. The bidirectional version of mapdheq2 41827 seems to require an additional hypothesis not mentioned in Baer. TODO fix ref. TODO: We probably don't need this; delete if never used. (Contributed by NM, 4-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdhc.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdhc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐷)
mapdh.ne3	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdh.my	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))

Assertion

Ref	Expression
mapdheq2biN	⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑋⟩) = 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,ℎ   ℎ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥, −   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   𝜑,ℎ   0 ,ℎ   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ   ℎ,𝐽   ℎ,𝑀   ℎ,𝑁   𝑅,ℎ   𝑈,ℎ   − ,ℎ   ℎ,𝐺,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,ℎ)   𝐼(𝑥,ℎ)   𝐾(𝑥,ℎ)   𝑉(𝑥,ℎ)   𝑊(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem mapdheq2biN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
2		mapdh.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
3		mapdh.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		mapdh.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
5		mapdh.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		mapdh.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7		mapdh.s	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑈)
8		mapdhc.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
9		mapdh.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10		mapdh.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
11		mapdh.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
12		mapdh.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
13		mapdh.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
14		mapdh.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15		mapdhc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
16		mapdh.mn	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
17		mapdhcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18		mapdhe2.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19		mapdhe2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐷)
20		mapdh.ne3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	mapdheq2 41827	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑋⟩) = 𝐹))
22		mapdh.my	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
23	20	necomd 2983	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 19, 22, 18, 17, 15, 23	mapdheq2 41827	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑋⟩) = 𝐹 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺))
25	21, 24	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑋⟩) = 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894  ifcif 4472  {csn 4573  ⟨cotp 4581   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6481  ℩crio 7302  (class class class)co 7346  1^st c1st 7919  2^nd c2nd 7920  Basecbs 17120  0_gc0g 17343  -_gcsg 18848  LSpanclspn 20904  HLchlt 39448  LHypclh 40082  DVecHcdvh 41176  LCDualclcd 41684  mapdcmpd 41722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-riotaBAD 39051

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-ot 4582  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-undef 8203  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-0g 17345  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-p1 18330  df-lat 18338  df-clat 18405  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-subg 19036  df-cntz 19229  df-oppg 19258  df-lsm 19548  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-invr 20306  df-dvr 20319  df-nzr 20428  df-rlreg 20609  df-domn 20610  df-drng 20646  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-lsp 20905  df-lvec 21037  df-lsatoms 39074  df-lshyp 39075  df-lcv 39117  df-lfl 39156  df-lkr 39184  df-ldual 39222  df-oposet 39274  df-ol 39276  df-oml 39277  df-covers 39364  df-ats 39365  df-atl 39396  df-cvlat 39420  df-hlat 39449  df-llines 39596  df-lplanes 39597  df-lvols 39598  df-lines 39599  df-psubsp 39601  df-pmap 39602  df-padd 39894  df-lhyp 40086  df-laut 40087  df-ldil 40202  df-ltrn 40203  df-trl 40257  df-tgrp 40841  df-tendo 40853  df-edring 40855  df-dveca 41101  df-disoa 41127  df-dvech 41177  df-dib 41237  df-dic 41271  df-dih 41327  df-doch 41446  df-djh 41493  df-lcdual 41685  df-mapd 41723

This theorem is referenced by: (None)