Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdheq2biN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdheq2biN 39786
Description: Lemmma for ~? mapdh . Part (2) in [Baer] p. 45. The bidirectional version of mapdheq2 39785 seems to require an additional hypothesis not mentioned in Baer. TODO fix ref. TODO: We probably don't need this; delete if never used. (Contributed by NM, 4-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
mapdh.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
mapdh.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdh.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdh.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
mapdhc.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
mapdh.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdh.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdh.r 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
mapdh.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdh.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdhc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh.mn (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
mapdhcl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdhe2.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdhe2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐷)
mapdh.ne3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
mapdh.my (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝐺}))
Assertion
Ref Expression
mapdheq2biN (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) = 𝐺 ↔ (πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, 𝐺, π‘‹βŸ©) = 𝐹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐷,β„Ž   β„Ž,𝐹,π‘₯   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑁   π‘₯, 0   π‘₯,𝑄   π‘₯,𝑅   π‘₯, βˆ’   β„Ž,𝑋,π‘₯   β„Ž,π‘Œ,π‘₯   πœ‘,β„Ž   0 ,β„Ž   𝐢,β„Ž   𝐷,β„Ž   β„Ž,𝐽   β„Ž,𝑀   β„Ž,𝑁   𝑅,β„Ž   π‘ˆ,β„Ž   βˆ’ ,β„Ž   β„Ž,𝐺,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝑄(β„Ž)   π‘ˆ(π‘₯)   𝐻(π‘₯,β„Ž)   𝐼(π‘₯,β„Ž)   𝐾(π‘₯,β„Ž)   𝑉(π‘₯,β„Ž)   π‘Š(π‘₯,β„Ž)

Proof of Theorem mapdheq2biN
StepHypRef Expression
1 mapdh.q . . 3 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
2 mapdh.i . . 3 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
3 mapdh.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 mapdh.m . . 3 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 mapdh.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 mapdh.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
7 mapdh.s . . 3 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
8 mapdhc.o . . 3 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
9 mapdh.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
10 mapdh.c . . 3 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 mapdh.d . . 3 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
12 mapdh.r . . 3 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
13 mapdh.j . . 3 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
14 mapdh.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
15 mapdhc.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
16 mapdh.mn . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
17 mapdhcl.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
18 mapdhe2.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
19 mapdhe2.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐷)
20 mapdh.ne3 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20mapdheq2 39785 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) = 𝐺 β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, 𝐺, π‘‹βŸ©) = 𝐹))
22 mapdh.my . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝐺}))
2320necomd 2997 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 19, 22, 18, 17, 15, 23mapdheq2 39785 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, 𝐺, π‘‹βŸ©) = 𝐹 β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) = 𝐺))
2521, 24impbid 211 1 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) = 𝐺 ↔ (πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, 𝐺, π‘‹βŸ©) = 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2941  Vcvv 3437   βˆ– cdif 3889  ifcif 4465  {csn 4565  βŸ¨cotp 4573   ↦ cmpt 5164  β€˜cfv 6458  β„©crio 7263  (class class class)co 7307  1st c1st 7861  2nd c2nd 7862  Basecbs 16957  0gc0g 17195  -gcsg 18624  LSpanclspn 20278  HLchlt 37406  LHypclh 38040  DVecHcdvh 39134  LCDualclcd 39642  mapdcmpd 39680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-riotaBAD 37009
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-ot 4574  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-of 7565  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-tpos 8073  df-undef 8120  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-map 8648  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-fz 13286  df-struct 16893  df-sets 16910  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-ress 16987  df-plusg 17020  df-mulr 17021  df-sca 17023  df-vsca 17024  df-0g 17197  df-mre 17340  df-mrc 17341  df-acs 17343  df-proset 18058  df-poset 18076  df-plt 18093  df-lub 18109  df-glb 18110  df-join 18111  df-meet 18112  df-p0 18188  df-p1 18189  df-lat 18195  df-clat 18262  df-mgm 18371  df-sgrp 18420  df-mnd 18431  df-submnd 18476  df-grp 18625  df-minusg 18626  df-sbg 18627  df-subg 18797  df-cntz 18968  df-oppg 18995  df-lsm 19286  df-cmn 19433  df-abl 19434  df-mgp 19766  df-ur 19783  df-ring 19830  df-oppr 19907  df-dvdsr 19928  df-unit 19929  df-invr 19959  df-dvr 19970  df-drng 20038  df-lmod 20170  df-lss 20239  df-lsp 20279  df-lvec 20410  df-lsatoms 37032  df-lshyp 37033  df-lcv 37075  df-lfl 37114  df-lkr 37142  df-ldual 37180  df-oposet 37232  df-ol 37234  df-oml 37235  df-covers 37322  df-ats 37323  df-atl 37354  df-cvlat 37378  df-hlat 37407  df-llines 37554  df-lplanes 37555  df-lvols 37556  df-lines 37557  df-psubsp 37559  df-pmap 37560  df-padd 37852  df-lhyp 38044  df-laut 38045  df-ldil 38160  df-ltrn 38161  df-trl 38215  df-tgrp 38799  df-tendo 38811  df-edring 38813  df-dveca 39059  df-disoa 39085  df-dvech 39135  df-dib 39195  df-dic 39229  df-dih 39285  df-doch 39404  df-djh 39451  df-lcdual 39643  df-mapd 39681
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator