Theorem rrxmetfi 25250

Description: Euclidean space is a metric space. Finite dimensional version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrxmetfi.1	⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))

Assertion

Ref	Expression
rrxmetfi	⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))

Proof of Theorem rrxmetfi

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2724	. . 3 ⊢ {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
2		rrxmetfi.1	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
3	1, 2	rrxmet 25246	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘{ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}))
4		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
5		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
6	4, 5	rrxbase 25226	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
7		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
8	7, 4, 5	rrxbasefi 25248	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (ℝ ↑m 𝐼))
9	6, 8	eqtr3d 2766	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = (ℝ ↑m 𝐼))
10	9	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Met‘{ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) = (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
11	3, 10	eleqtrd 2827	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3424   class class class wbr 5138  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401   ↑_m cmap 8815  Fincfn 8934   finSupp cfsupp 9356  ℝcr 11104  0cc0 11105  Basecbs 17140  distcds 17202  Metcmet 21209  ℝ^crrx 25221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184  ax-mulf 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-sup 9432  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-mhm 18700  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-subg 19035  df-ghm 19124  df-cntz 19218  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20025  df-rng 20043  df-ur 20072  df-ring 20125  df-cring 20126  df-oppr 20221  df-dvdsr 20244  df-unit 20245  df-invr 20275  df-dvr 20288  df-rhm 20359  df-subrng 20431  df-subrg 20456  df-drng 20574  df-field 20575  df-staf 20673  df-srng 20674  df-lmod 20693  df-lss 20764  df-sra 21006  df-rgmod 21007  df-met 21217  df-cnfld 21224  df-refld 21458  df-dsmm 21587  df-frlm 21602  df-nm 24401  df-tng 24403  df-tcph 25007  df-rrx 25223

This theorem is referenced by:  qndenserrnbllem  45461  qndenserrnbl  45462  qndenserrnopnlem  45464  rrndsmet  45469  hoiqssbllem2  45790  hoiqssbl  45792  opnvonmbllem2  45800  rrxsphere  47588