Theorem rrxmetfi 25788

Description: Euclidean space is a metric space. Finite dimensional version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrxmetfi.1	⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))

Assertion

Ref	Expression
rrxmetfi	⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))

Proof of Theorem rrxmetfi

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
2		rrxmetfi.1	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
3	1, 2	rrxmet 25784	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘{ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}))
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
6	4, 5	rrxbase 25764	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
7		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
8	7, 4, 5	rrxbasefi 25786	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (ℝ ↑m 𝐼))
9	6, 8	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → {ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = (ℝ ↑m 𝐼))
10	9	fveq2d 6920	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Met‘{ℎ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) = (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
11	3, 10	eleqtrd 2866	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ↑_m cmap 8885  Fincfn 9011   finSupp cfsupp 9391  ℝcr 11238  0cc0 11239  Basecbs 17431  distcds 17481  Metcmet 21715  ℝ^crrx 25759

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318  ax-mulf 11319

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-rp 13161  df-ico 13522  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699  df-sum 15898  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-prds 17668  df-pws 17670  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-ghm 19478  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-cring 20513  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-dvr 20682  df-rhm 20753  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-drng 21033  df-field 21034  df-staf 21147  df-srng 21148  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-sra 21499  df-rgmod 21500  df-met 21723  df-cnfld 21730  df-refld 21966  df-dsmm 22093  df-frlm 22108  df-nm 24956  df-tng 24958  df-tcph 25545  df-rrx 25761

This theorem is used by:  qndenserrnbllem  47577  qndenserrnbl  47578  qndenserrnopnlem  47580  rrndsmet  47585  hoiqssbllem2  47906  hoiqssbl  47908  opnvonmbllem2  47916  rrxsphere  50191