Theorem rrxtoponfi 43461

Description: The topology on n-dimensional Euclidean real spaces. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrxtopfi.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))

Assertion

Ref	Expression
rrxtoponfi	⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐽 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m 𝐼)))

Proof of Theorem rrxtoponfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxtopfi.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
2	1	rrxtopon 43458	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘(ℝ^‘𝐼))))
3		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
4		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
5		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
6	3, 4, 5	rrxbasefi 24279	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (ℝ ↑m 𝐼))
7	6	fveq2d 6710	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (TopOn‘(Base‘(ℝ^‘𝐼))) = (TopOn‘(ℝ ↑m 𝐼)))
8	2, 7	eleqtrd 2836	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐽 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202   ↑_m cmap 8497  Fincfn 8615  ℝcr 10711  Basecbs 16684  TopOpenctopn 16898  TopOnctopon 21779  ℝ^crrx 24252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-inf2 9245  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789  ax-pre-sup 10790  ax-addf 10791  ax-mulf 10792

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-int 4850  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-se 5499  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-isom 6378  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-of 7458  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-supp 7893  df-tpos 7957  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-1o 8191  df-er 8380  df-map 8499  df-ixp 8568  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-fin 8619  df-fsupp 8975  df-sup 9047  df-inf 9048  df-oi 9115  df-card 9538  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-div 11473  df-nn 11814  df-2 11876  df-3 11877  df-4 11878  df-5 11879  df-6 11880  df-7 11881  df-8 11882  df-9 11883  df-n0 12074  df-z 12160  df-dec 12277  df-uz 12422  df-q 12528  df-rp 12570  df-xneg 12687  df-xadd 12688  df-xmul 12689  df-ico 12924  df-fz 13079  df-fzo 13222  df-seq 13558  df-exp 13619  df-hash 13880  df-cj 14645  df-re 14646  df-im 14647  df-sqrt 14781  df-abs 14782  df-clim 15032  df-sum 15233  df-struct 16686  df-ndx 16687  df-slot 16688  df-base 16690  df-sets 16691  df-ress 16692  df-plusg 16780  df-mulr 16781  df-starv 16782  df-sca 16783  df-vsca 16784  df-ip 16785  df-tset 16786  df-ple 16787  df-ds 16789  df-unif 16790  df-hom 16791  df-cco 16792  df-rest 16899  df-topn 16900  df-0g 16918  df-gsum 16919  df-topgen 16920  df-prds 16924  df-pws 16926  df-mgm 18086  df-sgrp 18135  df-mnd 18146  df-mhm 18190  df-submnd 18191  df-grp 18340  df-minusg 18341  df-sbg 18342  df-subg 18512  df-ghm 18592  df-cntz 18683  df-cmn 19144  df-abl 19145  df-mgp 19477  df-ur 19489  df-ring 19536  df-cring 19537  df-oppr 19613  df-dvdsr 19631  df-unit 19632  df-invr 19662  df-dvr 19673  df-rnghom 19707  df-drng 19741  df-field 19742  df-subrg 19770  df-abv 19825  df-staf 19853  df-srng 19854  df-lmod 19873  df-lss 19941  df-lmhm 20031  df-lvec 20112  df-sra 20181  df-rgmod 20182  df-psmet 20327  df-xmet 20328  df-met 20329  df-bl 20330  df-mopn 20331  df-cnfld 20336  df-refld 20539  df-phl 20560  df-dsmm 20666  df-frlm 20681  df-top 21763  df-topon 21780  df-topsp 21802  df-bases 21815  df-xms 23190  df-ms 23191  df-nm 23452  df-ngp 23453  df-tng 23454  df-nrg 23455  df-nlm 23456  df-clm 23932  df-cph 24037  df-tcph 24038  df-rrx 24254

This theorem is referenced by:  rrxunitopnfi  43462  rrxtopn0  43463  opnvonmbllem2  43800