Theorem rrxtoponfi 44942

Description: The topology on n-dimensional Euclidean real spaces. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrxtopfi.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))

Assertion

Ref	Expression
rrxtoponfi	⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐽 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m 𝐼)))

Proof of Theorem rrxtoponfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxtopfi.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
2	1	rrxtopon 44939	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘(ℝ^‘𝐼))))
3		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
4		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
5		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
6	3, 4, 5	rrxbasefi 24909	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (ℝ ↑m 𝐼))
7	6	fveq2d 6892	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (TopOn‘(Base‘(ℝ^‘𝐼))) = (TopOn‘(ℝ ↑m 𝐼)))
8	2, 7	eleqtrd 2836	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐽 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404   ↑_m cmap 8816  Fincfn 8935  ℝcr 11105  Basecbs 17140  TopOpenctopn 17363  TopOnctopon 22394  ℝ^crrx 24882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-abl 19644  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-cring 20050  df-oppr 20139  df-dvdsr 20160  df-unit 20161  df-invr 20191  df-dvr 20204  df-rnghom 20240  df-drng 20306  df-field 20307  df-subrg 20349  df-abv 20413  df-staf 20441  df-srng 20442  df-lmod 20461  df-lss 20531  df-lmhm 20621  df-lvec 20702  df-sra 20773  df-rgmod 20774  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-cnfld 20930  df-refld 21142  df-phl 21163  df-dsmm 21271  df-frlm 21286  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-xms 23808  df-ms 23809  df-nm 24073  df-ngp 24074  df-tng 24075  df-nrg 24076  df-nlm 24077  df-clm 24561  df-cph 24667  df-tcph 24668  df-rrx 24884

This theorem is referenced by:  rrxunitopnfi  44943  rrxtopn0  44944  opnvonmbllem2  45284