Theorem rrxtoponfi 46251

Description: The topology on n-dimensional Euclidean real spaces. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrxtopfi.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))

Assertion

Ref	Expression
rrxtoponfi	⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐽 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m 𝐼)))

Proof of Theorem rrxtoponfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxtopfi.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
2	1	rrxtopon 46248	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘(ℝ^‘𝐼))))
3		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
4		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
5		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
6	3, 4, 5	rrxbasefi 25399	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (ℝ ↑m 𝐼))
7	6	fveq2d 6891	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (TopOn‘(Base‘(ℝ^‘𝐼))) = (TopOn‘(ℝ ↑m 𝐼)))
8	2, 7	eleqtrd 2835	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐽 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8849  Fincfn 8968  ℝcr 11137  Basecbs 17230  TopOpenctopn 17442  TopOnctopon 22883  ℝ^crrx 25372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-tp 4613  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8169  df-tpos 8234  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-er 8728  df-map 8851  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9385  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11904  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-4 12314  df-5 12315  df-6 12316  df-7 12317  df-8 12318  df-9 12319  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12862  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ico 13376  df-fz 13531  df-fzo 13678  df-seq 14026  df-exp 14086  df-hash 14353  df-cj 15121  df-re 15122  df-im 15123  df-sqrt 15257  df-abs 15258  df-clim 15507  df-sum 15706  df-struct 17167  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17257  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-hom 17301  df-cco 17302  df-rest 17443  df-topn 17444  df-0g 17462  df-gsum 17463  df-topgen 17464  df-prds 17468  df-pws 17470  df-mgm 18627  df-sgrp 18706  df-mnd 18722  df-mhm 18770  df-submnd 18771  df-grp 18928  df-minusg 18929  df-sbg 18930  df-subg 19115  df-ghm 19205  df-cntz 19309  df-cmn 19773  df-abl 19774  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-cring 20206  df-oppr 20307  df-dvdsr 20330  df-unit 20331  df-invr 20361  df-dvr 20374  df-rhm 20445  df-subrng 20519  df-subrg 20543  df-drng 20704  df-field 20705  df-abv 20783  df-staf 20813  df-srng 20814  df-lmod 20833  df-lss 20903  df-lmhm 20994  df-lvec 21075  df-sra 21145  df-rgmod 21146  df-psmet 21323  df-xmet 21324  df-met 21325  df-bl 21326  df-mopn 21327  df-cnfld 21332  df-refld 21590  df-phl 21611  df-dsmm 21719  df-frlm 21734  df-top 22867  df-topon 22884  df-topsp 22906  df-bases 22919  df-xms 24294  df-ms 24295  df-nm 24558  df-ngp 24559  df-tng 24560  df-nrg 24561  df-nlm 24562  df-clm 25051  df-cph 25157  df-tcph 25158  df-rrx 25374

This theorem is referenced by:  rrxunitopnfi  46252  rrxtopn0  46253  opnvonmbllem2  46593