Theorem frmx 41642

Description: The X sequence is a nonnegative integer. See rmxnn 41680 for a strengthening. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
frmx	⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0

Proof of Theorem frmx

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmxyelxp 41641	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 × ℤ) ↦ ((1st ‘𝑐) + ((√‘((𝑎↑2) − 1)) · (2nd ‘𝑐))))‘((𝑎 + (√‘((𝑎↑2) − 1)))↑𝑏)) ∈ (ℕ0 × ℤ))
2		xp1st 8006	. . . 4 ⊢ ((◡(𝑐 ∈ (ℕ0 × ℤ) ↦ ((1st ‘𝑐) + ((√‘((𝑎↑2) − 1)) · (2nd ‘𝑐))))‘((𝑎 + (√‘((𝑎↑2) − 1)))↑𝑏)) ∈ (ℕ0 × ℤ) → (1st ‘(◡(𝑐 ∈ (ℕ0 × ℤ) ↦ ((1st ‘𝑐) + ((√‘((𝑎↑2) − 1)) · (2nd ‘𝑐))))‘((𝑎 + (√‘((𝑎↑2) − 1)))↑𝑏))) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (1st ‘(◡(𝑐 ∈ (ℕ0 × ℤ) ↦ ((1st ‘𝑐) + ((√‘((𝑎↑2) − 1)) · (2nd ‘𝑐))))‘((𝑎 + (√‘((𝑎↑2) − 1)))↑𝑏))) ∈ ℕ0)
4	3	rgen2 3197	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)∀𝑏 ∈ ℤ (1st ‘(◡(𝑐 ∈ (ℕ0 × ℤ) ↦ ((1st ‘𝑐) + ((√‘((𝑎↑2) − 1)) · (2nd ‘𝑐))))‘((𝑎 + (√‘((𝑎↑2) − 1)))↑𝑏))) ∈ ℕ0
5		df-rmx 41630	. . 3 ⊢ Xrm = (𝑎 ∈ (ℤ≥‘2), 𝑏 ∈ ℤ ↦ (1st ‘(◡(𝑐 ∈ (ℕ0 × ℤ) ↦ ((1st ‘𝑐) + ((√‘((𝑎↑2) − 1)) · (2nd ‘𝑐))))‘((𝑎 + (√‘((𝑎↑2) − 1)))↑𝑏))))
6	5	fmpo 8053	. 2 ⊢ (∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘2)∀𝑏 ∈ ℤ (1st ‘(◡(𝑐 ∈ (ℕ0 × ℤ) ↦ ((1st ‘𝑐) + ((√‘((𝑎↑2) − 1)) · (2nd ‘𝑐))))‘((𝑎 + (√‘((𝑎↑2) − 1)))↑𝑏))) ∈ ℕ0 ↔ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0)
7	4, 6	mpbi 229	1 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   ↦ cmpt 5231   × cxp 5674  ^◡ccnv 5675  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  1^st c1st 7972  2^nd c2nd 7973  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114   − cmin 11443  2c2 12266  ℕ₀cn0 12471  ℤcz 12557  ℤ_≥cuz 12821  ↑cexp 14026  √csqrt 15179   X_rm crmx 41628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010  df-sin 16012  df-cos 16013  df-pi 16015  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-numer 16670  df-denom 16671  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383  df-log 26064  df-squarenn 41569  df-pell1qr 41570  df-pell14qr 41571  df-pell1234qr 41572  df-pellfund 41573  df-rmx 41630

This theorem is referenced by:  rmxycomplete  41646  rmxynorm  41647  rmxyneg  41649  rmxyadd  41650  rmxy1  41651  rmxy0  41652  rmyp1  41662  rmxm1  41663  rmym1  41664  rmxluc  41665  rmyluc  41666  rmxdbl  41668  rmydbl  41669  rmxypos  41676  ltrmynn0  41677  ltrmxnn0  41678  lermxnn0  41679  rmxnn  41680  jm2.24nn  41688  jm2.24  41692  jm2.18  41717  jm2.19lem1  41718  jm2.19lem2  41719  jm2.22  41724  jm2.23  41725  jm2.20nn  41726  jm2.25  41728  jm2.26a  41729  jm2.26lem3  41730  jm2.26  41731  jm2.27c  41736  rmxdiophlem  41744  jm3.1  41749  expdiophlem1  41750