Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitmf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sitmf 33972
Description: The integral metric as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitmf.0 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Mnd)
sitmf.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ∞MetSp)
sitmf.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
Assertion
Ref Expression
sitmf (πœ‘ β†’ (π‘Šsitm𝑀):(dom (π‘Šsitg𝑀) Γ— dom (π‘Šsitg𝑀))⟢(0[,]+∞))
Proof of Theorem sitmf
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . . 6 (distβ€˜π‘Š) = (distβ€˜π‘Š)
2 sitmf.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ∞MetSp)
32adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))) β†’ π‘Š ∈ ∞MetSp)
4 sitmf.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
54adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))) β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
6 simprl 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))) β†’ 𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
7 simprr 772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))) β†’ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
81, 3, 5, 6, 7sitmfval 33970 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))) β†’ (𝑓(π‘Šsitm𝑀)𝑔) = (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔)))
9 sitmf.0 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Mnd)
109adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))) β†’ π‘Š ∈ Mnd)
1110, 3, 5, 6, 7sitmcl 33971 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))) β†’ (𝑓(π‘Šsitm𝑀)𝑔) ∈ (0[,]+∞))
128, 11eqeltrrd 2830 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))) β†’ (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔)) ∈ (0[,]+∞))
1312ralrimivva 3197 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ dom (π‘Šsitg𝑀)βˆ€π‘” ∈ dom (π‘Šsitg𝑀)(((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔)) ∈ (0[,]+∞))
14 eqid 2728 . . . 4 (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔))) = (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔)))
1514fmpo 8072 . . 3 (βˆ€π‘“ ∈ dom (π‘Šsitg𝑀)βˆ€π‘” ∈ dom (π‘Šsitg𝑀)(((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔)) ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔))):(dom (π‘Šsitg𝑀) Γ— dom (π‘Šsitg𝑀))⟢(0[,]+∞))
1613, 15sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔))):(dom (π‘Šsitg𝑀) Γ— dom (π‘Šsitg𝑀))⟢(0[,]+∞))
171, 2, 4sitmval 33969 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Šsitm𝑀) = (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔))))
1817feq1d 6707 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘Šsitm𝑀):(dom (π‘Šsitg𝑀) Γ— dom (π‘Šsitg𝑀))⟢(0[,]+∞) ↔ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔))):(dom (π‘Šsitg𝑀) Γ— dom (π‘Šsitg𝑀))⟢(0[,]+∞)))
1916, 18mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (π‘Šsitm𝑀):(dom (π‘Šsitg𝑀) Γ— dom (π‘Šsitg𝑀))⟢(0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  βˆͺ cuni 4908   Γ— cxp 5676  dom cdm 5678  ran crn 5679  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422   ∘f cof 7683  0cc0 11138  +∞cpnf 11275  [,]cicc 13359   β†Ύs cress 17208  distcds 17241  β„*𝑠cxrs 17481  Mndcmnd 18693  βˆžMetSpcxms 24222  measurescmeas 33814  sitmcsitm 33948  sitgcsitg 33949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664  ax-ac2 10486  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218  ax-xrssca 32731  ax-xrsvsca 32732
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-tpos 8231  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-map 8846  df-pm 8847  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-acn 9965  df-ac 10139  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-pi 16048  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-numer 16706  df-denom 16707  df-gz 16898  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-ordt 17482  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-toset 18408  df-ps 18557  df-tsr 18558  df-plusf 18598  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-od 19482  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-rhm 20410  df-nzr 20451  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-drng 20625  df-field 20626  df-abv 20696  df-lmod 20744  df-scaf 20745  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-metu 21277  df-cnfld 21279  df-zring 21372  df-zrh 21428  df-zlm 21429  df-chr 21430  df-refld 21536  df-top 22795  df-topon 22812  df-topsp 22834  df-bases 22848  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-t1 23217  df-haus 23218  df-reg 23219  df-cmp 23290  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-fcls 23844  df-cnext 23963  df-tmd 23975  df-tgp 23976  df-tsms 24030  df-trg 24063  df-ust 24104  df-utop 24135  df-uss 24160  df-usp 24161  df-ucn 24180  df-cfilu 24191  df-cusp 24202  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227  df-nm 24490  df-ngp 24491  df-nrg 24493  df-nlm 24494  df-ii 24796  df-cncf 24797  df-cfil 25182  df-cmet 25184  df-cms 25262  df-limc 25794  df-dv 25795  df-log 26489  df-omnd 32779  df-ogrp 32780  df-orng 33012  df-ofld 33013  df-qqh 33574  df-rrh 33596  df-rrext 33600  df-esum 33647  df-siga 33728  df-sigagen 33758  df-meas 33815  df-mbfm 33869  df-sitg 33950  df-sitm 33951
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator