Theorem sitmf 34848

Description: The integral metric as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
sitmf.0	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)
sitmf.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
sitmf.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)

Assertion

Ref	Expression
sitmf	⊢ (𝜑 → (𝑊sitm𝑀):(dom (𝑊sitg𝑀) × dom (𝑊sitg𝑀))⟶(0[,]+∞))

Proof of Theorem sitmf

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (dist‘𝑊) = (dist‘𝑊)
2		sitmf.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
3	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))) → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
4		sitmf.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
5	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))) → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
6		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))) → 𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
7		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))) → 𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
8	1, 3, 5, 6, 7	sitmfval 34846	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))) → (𝑓(𝑊sitm𝑀)𝑔) = (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝑓 ∘f (dist‘𝑊)𝑔)))
9		sitmf.0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)
10	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))) → 𝑊 ∈ Mnd)
11	10, 3, 5, 6, 7	sitmcl 34847	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))) → (𝑓(𝑊sitm𝑀)𝑔) ∈ (0[,]+∞))
12	8, 11	eqeltrrd 2863	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))) → (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝑓 ∘f (dist‘𝑊)𝑔)) ∈ (0[,]+∞))
13	12	ralrimivva 3207	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀)∀𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀)(((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝑓 ∘f (dist‘𝑊)𝑔)) ∈ (0[,]+∞))
14		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝑓 ∘f (dist‘𝑊)𝑔))) = (𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝑓 ∘f (dist‘𝑊)𝑔)))
15	14	fmpo 8068	. . 3 ⊢ (∀𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀)∀𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀)(((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝑓 ∘f (dist‘𝑊)𝑔)) ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝑓 ∘f (dist‘𝑊)𝑔))):(dom (𝑊sitg𝑀) × dom (𝑊sitg𝑀))⟶(0[,]+∞))
16	13, 15	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝑓 ∘f (dist‘𝑊)𝑔))):(dom (𝑊sitg𝑀) × dom (𝑊sitg𝑀))⟶(0[,]+∞))
17	1, 2, 4	sitmval 34845	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊sitm𝑀) = (𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝑓 ∘f (dist‘𝑊)𝑔))))
18	17	feq1d 6688	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊sitm𝑀):(dom (𝑊sitg𝑀) × dom (𝑊sitg𝑀))⟶(0[,]+∞) ↔ (𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝑓 ∘f (dist‘𝑊)𝑔))):(dom (𝑊sitg𝑀) × dom (𝑊sitg𝑀))⟶(0[,]+∞)))
19	16, 18	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊sitm𝑀):(dom (𝑊sitg𝑀) × dom (𝑊sitg𝑀))⟶(0[,]+∞))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∪ cuni 4870   × cxp 5657  dom cdm 5659  ran crn 5660  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418   ∘_f cof 7679  0cc0 11125  +∞cpnf 11265  [,]cicc 13401   ↾_s cress 17324  distcds 17353  ℝ^*_𝑠cxrs 17588  Mndcmnd 18836  ∞MetSpcxms 24542  measurescmeas 34691  sitmcsitm 34824  sitgcsitg 34825

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203  ax-addf 11204  ax-mulf 11205  ax-xrssca 33429  ax-xrsvsca 33430

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-dju 9909  df-card 9947  df-acn 9950  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ioc 13403  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-fac 14338  df-bc 14367  df-hash 14395  df-shft 15140  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-limsup 15558  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-ef 16155  df-sin 16157  df-cos 16158  df-pi 16160  df-dvds 16345  df-gcd 16587  df-numer 16828  df-denom 16829  df-gz 17024  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-starv 17359  df-sca 17360  df-vsca 17361  df-ip 17362  df-tset 17363  df-ple 17364  df-ds 17366  df-unif 17367  df-hom 17368  df-cco 17369  df-rest 17509  df-topn 17510  df-0g 17528  df-gsum 17529  df-topgen 17530  df-pt 17531  df-prds 17534  df-ordt 17589  df-xrs 17590  df-qtop 17595  df-imas 17596  df-xps 17598  df-mre 17672  df-mrc 17673  df-acs 17675  df-proset 18384  df-poset 18403  df-plt 18418  df-toset 18505  df-ps 18656  df-tsr 18657  df-plusf 18731  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18890  df-submnd 18891  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-sbg 19061  df-mulg 19190  df-subg 19245  df-ghm 19340  df-cntz 19443  df-od 19654  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-omnd 20247  df-ogrp 20248  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-ring 20373  df-cring 20374  df-oppr 20477  df-dvdsr 20497  df-unit 20498  df-invr 20528  df-dvr 20541  df-rhm 20612  df-nzr 20672  df-subrng 20707  df-subrg 20731  df-drng 20891  df-field 20892  df-abv 20974  df-orng 21024  df-ofld 21025  df-lmod 21045  df-scaf 21046  df-sra 21356  df-rgmod 21357  df-psmet 21576  df-xmet 21577  df-met 21578  df-bl 21579  df-mopn 21580  df-fbas 21581  df-fg 21582  df-metu 21583  df-cnfld 21585  df-zring 21659  df-zrh 21715  df-zlm 21716  df-chr 21717  df-refld 21817  df-top 23118  df-topon 23135  df-topsp 23157  df-bases 23170  df-cld 23243  df-ntr 23244  df-cls 23245  df-nei 23322  df-lp 23360  df-perf 23361  df-cn 23451  df-cnp 23452  df-t1 23538  df-haus 23539  df-reg 23540  df-cmp 23611  df-tx 23787  df-hmeo 23980  df-fil 24071  df-fm 24163  df-flim 24164  df-flf 24165  df-fcls 24166  df-cnext 24285  df-tmd 24297  df-tgp 24298  df-tsms 24352  df-trg 24385  df-ust 24426  df-utop 24456  df-uss 24481  df-usp 24482  df-ucn 24500  df-cfilu 24511  df-cusp 24522  df-xms 24545  df-ms 24546  df-tms 24547  df-nm 24807  df-ngp 24808  df-nrg 24810  df-nlm 24811  df-ii 25104  df-cncf 25105  df-cfil 25482  df-cmet 25484  df-cms 25562  df-limc 26093  df-dv 26094  df-log 26789  df-qqh 34466  df-rrh 34490  df-rrext 34494  df-esum 34523  df-siga 34604  df-sigagen 34635  df-meas 34692  df-mbfm 34746  df-sitg 34826  df-sitm 34827

This theorem is used by: (None)