Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitmf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sitmf 33870
Description: The integral metric as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitmf.0 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Mnd)
sitmf.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ∞MetSp)
sitmf.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
Assertion
Ref Expression
sitmf (πœ‘ β†’ (π‘Šsitm𝑀):(dom (π‘Šsitg𝑀) Γ— dom (π‘Šsitg𝑀))⟢(0[,]+∞))
Proof of Theorem sitmf
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . . . . 6 (distβ€˜π‘Š) = (distβ€˜π‘Š)
2 sitmf.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ∞MetSp)
32adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))) β†’ π‘Š ∈ ∞MetSp)
4 sitmf.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
54adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))) β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
6 simprl 768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))) β†’ 𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
7 simprr 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))) β†’ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
81, 3, 5, 6, 7sitmfval 33868 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))) β†’ (𝑓(π‘Šsitm𝑀)𝑔) = (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔)))
9 sitmf.0 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Mnd)
109adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))) β†’ π‘Š ∈ Mnd)
1110, 3, 5, 6, 7sitmcl 33869 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))) β†’ (𝑓(π‘Šsitm𝑀)𝑔) ∈ (0[,]+∞))
128, 11eqeltrrd 2826 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))) β†’ (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔)) ∈ (0[,]+∞))
1312ralrimivva 3192 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ dom (π‘Šsitg𝑀)βˆ€π‘” ∈ dom (π‘Šsitg𝑀)(((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔)) ∈ (0[,]+∞))
14 eqid 2724 . . . 4 (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔))) = (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔)))
1514fmpo 8048 . . 3 (βˆ€π‘“ ∈ dom (π‘Šsitg𝑀)βˆ€π‘” ∈ dom (π‘Šsitg𝑀)(((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔)) ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔))):(dom (π‘Šsitg𝑀) Γ— dom (π‘Šsitg𝑀))⟢(0[,]+∞))
1613, 15sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔))):(dom (π‘Šsitg𝑀) Γ— dom (π‘Šsitg𝑀))⟢(0[,]+∞))
171, 2, 4sitmval 33867 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Šsitm𝑀) = (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔))))
1817feq1d 6693 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘Šsitm𝑀):(dom (π‘Šsitg𝑀) Γ— dom (π‘Šsitg𝑀))⟢(0[,]+∞) ↔ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔))):(dom (π‘Šsitg𝑀) Γ— dom (π‘Šsitg𝑀))⟢(0[,]+∞)))
1916, 18mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (π‘Šsitm𝑀):(dom (π‘Šsitg𝑀) Γ— dom (π‘Šsitg𝑀))⟢(0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  βˆͺ cuni 4900   Γ— cxp 5665  dom cdm 5667  ran crn 5668  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ∈ cmpo 7404   ∘f cof 7662  0cc0 11107  +∞cpnf 11244  [,]cicc 13328   β†Ύs cress 17178  distcds 17211  β„*𝑠cxrs 17451  Mndcmnd 18663  βˆžMetSpcxms 24167  measurescmeas 33712  sitmcsitm 33846  sitgcsitg 33847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-ac2 10455  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187  ax-xrssca 32666  ax-xrsvsca 32667
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-disj 5105  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-acn 9934  df-ac 10108  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ioo 13329  df-ioc 13330  df-ico 13331  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-mod 13836  df-seq 13968  df-exp 14029  df-fac 14235  df-bc 14264  df-hash 14292  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-dvds 16201  df-gcd 16439  df-numer 16676  df-denom 16677  df-gz 16868  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-ordt 17452  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-proset 18256  df-poset 18274  df-plt 18291  df-toset 18378  df-ps 18527  df-tsr 18528  df-plusf 18568  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18709  df-submnd 18710  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-mulg 18992  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19229  df-od 19444  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-rhm 20370  df-nzr 20411  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-drng 20585  df-field 20586  df-abv 20656  df-lmod 20704  df-scaf 20705  df-sra 21017  df-rgmod 21018  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-metu 21233  df-cnfld 21235  df-zring 21323  df-zrh 21379  df-zlm 21380  df-chr 21381  df-refld 21487  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-cld 22867  df-ntr 22868  df-cls 22869  df-nei 22946  df-lp 22984  df-perf 22985  df-cn 23075  df-cnp 23076  df-t1 23162  df-haus 23163  df-reg 23164  df-cmp 23235  df-tx 23410  df-hmeo 23603  df-fil 23694  df-fm 23786  df-flim 23787  df-flf 23788  df-fcls 23789  df-cnext 23908  df-tmd 23920  df-tgp 23921  df-tsms 23975  df-trg 24008  df-ust 24049  df-utop 24080  df-uss 24105  df-usp 24106  df-ucn 24125  df-cfilu 24136  df-cusp 24147  df-xms 24170  df-ms 24171  df-tms 24172  df-nm 24435  df-ngp 24436  df-nrg 24438  df-nlm 24439  df-ii 24741  df-cncf 24742  df-cfil 25127  df-cmet 25129  df-cms 25207  df-limc 25739  df-dv 25740  df-log 26430  df-omnd 32710  df-ogrp 32711  df-orng 32907  df-ofld 32908  df-qqh 33472  df-rrh 33494  df-rrext 33498  df-esum 33545  df-siga 33626  df-sigagen 33656  df-meas 33713  df-mbfm 33767  df-sitg 33848  df-sitm 33849
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator