Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sitmf 32992
Description: The integral metric as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitmf.0 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Mnd)
sitmf.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ∞MetSp)
sitmf.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
Assertion
Ref Expression
sitmf (πœ‘ β†’ (π‘Šsitm𝑀):(dom (π‘Šsitg𝑀) Γ— dom (π‘Šsitg𝑀))⟢(0[,]+∞))

Proof of Theorem sitmf
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . . 6 (distβ€˜π‘Š) = (distβ€˜π‘Š)
2 sitmf.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ∞MetSp)
32adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))) β†’ π‘Š ∈ ∞MetSp)
4 sitmf.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
54adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))) β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
6 simprl 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))) β†’ 𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
7 simprr 772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))) β†’ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
81, 3, 5, 6, 7sitmfval 32990 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))) β†’ (𝑓(π‘Šsitm𝑀)𝑔) = (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔)))
9 sitmf.0 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Mnd)
109adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))) β†’ π‘Š ∈ Mnd)
1110, 3, 5, 6, 7sitmcl 32991 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))) β†’ (𝑓(π‘Šsitm𝑀)𝑔) ∈ (0[,]+∞))
128, 11eqeltrrd 2839 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))) β†’ (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔)) ∈ (0[,]+∞))
1312ralrimivva 3198 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ dom (π‘Šsitg𝑀)βˆ€π‘” ∈ dom (π‘Šsitg𝑀)(((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔)) ∈ (0[,]+∞))
14 eqid 2737 . . . 4 (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔))) = (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔)))
1514fmpo 8005 . . 3 (βˆ€π‘“ ∈ dom (π‘Šsitg𝑀)βˆ€π‘” ∈ dom (π‘Šsitg𝑀)(((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔)) ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔))):(dom (π‘Šsitg𝑀) Γ— dom (π‘Šsitg𝑀))⟢(0[,]+∞))
1613, 15sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔))):(dom (π‘Šsitg𝑀) Γ— dom (π‘Šsitg𝑀))⟢(0[,]+∞))
171, 2, 4sitmval 32989 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Šsitm𝑀) = (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔))))
1817feq1d 6658 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘Šsitm𝑀):(dom (π‘Šsitg𝑀) Γ— dom (π‘Šsitg𝑀))⟢(0[,]+∞) ↔ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔))):(dom (π‘Šsitg𝑀) Γ— dom (π‘Šsitg𝑀))⟢(0[,]+∞)))
1916, 18mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (π‘Šsitm𝑀):(dom (π‘Šsitg𝑀) Γ— dom (π‘Šsitg𝑀))⟢(0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆͺ cuni 4870   Γ— cxp 5636  dom cdm 5638  ran crn 5639  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364   ∘f cof 7620  0cc0 11058  +∞cpnf 11193  [,]cicc 13274   β†Ύs cress 17119  distcds 17149  β„*𝑠cxrs 17389  Mndcmnd 18563  βˆžMetSpcxms 23686  measurescmeas 32834  sitmcsitm 32968  sitgcsitg 32969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-ac2 10406  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138  ax-xrssca 31906  ax-xrsvsca 31907
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-ac 10059  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-numer 16617  df-denom 16618  df-gz 16809  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-ordt 17390  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-toset 18313  df-ps 18462  df-tsr 18463  df-plusf 18503  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-od 19317  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-rnghom 20155  df-drng 20201  df-field 20202  df-subrg 20236  df-abv 20292  df-lmod 20340  df-scaf 20341  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-nzr 20744  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-metu 20811  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-zlm 20921  df-chr 20922  df-refld 21025  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-t1 22681  df-haus 22682  df-reg 22683  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-fcls 23308  df-cnext 23427  df-tmd 23439  df-tgp 23440  df-tsms 23494  df-trg 23527  df-ust 23568  df-utop 23599  df-uss 23624  df-usp 23625  df-ucn 23644  df-cfilu 23655  df-cusp 23666  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-nm 23954  df-ngp 23955  df-nrg 23957  df-nlm 23958  df-ii 24256  df-cncf 24257  df-cfil 24635  df-cmet 24637  df-cms 24715  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-omnd 31949  df-ogrp 31950  df-orng 32132  df-ofld 32133  df-qqh 32594  df-rrh 32616  df-rrext 32620  df-esum 32667  df-siga 32748  df-sigagen 32778  df-meas 32835  df-mbfm 32889  df-sitg 32970  df-sitm 32971
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator