Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sitmf 31509
Description: The integral metric as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitmf.0 (𝜑𝑊 ∈ Mnd)
sitmf.1 (𝜑𝑊 ∈ ∞MetSp)
sitmf.2 (𝜑𝑀 ran measures)
Assertion
Ref Expression
sitmf (𝜑 → (𝑊sitm𝑀):(dom (𝑊sitg𝑀) × dom (𝑊sitg𝑀))⟶(0[,]+∞))

Proof of Theorem sitmf
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . . . 6 (dist‘𝑊) = (dist‘𝑊)
2 sitmf.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ ∞MetSp)
32adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))) → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
4 sitmf.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ran measures)
54adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))) → 𝑀 ran measures)
6 simprl 767 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))) → 𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
7 simprr 769 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))) → 𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
81, 3, 5, 6, 7sitmfval 31507 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))) → (𝑓(𝑊sitm𝑀)𝑔) = (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝑓f (dist‘𝑊)𝑔)))
9 sitmf.0 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Mnd)
109adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))) → 𝑊 ∈ Mnd)
1110, 3, 5, 6, 7sitmcl 31508 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))) → (𝑓(𝑊sitm𝑀)𝑔) ∈ (0[,]+∞))
128, 11eqeltrrd 2911 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))) → (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝑓f (dist‘𝑊)𝑔)) ∈ (0[,]+∞))
1312ralrimivva 3188 . . 3 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀)∀𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀)(((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝑓f (dist‘𝑊)𝑔)) ∈ (0[,]+∞))
14 eqid 2818 . . . 4 (𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝑓f (dist‘𝑊)𝑔))) = (𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝑓f (dist‘𝑊)𝑔)))
1514fmpo 7755 . . 3 (∀𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀)∀𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀)(((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝑓f (dist‘𝑊)𝑔)) ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝑓f (dist‘𝑊)𝑔))):(dom (𝑊sitg𝑀) × dom (𝑊sitg𝑀))⟶(0[,]+∞))
1613, 15sylib 219 . 2 (𝜑 → (𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝑓f (dist‘𝑊)𝑔))):(dom (𝑊sitg𝑀) × dom (𝑊sitg𝑀))⟶(0[,]+∞))
171, 2, 4sitmval 31506 . . 3 (𝜑 → (𝑊sitm𝑀) = (𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝑓f (dist‘𝑊)𝑔))))
1817feq1d 6492 . 2 (𝜑 → ((𝑊sitm𝑀):(dom (𝑊sitg𝑀) × dom (𝑊sitg𝑀))⟶(0[,]+∞) ↔ (𝑓 ∈ dom (𝑊sitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝑓f (dist‘𝑊)𝑔))):(dom (𝑊sitg𝑀) × dom (𝑊sitg𝑀))⟶(0[,]+∞)))
1916, 18mpbird 258 1 (𝜑 → (𝑊sitm𝑀):(dom (𝑊sitg𝑀) × dom (𝑊sitg𝑀))⟶(0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105  wral 3135   cuni 4830   × cxp 5546  dom cdm 5548  ran crn 5549  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  f cof 7396  0cc0 10525  +∞cpnf 10660  [,]cicc 12729  s cress 16472  distcds 16562  *𝑠cxrs 16761  Mndcmnd 17899  ∞MetSpcxms 22854  measurescmeas 31353  sitmcsitm 31485  sitgcsitg 31486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-ac2 9873  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605  ax-xrssca 30587  ax-xrsvsca 30588
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-ac 9530  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-numer 16063  df-denom 16064  df-gz 16254  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-ordt 16762  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-toset 17632  df-ps 17798  df-tsr 17799  df-plusf 17839  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-cntz 18385  df-od 18585  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-rnghom 19396  df-drng 19433  df-field 19434  df-subrg 19462  df-abv 19517  df-lmod 19565  df-scaf 19566  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-nzr 19959  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-metu 20472  df-cnfld 20474  df-zring 20546  df-zrh 20579  df-zlm 20580  df-chr 20581  df-refld 20677  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-t1 21850  df-haus 21851  df-reg 21852  df-cmp 21923  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-fcls 22477  df-cnext 22596  df-tmd 22608  df-tgp 22609  df-tsms 22662  df-trg 22695  df-ust 22736  df-utop 22767  df-uss 22792  df-usp 22793  df-ucn 22812  df-cfilu 22823  df-cusp 22834  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-nm 23119  df-ngp 23120  df-nrg 23122  df-nlm 23123  df-ii 23412  df-cncf 23413  df-cfil 23785  df-cmet 23787  df-cms 23865  df-limc 24391  df-dv 24392  df-log 25067  df-omnd 30627  df-ogrp 30628  df-orng 30797  df-ofld 30798  df-qqh 31113  df-rrh 31135  df-rrext 31139  df-esum 31186  df-siga 31267  df-sigagen 31297  df-meas 31354  df-mbfm 31408  df-sitg 31487  df-sitm 31488
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator