Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitmf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sitmf 33339
Description: The integral metric as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitmf.0 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Mnd)
sitmf.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ∞MetSp)
sitmf.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
Assertion
Ref Expression
sitmf (πœ‘ β†’ (π‘Šsitm𝑀):(dom (π‘Šsitg𝑀) Γ— dom (π‘Šsitg𝑀))⟢(0[,]+∞))
Proof of Theorem sitmf
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . . 6 (distβ€˜π‘Š) = (distβ€˜π‘Š)
2 sitmf.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ∞MetSp)
32adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))) β†’ π‘Š ∈ ∞MetSp)
4 sitmf.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
54adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))) β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
6 simprl 769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))) β†’ 𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
7 simprr 771 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))) β†’ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
81, 3, 5, 6, 7sitmfval 33337 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))) β†’ (𝑓(π‘Šsitm𝑀)𝑔) = (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔)))
9 sitmf.0 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Mnd)
109adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))) β†’ π‘Š ∈ Mnd)
1110, 3, 5, 6, 7sitmcl 33338 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))) β†’ (𝑓(π‘Šsitm𝑀)𝑔) ∈ (0[,]+∞))
128, 11eqeltrrd 2834 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))) β†’ (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔)) ∈ (0[,]+∞))
1312ralrimivva 3200 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ dom (π‘Šsitg𝑀)βˆ€π‘” ∈ dom (π‘Šsitg𝑀)(((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔)) ∈ (0[,]+∞))
14 eqid 2732 . . . 4 (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔))) = (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔)))
1514fmpo 8050 . . 3 (βˆ€π‘“ ∈ dom (π‘Šsitg𝑀)βˆ€π‘” ∈ dom (π‘Šsitg𝑀)(((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔)) ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔))):(dom (π‘Šsitg𝑀) Γ— dom (π‘Šsitg𝑀))⟢(0[,]+∞))
1613, 15sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔))):(dom (π‘Šsitg𝑀) Γ— dom (π‘Šsitg𝑀))⟢(0[,]+∞))
171, 2, 4sitmval 33336 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Šsitm𝑀) = (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔))))
1817feq1d 6699 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘Šsitm𝑀):(dom (π‘Šsitg𝑀) Γ— dom (π‘Šsitg𝑀))⟢(0[,]+∞) ↔ (𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀), 𝑔 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀) ↦ (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))sitg𝑀)β€˜(𝑓 ∘f (distβ€˜π‘Š)𝑔))):(dom (π‘Šsitg𝑀) Γ— dom (π‘Šsitg𝑀))⟢(0[,]+∞)))
1916, 18mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (π‘Šsitm𝑀):(dom (π‘Šsitg𝑀) Γ— dom (π‘Šsitg𝑀))⟢(0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆͺ cuni 4907   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675  ran crn 5676  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407   ∘f cof 7664  0cc0 11106  +∞cpnf 11241  [,]cicc 13323   β†Ύs cress 17169  distcds 17202  β„*𝑠cxrs 17442  Mndcmnd 18621  βˆžMetSpcxms 23814  measurescmeas 33181  sitmcsitm 33315  sitgcsitg 33316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186  ax-xrssca 32161  ax-xrsvsca 32162
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-numer 16667  df-denom 16668  df-gz 16859  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-ordt 17443  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-toset 18366  df-ps 18515  df-tsr 18516  df-plusf 18556  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-od 19390  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-rnghom 20243  df-nzr 20284  df-drng 20309  df-field 20310  df-subrg 20353  df-abv 20417  df-lmod 20465  df-scaf 20466  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-metu 20935  df-cnfld 20937  df-zring 21010  df-zrh 21044  df-zlm 21045  df-chr 21046  df-refld 21149  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-t1 22809  df-haus 22810  df-reg 22811  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-fcls 23436  df-cnext 23555  df-tmd 23567  df-tgp 23568  df-tsms 23622  df-trg 23655  df-ust 23696  df-utop 23727  df-uss 23752  df-usp 23753  df-ucn 23772  df-cfilu 23783  df-cusp 23794  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-nm 24082  df-ngp 24083  df-nrg 24085  df-nlm 24086  df-ii 24384  df-cncf 24385  df-cfil 24763  df-cmet 24765  df-cms 24843  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-omnd 32204  df-ogrp 32205  df-orng 32403  df-ofld 32404  df-qqh 32941  df-rrh 32963  df-rrext 32967  df-esum 33014  df-siga 33095  df-sigagen 33125  df-meas 33182  df-mbfm 33236  df-sitg 33317  df-sitm 33318
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator