Theorem gg-iihalf2cn 35163

Description: The second half function is a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.) Avoid ax-mulf 11189. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gg-iihalf2cn.1	⊢ 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))

Assertion

Ref	Expression
gg-iihalf2cn	⊢ (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (𝐽 Cn II)

Proof of Theorem gg-iihalf2cn

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2		gg-iihalf2cn.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))
3		dfii2 24397	. . 3 ⊢ II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
4		halfre 12425	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
5		1re 11213	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		iccssre 13405	. . . . 5 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ)
7	4, 5, 6	mp2an 690	. . . 4 ⊢ ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ)
9		unitssre 13475	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (0[,]1) ⊆ ℝ)
11		iihalf2 24448	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑥) − 1) ∈ (0[,]1))
12	11	adantl 482	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((2 · 𝑥) − 1) ∈ (0[,]1))
13	1	cnfldtopon 24298	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
15		2cnd 12289	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
16	14, 14, 15	cnmptc 23165	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 2) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
17	14	cnmptid 23164	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
18	1	mpomulcn 35157	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
20		oveq12 7417	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 = 2 ∧ 𝑣 = 𝑥) → (𝑢 · 𝑣) = (2 · 𝑥))
21	14, 16, 17, 14, 14, 19, 20	cnmpt12 23170	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · 𝑥)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
22		1cnd 11208	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
23	14, 14, 22	cnmptc 23165	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
24	1	subcn 24381	. . . . 5 ⊢ − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
26	14, 21, 23, 25	cnmpt12f 23169	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
27	1, 2, 3, 8, 10, 12, 26	cnmptre 24442	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (𝐽 Cn II))
28	27	mptru 1548	1 ⊢ (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (𝐽 Cn II)

Syntax hints:   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  ℂcc 11107  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   · cmul 11114   − cmin 11443   / cdiv 11870  2c2 12266  (,)cioo 13323  [,]cicc 13326   ↾_t crest 17365  TopOpenctopn 17366  topGenctg 17382  ℂ_fldccnfld 20943  TopOnctopon 22411   Cn ccn 22727   ×_t ctx 23063  IIcii 24390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-ii 24392

This theorem is referenced by: (None)