HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdslmd1lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdslmd1lem3 32111
Description: Lemma for mdslmd1i 32113. (Contributed by NM, 29-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdslmd.1 𝐴C
mdslmd.2 𝐵C
mdslmd.3 𝐶C
mdslmd.4 𝐷C
Assertion
Ref Expression
mdslmd1lem3 ((𝑥C ∧ ((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))))) → (((𝑥 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑥 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) → ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐷𝐵)) → ((𝑥 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Proof of Theorem mdslmd1lem3
StepHypRef Expression
1 oveq1 7421 . . . . . . 7 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → (𝑥 𝐴) = (if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ 𝐴))
21sseq1d 4009 . . . . . 6 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → ((𝑥 𝐴) ⊆ 𝐷 ↔ (if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ 𝐴) ⊆ 𝐷))
31oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → ((𝑥 𝐴) ∨ 𝐶) = ((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ 𝐴) ∨ 𝐶))
43ineq1d 4207 . . . . . . 7 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → (((𝑥 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) = (((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷))
51oveq1d 7429 . . . . . . 7 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → ((𝑥 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) = ((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)))
64, 5sseq12d 4011 . . . . . 6 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → ((((𝑥 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)) ↔ (((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))))
72, 6imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → (((𝑥 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑥 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) ↔ ((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ 𝐴) ∨ (𝐶𝐷)))))
8 sseq2 4004 . . . . . . 7 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑥 ↔ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ if(𝑥C , 𝑥, 0)))
9 sseq1 4003 . . . . . . 7 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → (𝑥 ⊆ (𝐷𝐵) ↔ if(𝑥C , 𝑥, 0) ⊆ (𝐷𝐵)))
108, 9anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐷𝐵)) ↔ (((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ if(𝑥C , 𝑥, 0) ∧ if(𝑥C , 𝑥, 0) ⊆ (𝐷𝐵))))
11 oveq1 7421 . . . . . . . 8 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → (𝑥 (𝐶𝐵)) = (if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ (𝐶𝐵)))
1211ineq1d 4207 . . . . . . 7 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → ((𝑥 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) = ((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)))
13 oveq1 7421 . . . . . . 7 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → (𝑥 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))) = (if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))
1412, 13sseq12d 4011 . . . . . 6 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → (((𝑥 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))) ↔ ((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))))
1510, 14imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → (((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐷𝐵)) → ((𝑥 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) ↔ ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ if(𝑥C , 𝑥, 0) ∧ if(𝑥C , 𝑥, 0) ⊆ (𝐷𝐵)) → ((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))))
167, 15imbi12d 344 . . . 4 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → ((((𝑥 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑥 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) → ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐷𝐵)) → ((𝑥 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))) ↔ (((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) → ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ if(𝑥C , 𝑥, 0) ∧ if(𝑥C , 𝑥, 0) ⊆ (𝐷𝐵)) → ((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))))))
1716imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (((𝑥 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑥 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) → ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐷𝐵)) → ((𝑥 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))))) ↔ (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) → ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ if(𝑥C , 𝑥, 0) ∧ if(𝑥C , 𝑥, 0) ⊆ (𝐷𝐵)) → ((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))))))
18 mdslmd.1 . . . 4 𝐴C
19 mdslmd.2 . . . 4 𝐵C
20 mdslmd.3 . . . 4 𝐶C
21 mdslmd.4 . . . 4 𝐷C
22 h0elch 31039 . . . . 5 0C
2322elimel 4593 . . . 4 if(𝑥C , 𝑥, 0) ∈ C
2418, 19, 20, 21, 23mdslmd1lem1 32109 . . 3 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) → ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ if(𝑥C , 𝑥, 0) ∧ if(𝑥C , 𝑥, 0) ⊆ (𝐷𝐵)) → ((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))))
2517, 24dedth 4582 . 2 (𝑥C → (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (((𝑥 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑥 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) → ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐷𝐵)) → ((𝑥 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))))))
2625imp 406 1 ((𝑥C ∧ ((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))))) → (((𝑥 𝐴) ⊆ 𝐷 → (((𝑥 𝐴) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∨ (𝐶𝐷))) → ((((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐷𝐵)) → ((𝑥 (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ (𝑥 ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  cin 3943  wss 3944  ifcif 4524   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414   C cch 30713   chj 30717  0c0h 30719   𝑀 cmd 30750   𝑀* cdmd 30751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cc 10444  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203  ax-mulf 11204  ax-hilex 30783  ax-hfvadd 30784  ax-hvcom 30785  ax-hvass 30786  ax-hv0cl 30787  ax-hvaddid 30788  ax-hfvmul 30789  ax-hvmulid 30790  ax-hvmulass 30791  ax-hvdistr1 30792  ax-hvdistr2 30793  ax-hvmul0 30794  ax-hfi 30863  ax-his1 30866  ax-his2 30867  ax-his3 30868  ax-his4 30869  ax-hcompl 30986
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ioo 13346  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15651  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17389  df-topn 17390  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-topgen 17410  df-pt 17411  df-prds 17414  df-xrs 17469  df-qtop 17474  df-imas 17475  df-xps 17477  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-mulg 19008  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-fbas 21256  df-fg 21257  df-cnfld 21260  df-top 22770  df-topon 22787  df-topsp 22809  df-bases 22823  df-cld 22897  df-ntr 22898  df-cls 22899  df-nei 22976  df-cn 23105  df-cnp 23106  df-lm 23107  df-haus 23193  df-tx 23440  df-hmeo 23633  df-fil 23724  df-fm 23816  df-flim 23817  df-flf 23818  df-xms 24200  df-ms 24201  df-tms 24202  df-cfil 25157  df-cau 25158  df-cmet 25159  df-grpo 30277  df-gid 30278  df-ginv 30279  df-gdiv 30280  df-ablo 30329  df-vc 30343  df-nv 30376  df-va 30379  df-ba 30380  df-sm 30381  df-0v 30382  df-vs 30383  df-nmcv 30384  df-ims 30385  df-dip 30485  df-ssp 30506  df-ph 30597  df-cbn 30647  df-hnorm 30752  df-hba 30753  df-hvsub 30755  df-hlim 30756  df-hcau 30757  df-sh 30991  df-ch 31005  df-oc 31036  df-ch0 31037  df-shs 31092  df-chj 31094  df-md 32064  df-dmd 32065
This theorem is referenced by:  mdslmd1i  32113
  Copyright terms: Public domain W3C validator