HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjoml2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjoml2 29721
Description: Variation of orthomodular law. Definition in [Kalmbach] p. 22. (Contributed by NM, 13-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjoml2 ((𝐴C𝐵C𝐴𝐵) → (𝐴 ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem pjoml2
StepHypRef Expression
1 sseq1 3942 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → (𝐴𝐵 ↔ if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ 𝐵))
2 id 22 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → 𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0))
3 fveq2 6738 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → (⊥‘𝐴) = (⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0)))
43ineq1d 4142 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵) = ((⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0)) ∩ 𝐵))
52, 4oveq12d 7252 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → (𝐴 ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)) = (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∨ ((⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0)) ∩ 𝐵)))
65eqeq1d 2741 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → ((𝐴 ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)) = 𝐵 ↔ (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∨ ((⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0)) ∩ 𝐵)) = 𝐵))
71, 6imbi12d 348 . . 3 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, 0) → ((𝐴𝐵 → (𝐴 ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)) = 𝐵) ↔ (if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ 𝐵 → (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∨ ((⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0)) ∩ 𝐵)) = 𝐵)))
8 sseq2 3943 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, 0) → (if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ 𝐵 ↔ if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ if(𝐵C , 𝐵, 0)))
9 ineq2 4137 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, 0) → ((⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0)) ∩ 𝐵) = ((⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0)) ∩ if(𝐵C , 𝐵, 0)))
109oveq2d 7250 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, 0) → (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∨ ((⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0)) ∩ 𝐵)) = (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∨ ((⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0)) ∩ if(𝐵C , 𝐵, 0))))
11 id 22 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, 0) → 𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, 0))
1210, 11eqeq12d 2755 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, 0) → ((if(𝐴C , 𝐴, 0) ∨ ((⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0)) ∩ 𝐵)) = 𝐵 ↔ (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∨ ((⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0)) ∩ if(𝐵C , 𝐵, 0))) = if(𝐵C , 𝐵, 0)))
138, 12imbi12d 348 . . 3 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, 0) → ((if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ 𝐵 → (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∨ ((⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0)) ∩ 𝐵)) = 𝐵) ↔ (if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ if(𝐵C , 𝐵, 0) → (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∨ ((⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0)) ∩ if(𝐵C , 𝐵, 0))) = if(𝐵C , 𝐵, 0))))
14 h0elch 29365 . . . . 5 0C
1514elimel 4524 . . . 4 if(𝐴C , 𝐴, 0) ∈ C
1614elimel 4524 . . . 4 if(𝐵C , 𝐵, 0) ∈ C
1715, 16pjoml2i 29695 . . 3 (if(𝐴C , 𝐴, 0) ⊆ if(𝐵C , 𝐵, 0) → (if(𝐴C , 𝐴, 0) ∨ ((⊥‘if(𝐴C , 𝐴, 0)) ∩ if(𝐵C , 𝐵, 0))) = if(𝐵C , 𝐵, 0))
187, 13, 17dedth2h 4514 . 2 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴𝐵 → (𝐴 ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)) = 𝐵))
19183impia 1119 1 ((𝐴C𝐵C𝐴𝐵) → (𝐴 ((⊥‘𝐴) ∩ 𝐵)) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2112  cin 3881  wss 3882  ifcif 4455  cfv 6400  (class class class)co 7234   C cch 29039  cort 29040   chj 29043  0c0h 29045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5195  ax-sep 5208  ax-nul 5215  ax-pow 5274  ax-pr 5338  ax-un 7544  ax-inf2 9283  ax-cc 10076  ax-cnex 10812  ax-resscn 10813  ax-1cn 10814  ax-icn 10815  ax-addcl 10816  ax-addrcl 10817  ax-mulcl 10818  ax-mulrcl 10819  ax-mulcom 10820  ax-addass 10821  ax-mulass 10822  ax-distr 10823  ax-i2m1 10824  ax-1ne0 10825  ax-1rid 10826  ax-rnegex 10827  ax-rrecex 10828  ax-cnre 10829  ax-pre-lttri 10830  ax-pre-lttrn 10831  ax-pre-ltadd 10832  ax-pre-mulgt0 10833  ax-pre-sup 10834  ax-addf 10835  ax-mulf 10836  ax-hilex 29109  ax-hfvadd 29110  ax-hvcom 29111  ax-hvass 29112  ax-hv0cl 29113  ax-hvaddid 29114  ax-hfvmul 29115  ax-hvmulid 29116  ax-hvmulass 29117  ax-hvdistr1 29118  ax-hvdistr2 29119  ax-hvmul0 29120  ax-hfi 29189  ax-his1 29192  ax-his2 29193  ax-his3 29194  ax-his4 29195  ax-hcompl 29312
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3711  df-csb 3828  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4254  df-if 4456  df-pw 4531  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4836  df-int 4876  df-iun 4922  df-iin 4923  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5152  df-tr 5178  df-id 5471  df-eprel 5477  df-po 5485  df-so 5486  df-fr 5526  df-se 5527  df-we 5528  df-xp 5574  df-rel 5575  df-cnv 5576  df-co 5577  df-dm 5578  df-rn 5579  df-res 5580  df-ima 5581  df-pred 6178  df-ord 6236  df-on 6237  df-lim 6238  df-suc 6239  df-iota 6358  df-fun 6402  df-fn 6403  df-f 6404  df-f1 6405  df-fo 6406  df-f1o 6407  df-fv 6408  df-isom 6409  df-riota 7191  df-ov 7237  df-oprab 7238  df-mpo 7239  df-of 7490  df-om 7666  df-1st 7782  df-2nd 7783  df-supp 7927  df-wrecs 8070  df-recs 8131  df-rdg 8169  df-1o 8225  df-2o 8226  df-oadd 8229  df-omul 8230  df-er 8414  df-map 8533  df-pm 8534  df-ixp 8602  df-en 8650  df-dom 8651  df-sdom 8652  df-fin 8653  df-fsupp 9013  df-fi 9054  df-sup 9085  df-inf 9086  df-oi 9153  df-card 9582  df-acn 9585  df-pnf 10896  df-mnf 10897  df-xr 10898  df-ltxr 10899  df-le 10900  df-sub 11091  df-neg 11092  df-div 11517  df-nn 11858  df-2 11920  df-3 11921  df-4 11922  df-5 11923  df-6 11924  df-7 11925  df-8 11926  df-9 11927  df-n0 12118  df-z 12204  df-dec 12321  df-uz 12466  df-q 12572  df-rp 12614  df-xneg 12731  df-xadd 12732  df-xmul 12733  df-ioo 12966  df-ico 12968  df-icc 12969  df-fz 13123  df-fzo 13266  df-fl 13394  df-seq 13604  df-exp 13665  df-hash 13927  df-cj 14692  df-re 14693  df-im 14694  df-sqrt 14828  df-abs 14829  df-clim 15079  df-rlim 15080  df-sum 15280  df-struct 16730  df-sets 16747  df-slot 16765  df-ndx 16775  df-base 16791  df-ress 16815  df-plusg 16845  df-mulr 16846  df-starv 16847  df-sca 16848  df-vsca 16849  df-ip 16850  df-tset 16851  df-ple 16852  df-ds 16854  df-unif 16855  df-hom 16856  df-cco 16857  df-rest 16957  df-topn 16958  df-0g 16976  df-gsum 16977  df-topgen 16978  df-pt 16979  df-prds 16982  df-xrs 17037  df-qtop 17042  df-imas 17043  df-xps 17045  df-mre 17119  df-mrc 17120  df-acs 17122  df-mgm 18144  df-sgrp 18193  df-mnd 18204  df-submnd 18249  df-mulg 18519  df-cntz 18741  df-cmn 19202  df-psmet 20385  df-xmet 20386  df-met 20387  df-bl 20388  df-mopn 20389  df-fbas 20390  df-fg 20391  df-cnfld 20394  df-top 21820  df-topon 21837  df-topsp 21859  df-bases 21872  df-cld 21945  df-ntr 21946  df-cls 21947  df-nei 22024  df-cn 22153  df-cnp 22154  df-lm 22155  df-haus 22241  df-tx 22488  df-hmeo 22681  df-fil 22772  df-fm 22864  df-flim 22865  df-flf 22866  df-xms 23247  df-ms 23248  df-tms 23249  df-cfil 24181  df-cau 24182  df-cmet 24183  df-grpo 28603  df-gid 28604  df-ginv 28605  df-gdiv 28606  df-ablo 28655  df-vc 28669  df-nv 28702  df-va 28705  df-ba 28706  df-sm 28707  df-0v 28708  df-vs 28709  df-nmcv 28710  df-ims 28711  df-dip 28811  df-ssp 28832  df-ph 28923  df-cbn 28973  df-hnorm 29078  df-hba 29079  df-hvsub 29081  df-hlim 29082  df-hcau 29083  df-sh 29317  df-ch 29331  df-oc 29362  df-ch0 29363  df-shs 29418  df-chj 29420
This theorem is referenced by:  pjoml5  29723  chirredlem3  30502
  Copyright terms: Public domain W3C validator