Theorem ho0f 31714

Description: Functionality of the zero Hilbert space operator. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ho0f	⊢ 0hop : ℋ⟶ ℋ

Proof of Theorem ho0f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		h0elch 31218	. . 3 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
2	1	pjfi 31667	. 2 ⊢ (projℎ‘0ℋ): ℋ⟶ ℋ
3		df-h0op 31711	. . 3 ⊢ 0hop = (projℎ‘0ℋ)
4	3	feq1i 6647	. 2 ⊢ ( 0hop : ℋ⟶ ℋ ↔ (projℎ‘0ℋ): ℋ⟶ ℋ)
5	2, 4	mpbir 231	1 ⊢ 0hop : ℋ⟶ ℋ

Syntax hints:  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486   ℋchba 30882  0_ℋc0h 30898  proj_ℎcpjh 30900   0_hop ch0o 30906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cc 10348  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107  ax-mulf 11108  ax-hilex 30962  ax-hfvadd 30963  ax-hvcom 30964  ax-hvass 30965  ax-hv0cl 30966  ax-hvaddid 30967  ax-hfvmul 30968  ax-hvmulid 30969  ax-hvmulass 30970  ax-hvdistr1 30971  ax-hvdistr2 30972  ax-hvmul0 30973  ax-hfi 31042  ax-his1 31045  ax-his2 31046  ax-his3 31047  ax-his4 31048  ax-hcompl 31165

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-q 12869  df-rp 12913  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13271  df-ico 13273  df-icc 13274  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-fl 13715  df-seq 13928  df-exp 13988  df-hash 14257  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15613  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-starv 17195  df-sca 17196  df-vsca 17197  df-ip 17198  df-tset 17199  df-ple 17200  df-ds 17202  df-unif 17203  df-hom 17204  df-cco 17205  df-rest 17345  df-topn 17346  df-0g 17364  df-gsum 17365  df-topgen 17366  df-pt 17367  df-prds 17370  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18677  df-mulg 18966  df-cntz 19215  df-cmn 19680  df-psmet 21272  df-xmet 21273  df-met 21274  df-bl 21275  df-mopn 21276  df-fbas 21277  df-fg 21278  df-cnfld 21281  df-top 22798  df-topon 22815  df-topsp 22837  df-bases 22850  df-cld 22923  df-ntr 22924  df-cls 22925  df-nei 23002  df-cn 23131  df-cnp 23132  df-lm 23133  df-haus 23219  df-tx 23466  df-hmeo 23659  df-fil 23750  df-fm 23842  df-flim 23843  df-flf 23844  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227  df-cfil 25172  df-cau 25173  df-cmet 25174  df-grpo 30456  df-gid 30457  df-ginv 30458  df-gdiv 30459  df-ablo 30508  df-vc 30522  df-nv 30555  df-va 30558  df-ba 30559  df-sm 30560  df-0v 30561  df-vs 30562  df-nmcv 30563  df-ims 30564  df-dip 30664  df-ssp 30685  df-ph 30776  df-cbn 30826  df-hnorm 30931  df-hba 30932  df-hvsub 30934  df-hlim 30935  df-hcau 30936  df-sh 31170  df-ch 31184  df-oc 31215  df-ch0 31216  df-shs 31271  df-pjh 31358  df-h0op 31711

This theorem is referenced by:  df0op2  31715  hosubcl  31736  hoaddcom  31737  hoaddass  31745  hocsubdir  31748  hoaddridi  31749  hodidi  31750  ho0coi  31751  hoaddrid  31754  hodid  31755  ho0subi  31758  ho0sub  31760  hosubid1  31761  honegsub  31762  hoaddsubass  31778  hosd1i  31785  hosubeq0i  31789  0cnop  31942  0hmop  31946  nmop0  31949  hoddi  31953  adj0  31957  nmlnop0iALT  31958  lnopco0i  31967  pjorthcoi  32132