HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdslmd1lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdslmd1lem4 29577
Description: Lemma for mdslmd1i 29578. (Contributed by NM, 29-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdslmd.1 𝐴C
mdslmd.2 𝐵C
mdslmd.3 𝐶C
mdslmd.4 𝐷C
Assertion
Ref Expression
mdslmd1lem4 ((𝑥C ∧ ((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))))) → (((𝑥𝐵) ⊆ (𝐷𝐵) → (((𝑥𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑥𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) → (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑥𝑥𝐷) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Proof of Theorem mdslmd1lem4
StepHypRef Expression
1 ineq1 3968 . . . . . . 7 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → (𝑥𝐵) = (if(𝑥C , 𝑥, 0) ∩ 𝐵))
21sseq1d 3791 . . . . . 6 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → ((𝑥𝐵) ⊆ (𝐷𝐵) ↔ (if(𝑥C , 𝑥, 0) ∩ 𝐵) ⊆ (𝐷𝐵)))
31oveq1d 6856 . . . . . . . 8 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → ((𝑥𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) = ((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∩ 𝐵) ∨ (𝐶𝐵)))
43ineq1d 3974 . . . . . . 7 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → (((𝑥𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) = (((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∩ 𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)))
51oveq1d 6856 . . . . . . 7 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → ((𝑥𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))) = ((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∩ 𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))
64, 5sseq12d 3793 . . . . . 6 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → ((((𝑥𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑥𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))) ↔ (((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∩ 𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∩ 𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))))
72, 6imbi12d 335 . . . . 5 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → (((𝑥𝐵) ⊆ (𝐷𝐵) → (((𝑥𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑥𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) ↔ ((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∩ 𝐵) ⊆ (𝐷𝐵) → (((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∩ 𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∩ 𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))))
8 sseq2 3786 . . . . . . 7 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐶𝐷) ⊆ if(𝑥C , 𝑥, 0)))
9 sseq1 3785 . . . . . . 7 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → (𝑥𝐷 ↔ if(𝑥C , 𝑥, 0) ⊆ 𝐷))
108, 9anbi12d 624 . . . . . 6 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑥𝑥𝐷) ↔ ((𝐶𝐷) ⊆ if(𝑥C , 𝑥, 0) ∧ if(𝑥C , 𝑥, 0) ⊆ 𝐷)))
11 oveq1 6848 . . . . . . . 8 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → (𝑥 𝐶) = (if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ 𝐶))
1211ineq1d 3974 . . . . . . 7 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) = ((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷))
13 oveq1 6848 . . . . . . 7 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → (𝑥 (𝐶𝐷)) = (if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ (𝐶𝐷)))
1412, 13sseq12d 3793 . . . . . 6 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → (((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)) ↔ ((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ (𝐶𝐷))))
1510, 14imbi12d 335 . . . . 5 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → ((((𝐶𝐷) ⊆ 𝑥𝑥𝐷) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷))) ↔ (((𝐶𝐷) ⊆ if(𝑥C , 𝑥, 0) ∧ if(𝑥C , 𝑥, 0) ⊆ 𝐷) → ((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ (𝐶𝐷)))))
167, 15imbi12d 335 . . . 4 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → ((((𝑥𝐵) ⊆ (𝐷𝐵) → (((𝑥𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑥𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) → (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑥𝑥𝐷) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))) ↔ (((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∩ 𝐵) ⊆ (𝐷𝐵) → (((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∩ 𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∩ 𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) → (((𝐶𝐷) ⊆ if(𝑥C , 𝑥, 0) ∧ if(𝑥C , 𝑥, 0) ⊆ 𝐷) → ((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ (𝐶𝐷))))))
1716imbi2d 331 . . 3 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (((𝑥𝐵) ⊆ (𝐷𝐵) → (((𝑥𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑥𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) → (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑥𝑥𝐷) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷))))) ↔ (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∩ 𝐵) ⊆ (𝐷𝐵) → (((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∩ 𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∩ 𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) → (((𝐶𝐷) ⊆ if(𝑥C , 𝑥, 0) ∧ if(𝑥C , 𝑥, 0) ⊆ 𝐷) → ((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ (𝐶𝐷)))))))
18 mdslmd.1 . . . 4 𝐴C
19 mdslmd.2 . . . 4 𝐵C
20 mdslmd.3 . . . 4 𝐶C
21 mdslmd.4 . . . 4 𝐷C
22 h0elch 28502 . . . . 5 0C
2322elimel 4309 . . . 4 if(𝑥C , 𝑥, 0) ∈ C
2418, 19, 20, 21, 23mdslmd1lem2 29575 . . 3 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∩ 𝐵) ⊆ (𝐷𝐵) → (((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∩ 𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∩ 𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) → (((𝐶𝐷) ⊆ if(𝑥C , 𝑥, 0) ∧ if(𝑥C , 𝑥, 0) ⊆ 𝐷) → ((if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (if(𝑥C , 𝑥, 0) ∨ (𝐶𝐷)))))
2517, 24dedth 4298 . 2 (𝑥C → (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (((𝑥𝐵) ⊆ (𝐷𝐵) → (((𝑥𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑥𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) → (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑥𝑥𝐷) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷))))))
2625imp 395 1 ((𝑥C ∧ ((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))))) → (((𝑥𝐵) ⊆ (𝐷𝐵) → (((𝑥𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑥𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) → (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑥𝑥𝐷) → ((𝑥 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑥 (𝐶𝐷)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  cin 3730  wss 3731  ifcif 4242   class class class wbr 4808  (class class class)co 6841   C cch 28176   chj 28180  0c0h 28182   𝑀 cmd 28213   𝑀* cdmd 28214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-inf2 8752  ax-cc 9509  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265  ax-pre-sup 10266  ax-addf 10267  ax-mulf 10268  ax-hilex 28246  ax-hfvadd 28247  ax-hvcom 28248  ax-hvass 28249  ax-hv0cl 28250  ax-hvaddid 28251  ax-hfvmul 28252  ax-hvmulid 28253  ax-hvmulass 28254  ax-hvdistr1 28255  ax-hvdistr2 28256  ax-hvmul0 28257  ax-hfi 28326  ax-his1 28329  ax-his2 28330  ax-his3 28331  ax-his4 28332  ax-hcompl 28449
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-iin 4678  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-se 5236  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-isom 6076  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-of 7094  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-supp 7497  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-2o 7764  df-oadd 7767  df-omul 7768  df-er 7946  df-map 8061  df-pm 8062  df-ixp 8113  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-fsupp 8482  df-fi 8523  df-sup 8554  df-inf 8555  df-oi 8621  df-card 9015  df-acn 9018  df-cda 9242  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-div 10938  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-7 11339  df-8 11340  df-9 11341  df-n0 11538  df-z 11624  df-dec 11740  df-uz 11886  df-q 11989  df-rp 12028  df-xneg 12145  df-xadd 12146  df-xmul 12147  df-ioo 12380  df-ico 12382  df-icc 12383  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14125  df-re 14126  df-im 14127  df-sqrt 14261  df-abs 14262  df-clim 14505  df-rlim 14506  df-sum 14703  df-struct 16133  df-ndx 16134  df-slot 16135  df-base 16137  df-sets 16138  df-ress 16139  df-plusg 16228  df-mulr 16229  df-starv 16230  df-sca 16231  df-vsca 16232  df-ip 16233  df-tset 16234  df-ple 16235  df-ds 16237  df-unif 16238  df-hom 16239  df-cco 16240  df-rest 16350  df-topn 16351  df-0g 16369  df-gsum 16370  df-topgen 16371  df-pt 16372  df-prds 16375  df-xrs 16429  df-qtop 16434  df-imas 16435  df-xps 16437  df-mre 16513  df-mrc 16514  df-acs 16516  df-mgm 17509  df-sgrp 17551  df-mnd 17562  df-submnd 17603  df-mulg 17809  df-cntz 18014  df-cmn 18460  df-psmet 20010  df-xmet 20011  df-met 20012  df-bl 20013  df-mopn 20014  df-fbas 20015  df-fg 20016  df-cnfld 20019  df-top 20977  df-topon 20994  df-topsp 21016  df-bases 21029  df-cld 21102  df-ntr 21103  df-cls 21104  df-nei 21181  df-cn 21310  df-cnp 21311  df-lm 21312  df-haus 21398  df-tx 21644  df-hmeo 21837  df-fil 21928  df-fm 22020  df-flim 22021  df-flf 22022  df-xms 22403  df-ms 22404  df-tms 22405  df-cfil 23331  df-cau 23332  df-cmet 23333  df-grpo 27738  df-gid 27739  df-ginv 27740  df-gdiv 27741  df-ablo 27790  df-vc 27804  df-nv 27837  df-va 27840  df-ba 27841  df-sm 27842  df-0v 27843  df-vs 27844  df-nmcv 27845  df-ims 27846  df-dip 27946  df-ssp 27967  df-ph 28058  df-cbn 28109  df-hnorm 28215  df-hba 28216  df-hvsub 28218  df-hlim 28219  df-hcau 28220  df-sh 28454  df-ch 28468  df-oc 28499  df-ch0 28500  df-shs 28557  df-chj 28559  df-md 29529  df-dmd 29530
This theorem is referenced by:  mdslmd1i  29578
  Copyright terms: Public domain W3C validator