Theorem atoml2i 32443

Description: An assertion holding in atomic orthomodular lattices that is equivalent to the exchange axiom. Proposition P8(ii) of [BeltramettiCassinelli1] p. 400. (Contributed by NM, 12-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
atoml.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
atoml2i	⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)

Proof of Theorem atoml2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atoml.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		atelch 32404	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵 ∈ Cℋ )
3		pjoml5 31673	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
4	1, 2, 3	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (𝐴 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
5		incom 4150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
6	5	eqeq1i 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ ↔ ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 0ℋ)
7	6	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ → ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 0ℋ)
8	7	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ → (𝐴 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝐴 ∨ℋ 0ℋ))
9	1	chj0i 31515	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 0ℋ) = 𝐴
10	8, 9	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ → (𝐴 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = 𝐴)
11	4, 10	sylan9req 2793	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = 𝐴)
12	11	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = 𝐴))
13		chlejb2 31573	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = 𝐴))
14	2, 1, 13	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = 𝐴))
15	12, 14	sylibrd 259	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ → 𝐵 ⊆ 𝐴))
16	15	con3d 152	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → ¬ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ))
17	1	atomli 32442	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0ℋ}))
18		elun 4094	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0ℋ}) ↔ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0ℋ}))
19		h0elch 31315	. . . . . . . . 9 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
20	19	elexi 3453	. . . . . . . 8 ⊢ 0ℋ ∈ V
21	20	elsn2 4610	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0ℋ} ↔ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)
22	21	orbi2i 913	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0ℋ}) ↔ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ))
23		orcom 871	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ) ↔ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
24	18, 22, 23	3bitri 297	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0ℋ}) ↔ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
25	17, 24	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
26	25	ord 865	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (¬ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
27	16, 26	syld 47	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
28	27	imp 406	1 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  {csn 4568  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   C_ℋ cch 30989  ⊥cort 30990   ∨_ℋ chj 30993  0_ℋc0h 30995  HAtomscat 31025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cc 10346  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106  ax-mulf 11107  ax-hilex 31059  ax-hfvadd 31060  ax-hvcom 31061  ax-hvass 31062  ax-hv0cl 31063  ax-hvaddid 31064  ax-hfvmul 31065  ax-hvmulid 31066  ax-hvmulass 31067  ax-hvdistr1 31068  ax-hvdistr2 31069  ax-hvmul0 31070  ax-hfi 31139  ax-his1 31142  ax-his2 31143  ax-his3 31144  ax-his4 31145  ax-hcompl 31262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-omul 8401  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9852  df-acn 9855  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12609  df-uz 12753  df-q 12863  df-rp 12907  df-xneg 13027  df-xadd 13028  df-xmul 13029  df-ioo 13266  df-ico 13268  df-icc 13269  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-fl 13713  df-seq 13926  df-exp 13986  df-hash 14255  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160  df-clim 15412  df-rlim 15413  df-sum 15611  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-starv 17193  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-tset 17197  df-ple 17198  df-ds 17200  df-unif 17201  df-hom 17202  df-cco 17203  df-rest 17343  df-topn 17344  df-0g 17362  df-gsum 17363  df-topgen 17364  df-pt 17365  df-prds 17368  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18710  df-mulg 19002  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-fbas 21308  df-fg 21309  df-cnfld 21312  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-ntr 22963  df-cls 22964  df-nei 23041  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-lm 23172  df-haus 23258  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-fil 23789  df-fm 23881  df-flim 23882  df-flf 23883  df-xms 24263  df-ms 24264  df-tms 24265  df-cfil 25200  df-cau 25201  df-cmet 25202  df-grpo 30553  df-gid 30554  df-ginv 30555  df-gdiv 30556  df-ablo 30605  df-vc 30619  df-nv 30652  df-va 30655  df-ba 30656  df-sm 30657  df-0v 30658  df-vs 30659  df-nmcv 30660  df-ims 30661  df-dip 30761  df-ssp 30782  df-ph 30873  df-cbn 30923  df-hnorm 31028  df-hba 31029  df-hvsub 31031  df-hlim 31032  df-hcau 31033  df-sh 31267  df-ch 31281  df-oc 31312  df-ch0 31313  df-shs 31368  df-span 31369  df-chj 31370  df-chsup 31371  df-pjh 31455  df-cv 32339  df-at 32398

This theorem is referenced by:  atordi  32444