Theorem atoml2i 32454

Description: An assertion holding in atomic orthomodular lattices that is equivalent to the exchange axiom. Proposition P8(ii) of [BeltramettiCassinelli1] p. 400. (Contributed by NM, 12-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
atoml.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
atoml2i	⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)

Proof of Theorem atoml2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atoml.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		atelch 32415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵 ∈ Cℋ )
3		pjoml5 31684	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
4	1, 2, 3	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (𝐴 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
5		incom 4150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
6	5	eqeq1i 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ ↔ ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 0ℋ)
7	6	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ → ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 0ℋ)
8	7	oveq2d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ → (𝐴 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝐴 ∨ℋ 0ℋ))
9	1	chj0i 31526	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 0ℋ) = 𝐴
10	8, 9	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ → (𝐴 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = 𝐴)
11	4, 10	sylan9req 2793	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = 𝐴)
12	11	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = 𝐴))
13		chlejb2 31584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = 𝐴))
14	2, 1, 13	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = 𝐴))
15	12, 14	sylibrd 259	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ → 𝐵 ⊆ 𝐴))
16	15	con3d 152	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → ¬ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ))
17	1	atomli 32453	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0ℋ}))
18		elun 4094	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0ℋ}) ↔ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0ℋ}))
19		h0elch 31326	. . . . . . . . 9 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
20	19	elexi 3453	. . . . . . . 8 ⊢ 0ℋ ∈ V
21	20	elsn2 4610	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0ℋ} ↔ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)
22	21	orbi2i 913	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0ℋ}) ↔ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ))
23		orcom 871	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ) ↔ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
24	18, 22, 23	3bitri 297	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0ℋ}) ↔ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
25	17, 24	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
26	25	ord 865	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (¬ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
27	16, 26	syld 47	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
28	27	imp 406	1 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  {csn 4568  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367   C_ℋ cch 31000  ⊥cort 31001   ∨_ℋ chj 31004  0_ℋc0h 31006  HAtomscat 31036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118  ax-hilex 31070  ax-hfvadd 31071  ax-hvcom 31072  ax-hvass 31073  ax-hv0cl 31074  ax-hvaddid 31075  ax-hfvmul 31076  ax-hvmulid 31077  ax-hvmulass 31078  ax-hvdistr1 31079  ax-hvdistr2 31080  ax-hvmul0 31081  ax-hfi 31150  ax-his1 31153  ax-his2 31154  ax-his3 31155  ax-his4 31156  ax-hcompl 31273

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-lm 23194  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cfil 25222  df-cau 25223  df-cmet 25224  df-grpo 30564  df-gid 30565  df-ginv 30566  df-gdiv 30567  df-ablo 30616  df-vc 30630  df-nv 30663  df-va 30666  df-ba 30667  df-sm 30668  df-0v 30669  df-vs 30670  df-nmcv 30671  df-ims 30672  df-dip 30772  df-ssp 30793  df-ph 30884  df-cbn 30934  df-hnorm 31039  df-hba 31040  df-hvsub 31042  df-hlim 31043  df-hcau 31044  df-sh 31278  df-ch 31292  df-oc 31323  df-ch0 31324  df-shs 31379  df-span 31380  df-chj 31381  df-chsup 31382  df-pjh 31466  df-cv 32350  df-at 32409

This theorem is referenced by:  atordi  32455