Theorem atoml2i 33015

Description: An assertion holding in atomic orthomodular lattices that is equivalent to the exchange axiom. Proposition P8(ii) of [BeltramettiCassinelli1] p. 400. (Contributed by NM, 12-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
atoml.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
atoml2i	⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)

Proof of Theorem atoml2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atoml.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		atelch 32976	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵 ∈ Cℋ )
3		pjoml5 32245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
4	1, 2, 3	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (𝐴 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
5		incom 4109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
6	5	eqeq1i 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ ↔ ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 0ℋ)
7	6	biimpi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ → ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 0ℋ)
8	7	oveq2d 7459	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ → (𝐴 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = (𝐴 ∨ℋ 0ℋ))
9	1	chj0i 32087	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 0ℋ) = 𝐴
10	8, 9	eqtrdi 2814	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ → (𝐴 ∨ℋ ((⊥‘𝐴) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))) = 𝐴)
11	4, 10	sylan9req 2819	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = 𝐴)
12	11	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = 𝐴))
13		chlejb2 32145	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = 𝐴))
14	2, 1, 13	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = 𝐴))
15	12, 14	sylibrd 262	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ → 𝐵 ⊆ 𝐴))
16	15	con3d 153	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → ¬ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ))
17	1	atomli 33014	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0ℋ}))
18		elun 4155	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0ℋ}) ↔ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0ℋ}))
19		h0elch 31887	. . . . . . . . 9 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
20	19	elexi 3476	. . . . . . . 8 ⊢ 0ℋ ∈ V
21	20	elsn2 4626	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0ℋ} ↔ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)
22	21	orbi2i 926	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ {0ℋ}) ↔ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ))
23		orcom 884	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ) ↔ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
24	18, 22, 23	3bitri 300	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ (HAtoms ∪ {0ℋ}) ↔ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
25	17, 24	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ ∨ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
26	25	ord 878	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (¬ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
27	16, 26	syld 48	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ HAtoms → (¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms))
28	27	imp 412	1 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (⊥‘𝐴)) ∈ HAtoms)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  {csn 4588  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   C_ℋ cch 31561  ⊥cort 31562   ∨_ℋ chj 31565  0_ℋc0h 31567  HAtomscat 31597

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cc 10540  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306  ax-mulf 11307  ax-hilex 31631  ax-hfvadd 31632  ax-hvcom 31633  ax-hvass 31634  ax-hv0cl 31635  ax-hvaddid 31636  ax-hfvmul 31637  ax-hvmulid 31638  ax-hvmulass 31639  ax-hvdistr1 31640  ax-hvdistr2 31641  ax-hvmul0 31642  ax-hfi 31711  ax-his1 31714  ax-his2 31715  ax-his3 31716  ax-his4 31717  ax-hcompl 31834

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-fi 9430  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-card 10047  df-acn 10050  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-ioo 13507  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-rlim 15685  df-sum 15883  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-hom 17481  df-cco 17482  df-rest 17622  df-topn 17623  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-topgen 17643  df-pt 17644  df-prds 17647  df-xrs 17703  df-qtop 17708  df-imas 17709  df-xps 17711  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-mulg 19307  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-met 21702  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-fbas 21705  df-fg 21706  df-cnfld 21709  df-top 23242  df-topon 23259  df-topsp 23281  df-bases 23294  df-cld 23367  df-ntr 23368  df-cls 23369  df-nei 23446  df-cn 23575  df-cnp 23576  df-lm 23577  df-haus 23663  df-tx 23911  df-hmeo 24104  df-fil 24195  df-fm 24287  df-flim 24288  df-flf 24289  df-xms 24669  df-ms 24670  df-tms 24671  df-cfil 25606  df-cau 25607  df-cmet 25608  df-grpo 31125  df-gid 31126  df-ginv 31127  df-gdiv 31128  df-ablo 31177  df-vc 31191  df-nv 31224  df-va 31227  df-ba 31228  df-sm 31229  df-0v 31230  df-vs 31231  df-nmcv 31232  df-ims 31233  df-dip 31333  df-ssp 31354  df-ph 31445  df-cbn 31495  df-hnorm 31600  df-hba 31601  df-hvsub 31603  df-hlim 31604  df-hcau 31605  df-sh 31839  df-ch 31853  df-oc 31884  df-ch0 31885  df-shs 31940  df-span 31941  df-chj 31942  df-chsup 31943  df-pjh 32027  df-cv 32911  df-at 32970

This theorem is used by:  atordi  33016