Theorem chj0i 28923

Description: Join with lattice zero in C_ℋ. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ch0le.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chj0i	⊢ (𝐴 ∨ℋ 0ℋ) = 𝐴

Proof of Theorem chj0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		h0elch 28723	. . 3 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
3	1, 2	chjvali 28821	. 2 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 0ℋ) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 0ℋ)))
4	1	ch0lei 28919	. . . . 5 ⊢ 0ℋ ⊆ 𝐴
5		ssequn2 4080	. . . . 5 ⊢ (0ℋ ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ 0ℋ) = 𝐴)
6	4, 5	mpbi 231	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∪ 0ℋ) = 𝐴
7	6	fveq2i 6541	. . 3 ⊢ (⊥‘(𝐴 ∪ 0ℋ)) = (⊥‘𝐴)
8	7	fveq2i 6541	. 2 ⊢ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 0ℋ))) = (⊥‘(⊥‘𝐴))
9	1	pjococi 28905	. 2 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴
10	3, 8, 9	3eqtri 2823	1 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 0ℋ) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ∪ cun 3857   ⊆ wss 3859  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016   C_ℋ cch 28397  ⊥cort 28398   ∨_ℋ chj 28401  0_ℋc0h 28403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cc 9703  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462  ax-mulf 10463  ax-hilex 28467  ax-hfvadd 28468  ax-hvcom 28469  ax-hvass 28470  ax-hv0cl 28471  ax-hvaddid 28472  ax-hfvmul 28473  ax-hvmulid 28474  ax-hvmulass 28475  ax-hvdistr1 28476  ax-hvdistr2 28477  ax-hvmul0 28478  ax-hfi 28547  ax-his1 28550  ax-his2 28551  ax-his3 28552  ax-his4 28553  ax-hcompl 28670

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-omul 7958  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fi 8721  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-card 9214  df-acn 9217  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fl 13012  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-rlim 14680  df-rest 16525  df-topgen 16546  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-fbas 20224  df-fg 20225  df-top 21186  df-topon 21203  df-bases 21238  df-cld 21311  df-ntr 21312  df-cls 21313  df-nei 21390  df-lm 21521  df-haus 21607  df-fil 22138  df-fm 22230  df-flim 22231  df-flf 22232  df-cfil 23541  df-cau 23542  df-cmet 23543  df-grpo 27961  df-gid 27962  df-ginv 27963  df-gdiv 27964  df-ablo 28013  df-vc 28027  df-nv 28060  df-va 28063  df-ba 28064  df-sm 28065  df-0v 28066  df-vs 28067  df-nmcv 28068  df-ims 28069  df-ssp 28190  df-ph 28281  df-cbn 28331  df-hnorm 28436  df-hba 28437  df-hvsub 28439  df-hlim 28440  df-hcau 28441  df-sh 28675  df-ch 28689  df-oc 28720  df-ch0 28721  df-chj 28778

This theorem is referenced by:  chj00i  28955  chj0  28965  nonbooli  29119  atoml2i  29851  atabsi  29869