Theorem atord 32447

Description: An ordering law for a Hilbert lattice atom and a commuting subspace. (Contributed by NM, 12-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
atord	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ∨ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)))

Proof of Theorem atord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5077	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ↔ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) 𝐶ℋ 𝐵))
2	1	anbi2d 631	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) ↔ (𝐵 ∈ HAtoms ∧ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) 𝐶ℋ 𝐵)))
3		sseq2 3943	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ)))
4		fveq2 6829	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (⊥‘𝐴) = (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ)))
5	4	sseq2d 3949	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐵 ⊆ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))))
6	3, 5	orbi12d 919	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∨ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)) ↔ (𝐵 ⊆ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∨ 𝐵 ⊆ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ)))))
7	2, 6	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) → (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ∨ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))) ↔ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) 𝐶ℋ 𝐵) → (𝐵 ⊆ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∨ 𝐵 ⊆ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))))))
8		h0elch 31314	. . . . 5 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
9	8	elimel 4526	. . . 4 ⊢ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∈ Cℋ
10	9	atordi 32443	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) 𝐶ℋ 𝐵) → (𝐵 ⊆ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ) ∨ 𝐵 ⊆ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, 0ℋ))))
11	7, 10	dedth 4515	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ∨ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))))
12	11	3impib 1117	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝐵) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ∨ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3885  ifcif 4456   class class class wbr 5074  ‘cfv 6487   C_ℋ cch 30988  ⊥cort 30989  0_ℋc0h 30994   𝐶_ℋ ccm 30995  HAtomscat 31024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-inf2 9551  ax-cc 10346  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106  ax-mulf 11107  ax-hilex 31058  ax-hfvadd 31059  ax-hvcom 31060  ax-hvass 31061  ax-hv0cl 31062  ax-hvaddid 31063  ax-hfvmul 31064  ax-hvmulid 31065  ax-hvmulass 31066  ax-hvdistr1 31067  ax-hvdistr2 31068  ax-hvmul0 31069  ax-hfi 31138  ax-his1 31141  ax-his2 31142  ax-his3 31143  ax-his4 31144  ax-hcompl 31261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-omul 8399  df-er 8632  df-map 8764  df-pm 8765  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9264  df-fi 9313  df-sup 9344  df-inf 9345  df-oi 9414  df-card 9852  df-acn 9855  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-xmul 13054  df-ioo 13291  df-ico 13293  df-icc 13294  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-seq 13953  df-exp 14013  df-hash 14282  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15638  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-hom 17233  df-cco 17234  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18741  df-mulg 19033  df-cntz 19281  df-cmn 19746  df-psmet 21333  df-xmet 21334  df-met 21335  df-bl 21336  df-mopn 21337  df-fbas 21338  df-fg 21339  df-cnfld 21342  df-top 22847  df-topon 22864  df-topsp 22886  df-bases 22899  df-cld 22972  df-ntr 22973  df-cls 22974  df-nei 23051  df-cn 23180  df-cnp 23181  df-lm 23182  df-haus 23268  df-tx 23515  df-hmeo 23708  df-fil 23799  df-fm 23891  df-flim 23892  df-flf 23893  df-xms 24273  df-ms 24274  df-tms 24275  df-cfil 25210  df-cau 25211  df-cmet 25212  df-grpo 30552  df-gid 30553  df-ginv 30554  df-gdiv 30555  df-ablo 30604  df-vc 30618  df-nv 30651  df-va 30654  df-ba 30655  df-sm 30656  df-0v 30657  df-vs 30658  df-nmcv 30659  df-ims 30660  df-dip 30760  df-ssp 30781  df-ph 30872  df-cbn 30922  df-hnorm 31027  df-hba 31028  df-hvsub 31030  df-hlim 31031  df-hcau 31032  df-sh 31266  df-ch 31280  df-oc 31311  df-ch0 31312  df-shs 31367  df-span 31368  df-chj 31369  df-chsup 31370  df-pjh 31454  df-cm 31642  df-cv 32338  df-at 32397

This theorem is referenced by: (None)