Theorem pj11 31249

Description: One-to-one correspondence of projection and subspace. (Contributed by NM, 24-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pj11	⊢ ((𝐺 ∈ Cℋ ∧ 𝐻 ∈ Cℋ ) → ((projℎ‘𝐺) = (projℎ‘𝐻) ↔ 𝐺 = 𝐻))

Proof of Theorem pj11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveqeq2 6900	. . 3 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, 0ℋ) → ((projℎ‘𝐺) = (projℎ‘𝐻) ↔ (projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, 0ℋ)) = (projℎ‘𝐻)))
2		eqeq1 2735	. . 3 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, 0ℋ) → (𝐺 = 𝐻 ↔ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, 0ℋ) = 𝐻))
3	1, 2	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝐺 = if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, 0ℋ) → (((projℎ‘𝐺) = (projℎ‘𝐻) ↔ 𝐺 = 𝐻) ↔ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, 0ℋ)) = (projℎ‘𝐻) ↔ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, 0ℋ) = 𝐻)))
4		fveq2 6891	. . . 4 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, 0ℋ) → (projℎ‘𝐻) = (projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, 0ℋ)))
5	4	eqeq2d 2742	. . 3 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, 0ℋ) → ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, 0ℋ)) = (projℎ‘𝐻) ↔ (projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, 0ℋ)) = (projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, 0ℋ))))
6		eqeq2 2743	. . 3 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, 0ℋ) → (if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, 0ℋ) = 𝐻 ↔ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, 0ℋ) = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, 0ℋ)))
7	5, 6	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝐻 = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, 0ℋ) → (((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, 0ℋ)) = (projℎ‘𝐻) ↔ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, 0ℋ) = 𝐻) ↔ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, 0ℋ)) = (projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, 0ℋ)) ↔ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, 0ℋ) = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, 0ℋ))))
8		h0elch 30790	. . . 4 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
9	8	elimel 4597	. . 3 ⊢ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, 0ℋ) ∈ Cℋ
10	8	elimel 4597	. . 3 ⊢ if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, 0ℋ) ∈ Cℋ
11	9, 10	pj11i 31246	. 2 ⊢ ((projℎ‘if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, 0ℋ)) = (projℎ‘if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, 0ℋ)) ↔ if(𝐺 ∈ Cℋ , 𝐺, 0ℋ) = if(𝐻 ∈ Cℋ , 𝐻, 0ℋ))
12	3, 7, 11	dedth2h 4587	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Cℋ ∧ 𝐻 ∈ Cℋ ) → ((projℎ‘𝐺) = (projℎ‘𝐻) ↔ 𝐺 = 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ifcif 4528  ‘cfv 6543   C_ℋ cch 30464  0_ℋc0h 30470  proj_ℎcpjh 30472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cc 10436  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-mulf 11196  ax-hilex 30534  ax-hfvadd 30535  ax-hvcom 30536  ax-hvass 30537  ax-hv0cl 30538  ax-hvaddid 30539  ax-hfvmul 30540  ax-hvmulid 30541  ax-hvmulass 30542  ax-hvdistr1 30543  ax-hvdistr2 30544  ax-hvmul0 30545  ax-hfi 30614  ax-his1 30617  ax-his2 30618  ax-his3 30619  ax-his4 30620  ax-hcompl 30737

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-oadd 8476  df-omul 8477  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-acn 9943  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-submnd 18709  df-mulg 18991  df-cntz 19226  df-cmn 19695  df-psmet 21140  df-xmet 21141  df-met 21142  df-bl 21143  df-mopn 21144  df-fbas 21145  df-fg 21146  df-cnfld 21149  df-top 22629  df-topon 22646  df-topsp 22668  df-bases 22682  df-cld 22756  df-ntr 22757  df-cls 22758  df-nei 22835  df-cn 22964  df-cnp 22965  df-lm 22966  df-haus 23052  df-tx 23299  df-hmeo 23492  df-fil 23583  df-fm 23675  df-flim 23676  df-flf 23677  df-xms 24059  df-ms 24060  df-tms 24061  df-cfil 25016  df-cau 25017  df-cmet 25018  df-grpo 30028  df-gid 30029  df-ginv 30030  df-gdiv 30031  df-ablo 30080  df-vc 30094  df-nv 30127  df-va 30130  df-ba 30131  df-sm 30132  df-0v 30133  df-vs 30134  df-nmcv 30135  df-ims 30136  df-dip 30236  df-ssp 30257  df-ph 30348  df-cbn 30398  df-hnorm 30503  df-hba 30504  df-hvsub 30506  df-hlim 30507  df-hcau 30508  df-sh 30742  df-ch 30756  df-oc 30787  df-ch0 30788  df-shs 30843  df-pjh 30930

This theorem is referenced by:  pjmf1  31251