Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem38 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lcfrlem38 42730
Description: Lemma for lcfr 42735. Combine lcfrlem27 42719 and lcfrlem37 42729. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem38.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem38.o ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem38.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem38.p + = (+g‘𝑈)
lcfrlem38.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrlem38.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem38.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem38.q 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
lcfrlem38.c 𝐶 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcfrlem38.e 𝐸 = ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
lcfrlem38.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfrlem38.g (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)
lcfrlem38.gs (𝜑 → 𝐺 ⊆ 𝐶)
lcfrlem38.xe (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
lcfrlem38.ye (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐸)
lcfrlem38.z 0 = (0g‘𝑈)
lcfrlem38.x (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
lcfrlem38.y (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
lcfrlem38.sp 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem38.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lcfrlem38.b 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
lcfrlem38.i (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
lcfrlem38.n (𝜑 → 𝐼 ≠ 0 )
lcfrlem38.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem38.t · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lcfrlem38.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem38.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfrlem38.j 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem38 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑔,𝑘,𝐷   𝑔,𝐺,𝑘   𝑔,𝐼,𝑘   𝑓,𝑔,𝑘,𝐽   𝑓,𝐿,𝑔,𝑘   𝑣,𝑓,𝑤,𝑥, ⊥ ,𝑔,𝑘   + ,𝑓,𝑔,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑅,𝑓,𝑘,𝑣,𝑥   𝑆,𝑔,𝑘   · ,𝑓,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑈,𝑓,𝑔,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑓,𝑉,𝑔,𝑣,𝑥   𝑓,𝑋,𝑔,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑓,𝑌,𝑔,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   0 ,𝑓,𝑔,𝑘,𝑥   𝜑,𝑔,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓)   𝐵(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑔, 𝑘)   𝐶(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑔, 𝑘)   𝐷(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓)   𝑄(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑔, 𝑘)   𝑅(𝑤, 𝑔)   𝑆(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓)   · (𝑔)   𝐸(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑔, 𝑘)   𝐹(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑔, 𝑘)   𝐺(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓)   𝐻(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑔, 𝑘)   𝐼(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓)   𝐽(𝑥, 𝑤, 𝑣)   𝐾(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑔, 𝑘)   𝐿(𝑥, 𝑤, 𝑣)   𝑁(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑔, 𝑘)   𝑉(𝑤, 𝑘)   𝑊(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑓, 𝑔, 𝑘)   0 (𝑤, 𝑣)
Proof of Theorem lcfrlem38
StepHypRef Expression
1 lcfrlem38.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcfrlem38.o . . 3 ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 lcfrlem38.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 lcfrlem38.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 lcfrlem38.p . . 3 + = (+g‘𝑈)
6 lcfrlem38.z . . 3 0 = (0g‘𝑈)
7 lcfrlem38.sp . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8 eqid 2760 . . 3 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
9 lcfrlem38.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
109adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11 lcfrlem38.l . . . . . 6 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12 lcfrlem38.d . . . . . 6 𝐷 = (LDual‘𝑈)
13 lcfrlem38.q . . . . . 6 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
14 lcfrlem38.e . . . . . 6 𝐸 = ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
15 lcfrlem38.g . . . . . 6 (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)
16 lcfrlem38.xe . . . . . 6 (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
171, 2, 3, 4, 11, 12, 13, 14, 9, 15, 16lcfrlem4 42695 . . . . 5 (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
18 lcfrlem38.x . . . . 5 (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
19 eldifsn 4744 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
2017, 18, 19sylanbrc 595 . . . 4 (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2120adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22 lcfrlem38.ye . . . . . 6 (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐸)
231, 2, 3, 4, 11, 12, 13, 14, 9, 15, 22lcfrlem4 42695 . . . . 5 (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
24 lcfrlem38.y . . . . 5 (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
25 eldifsn 4744 . . . . 5 (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ≠ 0 ))
2623, 24, 25sylanbrc 595 . . . 4 (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2726adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
28 lcfrlem38.ne . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2928adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
30 lcfrlem38.b . . 3 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
31 lcfrlem38.t . . 3 · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
32 lcfrlem38.s . . 3 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
33 eqid 2760 . . 3 (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
34 lcfrlem38.r . . 3 𝑅 = (Base‘𝑆)
35 lcfrlem38.j . . 3 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
36 lcfrlem38.i . . . 4 (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
3736adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → 𝐼 ∈ 𝐵)
38 simpr 490 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆))
39 lcfrlem38.n . . . 4 (𝜑 → 𝐼 ≠ 0 )
4039adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → 𝐼 ≠ 0 )
4115, 13eleqtrdi 2870 . . . 4 (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝐷))
4241adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝐷))
43 lcfrlem38.gs . . . . 5 (𝜑 → 𝐺 ⊆ 𝐶)
44 lcfrlem38.c . . . . 5 𝐶 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
4543, 44sseqtrdi 3948 . . . 4 (𝜑 → 𝐺 ⊆ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)})
4645adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → 𝐺 ⊆ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)})
4716adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → 𝑋 ∈ 𝐸)
4822adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → 𝑌 ∈ 𝐸)
491, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 21, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 11, 12, 38, 40, 42, 46, 14, 47, 48lcfrlem27 42719 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
509adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
5120adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5226adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5328adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
5436adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → 𝐼 ∈ 𝐵)
55 simpr 490 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆))
56 eqid 2760 . . 3 (invr‘𝑆) = (invr‘𝑆)
57 eqid 2760 . . 3 (-g‘𝐷) = (-g‘𝐷)
58 eqid 2760 . . 3 ((𝐽‘𝑋)(-g‘𝐷)((((invr‘𝑆)‘((𝐽‘𝑌)‘𝐼))(.r‘𝑆)((𝐽‘𝑋)‘𝐼))( ·𝑠 ‘𝐷)(𝐽‘𝑌))) = ((𝐽‘𝑋)(-g‘𝐷)((((invr‘𝑆)‘((𝐽‘𝑌)‘𝐼))(.r‘𝑆)((𝐽‘𝑋)‘𝐼))( ·𝑠 ‘𝐷)(𝐽‘𝑌)))
5941adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝐷))
6045adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → 𝐺 ⊆ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)})
6116adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → 𝑋 ∈ 𝐸)
6222adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → 𝑌 ∈ 𝐸)
631, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 50, 51, 52, 53, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 54, 11, 12, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 14, 61, 62lcfrlem37 42729 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
6449, 63pm2.61dane 3042 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Colors of variables:    wff setvar class
This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089  {csn 4584  {cpr 4586  ∪ ciun 4950   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  ℩crio 7376  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  +gcplusg 17433  .rcmulr 17434  Scalarcsca 17436   ·𝑠 cvsca 17437  0gc0g 17615  -gcsg 19151  invrcinvr 20622  LSubSpclss 21211  LSpanclspn 21251  LSAtomsclsa 40124  LFnlclfn 40207  LKerclk 40235  LDualcld 40273  HLchlt 40500  LHypclh 41134  DVecHcdvh 42228  ocHcoch 42497
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-riotaBAD 40103
This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8246  df-undef 8293  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-0g 17617  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-proset 18473  df-poset 18492  df-plt 18507  df-lub 18523  df-glb 18524  df-join 18525  df-meet 18526  df-p0 18602  df-p1 18603  df-lat 18611  df-clat 18678  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-sbg 19154  df-subg 19338  df-cntz 19536  df-oppg 19565  df-lsm 19855  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-ring 20466  df-oppr 20572  df-dvdsr 20592  df-unit 20593  df-invr 20623  df-dvr 20636  df-nzr 20768  df-rlreg 20951  df-domn 20952  df-drng 20987  df-lmod 21142  df-lss 21212  df-lsp 21252  df-lvec 21383  df-lsatoms 40126  df-lshyp 40127  df-lcv 40169  df-lfl 40208  df-lkr 40236  df-ldual 40274  df-oposet 40326  df-ol 40328  df-oml 40329  df-covers 40416  df-ats 40417  df-atl 40448  df-cvlat 40472  df-hlat 40501  df-llines 40648  df-lplanes 40649  df-lvols 40650  df-lines 40651  df-psubsp 40653  df-pmap 40654  df-padd 40946  df-lhyp 41138  df-laut 41139  df-ldil 41254  df-ltrn 41255  df-trl 41309  df-tgrp 41893  df-tendo 41905  df-edring 41907  df-dveca 42153  df-disoa 42179  df-dvech 42229  df-dib 42289  df-dic 42323  df-dih 42379  df-doch 42498  df-djh 42545
This theorem is used by:  lcfrlem39  42731
  Copyright terms: Public domain W3C validator