Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem38 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lcfrlem38 39250
Description: Lemma for lcfr 39255. Combine lcfrlem27 39239 and lcfrlem37 39249. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem38.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem38.o ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem38.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem38.p + = (+g‘𝑈)
lcfrlem38.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrlem38.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem38.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem38.q 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
lcfrlem38.c 𝐶 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcfrlem38.e 𝐸 = ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
lcfrlem38.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfrlem38.g (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)
lcfrlem38.gs (𝜑 → 𝐺 ⊆ 𝐶)
lcfrlem38.xe (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
lcfrlem38.ye (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐸)
lcfrlem38.z 0 = (0g‘𝑈)
lcfrlem38.x (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
lcfrlem38.y (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
lcfrlem38.sp 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem38.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lcfrlem38.b 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
lcfrlem38.i (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
lcfrlem38.n (𝜑 → 𝐼 ≠ 0 )
lcfrlem38.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem38.t · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lcfrlem38.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem38.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfrlem38.j 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem38 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑔,𝑘,𝐷   𝑔,𝐺,𝑘   𝑔,𝐼,𝑘   𝑓,𝑔,𝑘,𝐽   𝑓,𝐿,𝑔,𝑘   𝑣,𝑓,𝑤,𝑥, ⊥ ,𝑔,𝑘   + ,𝑓,𝑔,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑅,𝑓,𝑘,𝑣,𝑥   𝑆,𝑔,𝑘   · ,𝑓,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑈,𝑓,𝑔,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑓,𝑉,𝑔,𝑣,𝑥   𝑓,𝑋,𝑔,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑓,𝑌,𝑔,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   0 ,𝑓,𝑔,𝑘,𝑥   𝜑,𝑔,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝐵(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝑄(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝑅(𝑤,𝑔)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   · (𝑔)   𝐸(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐼(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝐽(𝑥,𝑤,𝑣)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣)   𝑁(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   0 (𝑤,𝑣)
Proof of Theorem lcfrlem38
StepHypRef Expression
1 lcfrlem38.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcfrlem38.o . . 3 ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 lcfrlem38.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 lcfrlem38.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 lcfrlem38.p . . 3 + = (+g‘𝑈)
6 lcfrlem38.z . . 3 0 = (0g‘𝑈)
7 lcfrlem38.sp . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8 eqid 2739 . . 3 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
9 lcfrlem38.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
109adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11 lcfrlem38.l . . . . . 6 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12 lcfrlem38.d . . . . . 6 𝐷 = (LDual‘𝑈)
13 lcfrlem38.q . . . . . 6 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
14 lcfrlem38.e . . . . . 6 𝐸 = ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
15 lcfrlem38.g . . . . . 6 (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)
16 lcfrlem38.xe . . . . . 6 (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
171, 2, 3, 4, 11, 12, 13, 14, 9, 15, 16lcfrlem4 39215 . . . . 5 (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
18 lcfrlem38.x . . . . 5 (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
19 eldifsn 4685 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
2017, 18, 19sylanbrc 586 . . . 4 (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2120adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22 lcfrlem38.ye . . . . . 6 (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐸)
231, 2, 3, 4, 11, 12, 13, 14, 9, 15, 22lcfrlem4 39215 . . . . 5 (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
24 lcfrlem38.y . . . . 5 (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
25 eldifsn 4685 . . . . 5 (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ≠ 0 ))
2623, 24, 25sylanbrc 586 . . . 4 (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2726adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
28 lcfrlem38.ne . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2928adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
30 lcfrlem38.b . . 3 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
31 lcfrlem38.t . . 3 · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
32 lcfrlem38.s . . 3 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
33 eqid 2739 . . 3 (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
34 lcfrlem38.r . . 3 𝑅 = (Base‘𝑆)
35 lcfrlem38.j . . 3 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
36 lcfrlem38.i . . . 4 (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
3736adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → 𝐼 ∈ 𝐵)
38 simpr 488 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆))
39 lcfrlem38.n . . . 4 (𝜑 → 𝐼 ≠ 0 )
4039adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → 𝐼 ≠ 0 )
4115, 13eleqtrdi 2844 . . . 4 (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝐷))
4241adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝐷))
43 lcfrlem38.gs . . . . 5 (𝜑 → 𝐺 ⊆ 𝐶)
44 lcfrlem38.c . . . . 5 𝐶 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
4543, 44sseqtrdi 3937 . . . 4 (𝜑 → 𝐺 ⊆ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)})
4645adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → 𝐺 ⊆ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)})
4716adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → 𝑋 ∈ 𝐸)
4822adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → 𝑌 ∈ 𝐸)
491, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 21, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 11, 12, 38, 40, 42, 46, 14, 47, 48lcfrlem27 39239 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
509adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
5120adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5226adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5328adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
5436adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → 𝐼 ∈ 𝐵)
55 simpr 488 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆))
56 eqid 2739 . . 3 (invr‘𝑆) = (invr‘𝑆)
57 eqid 2739 . . 3 (-g‘𝐷) = (-g‘𝐷)
58 eqid 2739 . . 3 ((𝐽‘𝑋)(-g‘𝐷)((((invr‘𝑆)‘((𝐽‘𝑌)‘𝐼))(.r‘𝑆)((𝐽‘𝑋)‘𝐼))( ·𝑠 ‘𝐷)(𝐽‘𝑌))) = ((𝐽‘𝑋)(-g‘𝐷)((((invr‘𝑆)‘((𝐽‘𝑌)‘𝐼))(.r‘𝑆)((𝐽‘𝑋)‘𝐼))( ·𝑠 ‘𝐷)(𝐽‘𝑌)))
5941adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝐷))
6045adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → 𝐺 ⊆ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)})
6116adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → 𝑋 ∈ 𝐸)
6222adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → 𝑌 ∈ 𝐸)
631, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 50, 51, 52, 53, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 54, 11, 12, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 14, 61, 62lcfrlem37 39249 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
6449, 63pm2.61dane 3022 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2935  ∃wrex 3055  {crab 3058   ∖ cdif 3850   ∩ cin 3852   ⊆ wss 3853  {csn 4526  {cpr 4528  ∪ ciun 4891   ↦ cmpt 5120  ‘cfv 6350  ℩crio 7139  (class class class)co 7183  Basecbs 16599  +gcplusg 16681  .rcmulr 16682  Scalarcsca 16684   ·𝑠 cvsca 16685  0gc0g 16829  -gcsg 18234  invrcinvr 19556  LSubSpclss 19835  LSpanclspn 19875  LSAtomsclsa 36644  LFnlclfn 36727  LKerclk 36755  LDualcld 36793  HLchlt 37020  LHypclh 37654  DVecHcdvh 38748  ocHcoch 39017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705  ax-riotaBAD 36623
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-of 7438  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-tpos 7934  df-undef 7981  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-er 8333  df-map 8452  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-4 11794  df-5 11795  df-6 11796  df-n0 11990  df-z 12076  df-uz 12338  df-fz 12995  df-struct 16601  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-ress 16607  df-plusg 16694  df-mulr 16695  df-sca 16697  df-vsca 16698  df-0g 16831  df-mre 16973  df-mrc 16974  df-acs 16976  df-proset 17667  df-poset 17685  df-plt 17697  df-lub 17713  df-glb 17714  df-join 17715  df-meet 17716  df-p0 17778  df-p1 17779  df-lat 17785  df-clat 17847  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-submnd 18086  df-grp 18235  df-minusg 18236  df-sbg 18237  df-subg 18407  df-cntz 18578  df-oppg 18605  df-lsm 18892  df-cmn 19039  df-abl 19040  df-mgp 19372  df-ur 19384  df-ring 19431  df-oppr 19508  df-dvdsr 19526  df-unit 19527  df-invr 19557  df-dvr 19568  df-drng 19636  df-lmod 19768  df-lss 19836  df-lsp 19876  df-lvec 20007  df-lsatoms 36646  df-lshyp 36647  df-lcv 36689  df-lfl 36728  df-lkr 36756  df-ldual 36794  df-oposet 36846  df-ol 36848  df-oml 36849  df-covers 36936  df-ats 36937  df-atl 36968  df-cvlat 36992  df-hlat 37021  df-llines 37168  df-lplanes 37169  df-lvols 37170  df-lines 37171  df-psubsp 37173  df-pmap 37174  df-padd 37466  df-lhyp 37658  df-laut 37659  df-ldil 37774  df-ltrn 37775  df-trl 37829  df-tgrp 38413  df-tendo 38425  df-edring 38427  df-dveca 38673  df-disoa 38699  df-dvech 38749  df-dib 38809  df-dic 38843  df-dih 38899  df-doch 39018  df-djh 39065
This theorem is referenced by:  lcfrlem39  39251
  Copyright terms: Public domain W3C validator