Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem38 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lcfrlem38 41577
Description: Lemma for lcfr 41582. Combine lcfrlem27 41566 and lcfrlem37 41576. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem38.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem38.o ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem38.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem38.p + = (+g‘𝑈)
lcfrlem38.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrlem38.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem38.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem38.q 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
lcfrlem38.c 𝐶 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcfrlem38.e 𝐸 = ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
lcfrlem38.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfrlem38.g (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)
lcfrlem38.gs (𝜑 → 𝐺 ⊆ 𝐶)
lcfrlem38.xe (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
lcfrlem38.ye (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐸)
lcfrlem38.z 0 = (0g‘𝑈)
lcfrlem38.x (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
lcfrlem38.y (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
lcfrlem38.sp 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem38.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lcfrlem38.b 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
lcfrlem38.i (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
lcfrlem38.n (𝜑 → 𝐼 ≠ 0 )
lcfrlem38.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem38.t · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lcfrlem38.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem38.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfrlem38.j 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem38 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑔,𝑘,𝐷   𝑔,𝐺,𝑘   𝑔,𝐼,𝑘   𝑓,𝑔,𝑘,𝐽   𝑓,𝐿,𝑔,𝑘   𝑣,𝑓,𝑤,𝑥, ⊥ ,𝑔,𝑘   + ,𝑓,𝑔,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑅,𝑓,𝑘,𝑣,𝑥   𝑆,𝑔,𝑘   · ,𝑓,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑈,𝑓,𝑔,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑓,𝑉,𝑔,𝑣,𝑥   𝑓,𝑋,𝑔,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑓,𝑌,𝑔,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   0 ,𝑓,𝑔,𝑘,𝑥   𝜑,𝑔,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝐵(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝑄(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝑅(𝑤,𝑔)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   · (𝑔)   𝐸(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐼(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝐽(𝑥,𝑤,𝑣)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣)   𝑁(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   0 (𝑤,𝑣)
Proof of Theorem lcfrlem38
StepHypRef Expression
1 lcfrlem38.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcfrlem38.o . . 3 ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 lcfrlem38.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 lcfrlem38.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 lcfrlem38.p . . 3 + = (+g‘𝑈)
6 lcfrlem38.z . . 3 0 = (0g‘𝑈)
7 lcfrlem38.sp . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8 eqid 2737 . . 3 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
9 lcfrlem38.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
109adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11 lcfrlem38.l . . . . . 6 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12 lcfrlem38.d . . . . . 6 𝐷 = (LDual‘𝑈)
13 lcfrlem38.q . . . . . 6 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
14 lcfrlem38.e . . . . . 6 𝐸 = ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
15 lcfrlem38.g . . . . . 6 (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)
16 lcfrlem38.xe . . . . . 6 (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
171, 2, 3, 4, 11, 12, 13, 14, 9, 15, 16lcfrlem4 41542 . . . . 5 (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
18 lcfrlem38.x . . . . 5 (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
19 eldifsn 4794 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
2017, 18, 19sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2120adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22 lcfrlem38.ye . . . . . 6 (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐸)
231, 2, 3, 4, 11, 12, 13, 14, 9, 15, 22lcfrlem4 41542 . . . . 5 (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
24 lcfrlem38.y . . . . 5 (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
25 eldifsn 4794 . . . . 5 (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ≠ 0 ))
2623, 24, 25sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2726adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
28 lcfrlem38.ne . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2928adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
30 lcfrlem38.b . . 3 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
31 lcfrlem38.t . . 3 · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
32 lcfrlem38.s . . 3 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
33 eqid 2737 . . 3 (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
34 lcfrlem38.r . . 3 𝑅 = (Base‘𝑆)
35 lcfrlem38.j . . 3 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
36 lcfrlem38.i . . . 4 (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
3736adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → 𝐼 ∈ 𝐵)
38 simpr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆))
39 lcfrlem38.n . . . 4 (𝜑 → 𝐼 ≠ 0 )
4039adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → 𝐼 ≠ 0 )
4115, 13eleqtrdi 2851 . . . 4 (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝐷))
4241adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝐷))
43 lcfrlem38.gs . . . . 5 (𝜑 → 𝐺 ⊆ 𝐶)
44 lcfrlem38.c . . . . 5 𝐶 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
4543, 44sseqtrdi 4049 . . . 4 (𝜑 → 𝐺 ⊆ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)})
4645adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → 𝐺 ⊆ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)})
4716adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → 𝑋 ∈ 𝐸)
4822adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → 𝑌 ∈ 𝐸)
491, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 21, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 11, 12, 38, 40, 42, 46, 14, 47, 48lcfrlem27 41566 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
509adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
5120adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5226adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5328adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
5436adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → 𝐼 ∈ 𝐵)
55 simpr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆))
56 eqid 2737 . . 3 (invr‘𝑆) = (invr‘𝑆)
57 eqid 2737 . . 3 (-g‘𝐷) = (-g‘𝐷)
58 eqid 2737 . . 3 ((𝐽‘𝑋)(-g‘𝐷)((((invr‘𝑆)‘((𝐽‘𝑌)‘𝐼))(.r‘𝑆)((𝐽‘𝑋)‘𝐼))( ·𝑠 ‘𝐷)(𝐽‘𝑌))) = ((𝐽‘𝑋)(-g‘𝐷)((((invr‘𝑆)‘((𝐽‘𝑌)‘𝐼))(.r‘𝑆)((𝐽‘𝑋)‘𝐼))( ·𝑠 ‘𝐷)(𝐽‘𝑌)))
5941adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝐷))
6045adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → 𝐺 ⊆ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)})
6116adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → 𝑋 ∈ 𝐸)
6222adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → 𝑌 ∈ 𝐸)
631, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 50, 51, 52, 53, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 54, 11, 12, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 14, 61, 62lcfrlem37 41576 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
6449, 63pm2.61dane 3029 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070  {crab 3436   ∖ cdif 3963   ∩ cin 3965   ⊆ wss 3966  {csn 4634  {cpr 4636  ∪ ciun 4999   ↦ cmpt 5234  ‘cfv 6569  ℩crio 7394  (class class class)co 7438  Basecbs 17254  +gcplusg 17307  .rcmulr 17308  Scalarcsca 17310   ·𝑠 cvsca 17311  0gc0g 17495  -gcsg 18975  invrcinvr 20413  LSubSpclss 20956  LSpanclspn 20996  LSAtomsclsa 38970  LFnlclfn 39053  LKerclk 39081  LDualcld 39119  HLchlt 39346  LHypclh 39981  DVecHcdvh 41075  ocHcoch 41344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239  ax-riotaBAD 38949
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-tp 4639  df-op 4641  df-uni 4916  df-int 4955  df-iun 5001  df-iin 5002  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-of 7704  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-tpos 8259  df-undef 8306  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8753  df-map 8876  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-fin 8997  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-4 12338  df-5 12339  df-6 12340  df-n0 12534  df-z 12621  df-uz 12886  df-fz 13554  df-struct 17190  df-sets 17207  df-slot 17225  df-ndx 17237  df-base 17255  df-ress 17284  df-plusg 17320  df-mulr 17321  df-sca 17323  df-vsca 17324  df-0g 17497  df-mre 17640  df-mrc 17641  df-acs 17643  df-proset 18361  df-poset 18380  df-plt 18397  df-lub 18413  df-glb 18414  df-join 18415  df-meet 18416  df-p0 18492  df-p1 18493  df-lat 18499  df-clat 18566  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-oppg 19386  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-nzr 20539  df-rlreg 20720  df-domn 20721  df-drng 20757  df-lmod 20886  df-lss 20957  df-lsp 20997  df-lvec 21129  df-lsatoms 38972  df-lshyp 38973  df-lcv 39015  df-lfl 39054  df-lkr 39082  df-ldual 39120  df-oposet 39172  df-ol 39174  df-oml 39175  df-covers 39262  df-ats 39263  df-atl 39294  df-cvlat 39318  df-hlat 39347  df-llines 39495  df-lplanes 39496  df-lvols 39497  df-lines 39498  df-psubsp 39500  df-pmap 39501  df-padd 39793  df-lhyp 39985  df-laut 39986  df-ldil 40101  df-ltrn 40102  df-trl 40156  df-tgrp 40740  df-tendo 40752  df-edring 40754  df-dveca 41000  df-disoa 41026  df-dvech 41076  df-dib 41136  df-dic 41170  df-dih 41226  df-doch 41345  df-djh 41392
This theorem is referenced by:  lcfrlem39  41578
  Copyright terms: Public domain W3C validator