Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem38 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lcfrlem38 40755
Description: Lemma for lcfr 40760. Combine lcfrlem27 40744 and lcfrlem37 40754. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem38.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
lcfrlem38.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfrlem38.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfrlem38.p + = (+gβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem38.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem38.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem38.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem38.q 𝑄 = (LSubSpβ€˜π·)
lcfrlem38.c 𝐢 = {𝑓 ∈ (LFnlβ€˜π‘ˆ) ∣ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“)}
lcfrlem38.e 𝐸 = βˆͺ 𝑔 ∈ 𝐺 ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”))
lcfrlem38.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
lcfrlem38.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑄)
lcfrlem38.gs (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† 𝐢)
lcfrlem38.xe (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐸)
lcfrlem38.ye (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐸)
lcfrlem38.z 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem38.x (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0 )
lcfrlem38.y (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  0 )
lcfrlem38.sp 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem38.ne (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
lcfrlem38.b 𝐡 = ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}))
lcfrlem38.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐡)
lcfrlem38.n (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  0 )
lcfrlem38.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem38.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
lcfrlem38.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem38.r 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
lcfrlem38.j 𝐽 = (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem38 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑔,π‘˜,𝐷   𝑔,𝐺,π‘˜   𝑔,𝐼,π‘˜   𝑓,𝑔,π‘˜,𝐽   𝑓,𝐿,𝑔,π‘˜   𝑣,𝑓,𝑀,π‘₯, βŠ₯ ,𝑔,π‘˜   + ,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑣,𝑀,π‘₯   𝑅,𝑓,π‘˜,𝑣,π‘₯   𝑆,𝑔,π‘˜   Β· ,𝑓,π‘˜,𝑣,𝑀,π‘₯   π‘ˆ,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑣,𝑀,π‘₯   𝑓,𝑉,𝑔,𝑣,π‘₯   𝑓,𝑋,𝑔,π‘˜,𝑣,𝑀,π‘₯   𝑓,π‘Œ,𝑔,π‘˜,𝑣,𝑀,π‘₯   0 ,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘₯   πœ‘,𝑔,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓)   𝐡(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓,𝑔,π‘˜)   𝐢(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓,𝑔,π‘˜)   𝐷(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓)   𝑄(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓,𝑔,π‘˜)   𝑅(𝑀,𝑔)   𝑆(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓)   Β· (𝑔)   𝐸(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓,𝑔,π‘˜)   𝐹(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓,𝑔,π‘˜)   𝐺(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓)   𝐻(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓,𝑔,π‘˜)   𝐼(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓)   𝐽(π‘₯,𝑀,𝑣)   𝐾(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓,𝑔,π‘˜)   𝐿(π‘₯,𝑀,𝑣)   𝑁(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓,𝑔,π‘˜)   𝑉(𝑀,π‘˜)   π‘Š(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓,𝑔,π‘˜)   0 (𝑀,𝑣)
Proof of Theorem lcfrlem38
StepHypRef Expression
1 lcfrlem38.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 lcfrlem38.o . . 3 βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 lcfrlem38.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 lcfrlem38.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
5 lcfrlem38.p . . 3 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
6 lcfrlem38.z . . 3 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
7 lcfrlem38.sp . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
8 eqid 2731 . . 3 (LSAtomsβ€˜π‘ˆ) = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
9 lcfrlem38.k . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
109adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) = (0gβ€˜π‘†)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
11 lcfrlem38.l . . . . . 6 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
12 lcfrlem38.d . . . . . 6 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
13 lcfrlem38.q . . . . . 6 𝑄 = (LSubSpβ€˜π·)
14 lcfrlem38.e . . . . . 6 𝐸 = βˆͺ 𝑔 ∈ 𝐺 ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”))
15 lcfrlem38.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑄)
16 lcfrlem38.xe . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐸)
171, 2, 3, 4, 11, 12, 13, 14, 9, 15, 16lcfrlem4 40720 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
18 lcfrlem38.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0 )
19 eldifsn 4790 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ))
2017, 18, 19sylanbrc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
2120adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) = (0gβ€˜π‘†)) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
22 lcfrlem38.ye . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐸)
231, 2, 3, 4, 11, 12, 13, 14, 9, 15, 22lcfrlem4 40720 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
24 lcfrlem38.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  0 )
25 eldifsn 4790 . . . . 5 (π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↔ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ β‰  0 ))
2623, 24, 25sylanbrc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
2726adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) = (0gβ€˜π‘†)) β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
28 lcfrlem38.ne . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
2928adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) = (0gβ€˜π‘†)) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
30 lcfrlem38.b . . 3 𝐡 = ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}))
31 lcfrlem38.t . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
32 lcfrlem38.s . . 3 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
33 eqid 2731 . . 3 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
34 lcfrlem38.r . . 3 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
35 lcfrlem38.j . . 3 𝐽 = (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))))
36 lcfrlem38.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐡)
3736adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) = (0gβ€˜π‘†)) β†’ 𝐼 ∈ 𝐡)
38 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) = (0gβ€˜π‘†)) β†’ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) = (0gβ€˜π‘†))
39 lcfrlem38.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  0 )
4039adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) = (0gβ€˜π‘†)) β†’ 𝐼 β‰  0 )
4115, 13eleqtrdi 2842 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π·))
4241adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) = (0gβ€˜π‘†)) β†’ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π·))
43 lcfrlem38.gs . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† 𝐢)
44 lcfrlem38.c . . . . 5 𝐢 = {𝑓 ∈ (LFnlβ€˜π‘ˆ) ∣ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“)}
4543, 44sseqtrdi 4032 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† {𝑓 ∈ (LFnlβ€˜π‘ˆ) ∣ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“)})
4645adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) = (0gβ€˜π‘†)) β†’ 𝐺 βŠ† {𝑓 ∈ (LFnlβ€˜π‘ˆ) ∣ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“)})
4716adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) = (0gβ€˜π‘†)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐸)
4822adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) = (0gβ€˜π‘†)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐸)
491, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 21, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 11, 12, 38, 40, 42, 46, 14, 47, 48lcfrlem27 40744 . 2 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) = (0gβ€˜π‘†)) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐸)
509adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
5120adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
5226adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
5328adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
5436adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ 𝐼 ∈ 𝐡)
55 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) β‰  (0gβ€˜π‘†))
56 eqid 2731 . . 3 (invrβ€˜π‘†) = (invrβ€˜π‘†)
57 eqid 2731 . . 3 (-gβ€˜π·) = (-gβ€˜π·)
58 eqid 2731 . . 3 ((π½β€˜π‘‹)(-gβ€˜π·)((((invrβ€˜π‘†)β€˜((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ))(.rβ€˜π‘†)((π½β€˜π‘‹)β€˜πΌ))( ·𝑠 β€˜π·)(π½β€˜π‘Œ))) = ((π½β€˜π‘‹)(-gβ€˜π·)((((invrβ€˜π‘†)β€˜((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ))(.rβ€˜π‘†)((π½β€˜π‘‹)β€˜πΌ))( ·𝑠 β€˜π·)(π½β€˜π‘Œ)))
5941adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ 𝐺 ∈ (LSubSpβ€˜π·))
6045adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ 𝐺 βŠ† {𝑓 ∈ (LFnlβ€˜π‘ˆ) ∣ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“)})
6116adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐸)
6222adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐸)
631, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 50, 51, 52, 53, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 54, 11, 12, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 14, 61, 62lcfrlem37 40754 . 2 ((πœ‘ ∧ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐸)
6449, 63pm2.61dane 3028 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆƒwrex 3069  {crab 3431   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {csn 4628  {cpr 4630  βˆͺ ciun 4997   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  β„©crio 7367  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  .rcmulr 17203  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  0gc0g 17390  -gcsg 18858  invrcinvr 20279  LSubSpclss 20687  LSpanclspn 20727  LSAtomsclsa 38148  LFnlclfn 38231  LKerclk 38259  LDualcld 38297  HLchlt 38524  LHypclh 39159  DVecHcdvh 40253  ocHcoch 40522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-riotaBAD 38127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-undef 8262  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-0g 17392  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18390  df-clat 18457  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-oppg 19252  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-drng 20503  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-lvec 20859  df-lsatoms 38150  df-lshyp 38151  df-lcv 38193  df-lfl 38232  df-lkr 38260  df-ldual 38298  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-llines 38673  df-lplanes 38674  df-lvols 38675  df-lines 38676  df-psubsp 38678  df-pmap 38679  df-padd 38971  df-lhyp 39163  df-laut 39164  df-ldil 39279  df-ltrn 39280  df-trl 39334  df-tgrp 39918  df-tendo 39930  df-edring 39932  df-dveca 40178  df-disoa 40204  df-dvech 40254  df-dib 40314  df-dic 40348  df-dih 40404  df-doch 40523  df-djh 40570
This theorem is referenced by:  lcfrlem39  40756
  Copyright terms: Public domain W3C validator