Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem38 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lcfrlem38 39594
Description: Lemma for lcfr 39599. Combine lcfrlem27 39583 and lcfrlem37 39593. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem38.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem38.o ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem38.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem38.p + = (+g‘𝑈)
lcfrlem38.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrlem38.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem38.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem38.q 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
lcfrlem38.c 𝐶 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcfrlem38.e 𝐸 = ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
lcfrlem38.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfrlem38.g (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)
lcfrlem38.gs (𝜑 → 𝐺 ⊆ 𝐶)
lcfrlem38.xe (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
lcfrlem38.ye (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐸)
lcfrlem38.z 0 = (0g‘𝑈)
lcfrlem38.x (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
lcfrlem38.y (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
lcfrlem38.sp 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem38.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lcfrlem38.b 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
lcfrlem38.i (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
lcfrlem38.n (𝜑 → 𝐼 ≠ 0 )
lcfrlem38.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem38.t · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lcfrlem38.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem38.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfrlem38.j 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem38 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑔,𝑘,𝐷   𝑔,𝐺,𝑘   𝑔,𝐼,𝑘   𝑓,𝑔,𝑘,𝐽   𝑓,𝐿,𝑔,𝑘   𝑣,𝑓,𝑤,𝑥, ⊥ ,𝑔,𝑘   + ,𝑓,𝑔,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑅,𝑓,𝑘,𝑣,𝑥   𝑆,𝑔,𝑘   · ,𝑓,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑈,𝑓,𝑔,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑓,𝑉,𝑔,𝑣,𝑥   𝑓,𝑋,𝑔,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑓,𝑌,𝑔,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   0 ,𝑓,𝑔,𝑘,𝑥   𝜑,𝑔,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝐵(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝑄(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝑅(𝑤,𝑔)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   · (𝑔)   𝐸(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐼(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝐽(𝑥,𝑤,𝑣)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣)   𝑁(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   0 (𝑤,𝑣)
Proof of Theorem lcfrlem38
StepHypRef Expression
1 lcfrlem38.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcfrlem38.o . . 3 ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 lcfrlem38.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 lcfrlem38.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 lcfrlem38.p . . 3 + = (+g‘𝑈)
6 lcfrlem38.z . . 3 0 = (0g‘𝑈)
7 lcfrlem38.sp . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8 eqid 2738 . . 3 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
9 lcfrlem38.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
109adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11 lcfrlem38.l . . . . . 6 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12 lcfrlem38.d . . . . . 6 𝐷 = (LDual‘𝑈)
13 lcfrlem38.q . . . . . 6 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
14 lcfrlem38.e . . . . . 6 𝐸 = ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
15 lcfrlem38.g . . . . . 6 (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)
16 lcfrlem38.xe . . . . . 6 (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
171, 2, 3, 4, 11, 12, 13, 14, 9, 15, 16lcfrlem4 39559 . . . . 5 (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
18 lcfrlem38.x . . . . 5 (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
19 eldifsn 4720 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
2017, 18, 19sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2120adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22 lcfrlem38.ye . . . . . 6 (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐸)
231, 2, 3, 4, 11, 12, 13, 14, 9, 15, 22lcfrlem4 39559 . . . . 5 (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
24 lcfrlem38.y . . . . 5 (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
25 eldifsn 4720 . . . . 5 (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ≠ 0 ))
2623, 24, 25sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2726adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
28 lcfrlem38.ne . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2928adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
30 lcfrlem38.b . . 3 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
31 lcfrlem38.t . . 3 · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
32 lcfrlem38.s . . 3 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
33 eqid 2738 . . 3 (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
34 lcfrlem38.r . . 3 𝑅 = (Base‘𝑆)
35 lcfrlem38.j . . 3 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
36 lcfrlem38.i . . . 4 (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
3736adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → 𝐼 ∈ 𝐵)
38 simpr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆))
39 lcfrlem38.n . . . 4 (𝜑 → 𝐼 ≠ 0 )
4039adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → 𝐼 ≠ 0 )
4115, 13eleqtrdi 2849 . . . 4 (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝐷))
4241adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝐷))
43 lcfrlem38.gs . . . . 5 (𝜑 → 𝐺 ⊆ 𝐶)
44 lcfrlem38.c . . . . 5 𝐶 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
4543, 44sseqtrdi 3971 . . . 4 (𝜑 → 𝐺 ⊆ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)})
4645adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → 𝐺 ⊆ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)})
4716adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → 𝑋 ∈ 𝐸)
4822adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → 𝑌 ∈ 𝐸)
491, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 21, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 11, 12, 38, 40, 42, 46, 14, 47, 48lcfrlem27 39583 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) = (0g‘𝑆)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
509adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
5120adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5226adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5328adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
5436adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → 𝐼 ∈ 𝐵)
55 simpr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆))
56 eqid 2738 . . 3 (invr‘𝑆) = (invr‘𝑆)
57 eqid 2738 . . 3 (-g‘𝐷) = (-g‘𝐷)
58 eqid 2738 . . 3 ((𝐽‘𝑋)(-g‘𝐷)((((invr‘𝑆)‘((𝐽‘𝑌)‘𝐼))(.r‘𝑆)((𝐽‘𝑋)‘𝐼))( ·𝑠 ‘𝐷)(𝐽‘𝑌))) = ((𝐽‘𝑋)(-g‘𝐷)((((invr‘𝑆)‘((𝐽‘𝑌)‘𝐼))(.r‘𝑆)((𝐽‘𝑋)‘𝐼))( ·𝑠 ‘𝐷)(𝐽‘𝑌)))
5941adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝐷))
6045adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → 𝐺 ⊆ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)})
6116adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → 𝑋 ∈ 𝐸)
6222adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → 𝑌 ∈ 𝐸)
631, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 50, 51, 52, 53, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 54, 11, 12, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 14, 61, 62lcfrlem37 39593 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) ≠ (0g‘𝑆)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
6449, 63pm2.61dane 3032 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065  {crab 3068   ∖ cdif 3884   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  {csn 4561  {cpr 4563  ∪ ciun 4924   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  ℩crio 7231  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +gcplusg 16962  .rcmulr 16963  Scalarcsca 16965   ·𝑠 cvsca 16966  0gc0g 17150  -gcsg 18579  invrcinvr 19913  LSubSpclss 20193  LSpanclspn 20233  LSAtomsclsa 36988  LFnlclfn 37071  LKerclk 37099  LDualcld 37137  HLchlt 37364  LHypclh 37998  DVecHcdvh 39092  ocHcoch 39361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-riotaBAD 36967
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-undef 8089  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-0g 17152  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-oppg 18950  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365  df-lsatoms 36990  df-lshyp 36991  df-lcv 37033  df-lfl 37072  df-lkr 37100  df-ldual 37138  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173  df-tgrp 38757  df-tendo 38769  df-edring 38771  df-dveca 39017  df-disoa 39043  df-dvech 39093  df-dib 39153  df-dic 39187  df-dih 39243  df-doch 39362  df-djh 39409
This theorem is referenced by:  lcfrlem39  39595
  Copyright terms: Public domain W3C validator