Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lclkrs2 38835
 Description: The set of functionals with closed kernels and majorizing the orthocomplement of a given subspace 𝑄 is a subspace of the dual space containing functionals with closed kernels. Note that 𝑅 is the value given by mapdval 38923. (Contributed by NM, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrs2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrs2.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrs2.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrs2.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
lclkrs2.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrs2.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrs2.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrs2.t 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
lclkrs2.c 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
lclkrs2.r 𝑅 = {𝑔𝐹 ∣ (( ‘( ‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔) ∧ ( ‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑄)}
lclkrs2.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lclkrs2.q (𝜑𝑄𝑆)
Assertion
Ref Expression
lclkrs2 (𝜑 → (𝑅𝑇𝑅𝐶))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑔   𝑓,𝑔,𝐹   𝑓,𝐿,𝑔   ,𝑓,𝑔   𝑄,𝑔   𝑈,𝑔
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔)   𝐶(𝑓,𝑔)   𝐷(𝑓)   𝑄(𝑓)   𝑅(𝑓,𝑔)   𝑆(𝑓,𝑔)   𝑇(𝑓,𝑔)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐾(𝑓,𝑔)   𝑊(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem lclkrs2
StepHypRef Expression
1 lclkrs2.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lclkrs2.o . . 3 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 lclkrs2.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 lclkrs2.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
5 lclkrs2.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6 lclkrs2.l . . 3 𝐿 = (LKer‘𝑈)
7 lclkrs2.d . . 3 𝐷 = (LDual‘𝑈)
8 lclkrs2.t . . 3 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
9 lclkrs2.r . . 3 𝑅 = {𝑔𝐹 ∣ (( ‘( ‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔) ∧ ( ‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑄)}
10 lclkrs2.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
11 lclkrs2.q . . 3 (𝜑𝑄𝑆)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11lclkrs 38834 . 2 (𝜑𝑅𝑇)
13 simpl 486 . . . . 5 ((( ‘( ‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔) ∧ ( ‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑄) → ( ‘( ‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔))
1413a1i 11 . . . 4 (𝑔𝐹 → ((( ‘( ‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔) ∧ ( ‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑄) → ( ‘( ‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)))
1514ss2rabi 4007 . . 3 {𝑔𝐹 ∣ (( ‘( ‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔) ∧ ( ‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑄)} ⊆ {𝑔𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
16 lclkrs2.c . . . 4 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
17 fveq2 6649 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑔 → (𝐿𝑓) = (𝐿𝑔))
1817fveq2d 6653 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑔 → ( ‘(𝐿𝑓)) = ( ‘(𝐿𝑔)))
1918fveq2d 6653 . . . . . 6 (𝑓 = 𝑔 → ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = ( ‘( ‘(𝐿𝑔))))
2019, 17eqeq12d 2817 . . . . 5 (𝑓 = 𝑔 → (( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ↔ ( ‘( ‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)))
2120cbvrabv 3442 . . . 4 {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)} = {𝑔𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
2216, 21eqtri 2824 . . 3 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
2315, 9, 223sstr4i 3961 . 2 𝑅𝐶
2412, 23jctir 524 1 (𝜑 → (𝑅𝑇𝑅𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  {crab 3113   ⊆ wss 3884  ‘cfv 6328  LSubSpclss 19700  LFnlclfn 36352  LKerclk 36380  LDualcld 36418  HLchlt 36645  LHypclh 37279  DVecHcdvh 38373  ocHcoch 38642 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-riotaBAD 36248 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-undef 7926  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-0g 16711  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-proset 17534  df-poset 17552  df-plt 17564  df-lub 17580  df-glb 17581  df-join 17582  df-meet 17583  df-p0 17645  df-p1 17646  df-lat 17652  df-clat 17714  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-subg 18272  df-cntz 18443  df-oppg 18470  df-lsm 18757  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-dvr 19433  df-drng 19501  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-lsp 19741  df-lvec 19872  df-lsatoms 36271  df-lshyp 36272  df-lcv 36314  df-lfl 36353  df-lkr 36381  df-ldual 36419  df-oposet 36471  df-ol 36473  df-oml 36474  df-covers 36561  df-ats 36562  df-atl 36593  df-cvlat 36617  df-hlat 36646  df-llines 36793  df-lplanes 36794  df-lvols 36795  df-lines 36796  df-psubsp 36798  df-pmap 36799  df-padd 37091  df-lhyp 37283  df-laut 37284  df-ldil 37399  df-ltrn 37400  df-trl 37454  df-tgrp 38038  df-tendo 38050  df-edring 38052  df-dveca 38298  df-disoa 38324  df-dvech 38374  df-dib 38434  df-dic 38468  df-dih 38524  df-doch 38643  df-djh 38690 This theorem is referenced by:  mapd1o  38943
 Copyright terms: Public domain W3C validator