Theorem lclkrs2 42169

Description: The set of functionals with closed kernels and majorizing the orthocomplement of a given subspace 𝑄 is a subspace of the dual space containing functionals with closed kernels. Note that 𝑅 is the value given by mapdval 42257. (Contributed by NM, 12-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrs2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrs2.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrs2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrs2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
lclkrs2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrs2.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrs2.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrs2.t	⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
lclkrs2.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lclkrs2.r	⊢ 𝑅 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑄)}
lclkrs2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrs2.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lclkrs2	⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ⊆ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑔   𝑓,𝑔,𝐹   𝑓,𝐿,𝑔   ⊥ ,𝑓,𝑔   𝑄,𝑔   𝑈,𝑔

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔)   𝐶(𝑓,𝑔)   𝐷(𝑓)   𝑄(𝑓)   𝑅(𝑓,𝑔)   𝑆(𝑓,𝑔)   𝑇(𝑓,𝑔)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐾(𝑓,𝑔)   𝑊(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem lclkrs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrs2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lclkrs2.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lclkrs2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		lclkrs2.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
5		lclkrs2.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6		lclkrs2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
7		lclkrs2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
8		lclkrs2.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
9		lclkrs2.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑄)}
10		lclkrs2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		lclkrs2.q	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	lclkrs 42168	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑇)
13		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑄) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔))
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐹 → ((( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑄) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)))
15	14	ss2rabi 4031	. . 3 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑄)} ⊆ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
16		lclkrs2.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
17		fveq2 6869	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝐿‘𝑓) = (𝐿‘𝑔))
18	17	fveq2d 6873	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) = ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)))
19	18	fveq2d 6873	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))))
20	19, 17	eqeq12d 2780	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)))
21	20	cbvrabv 3426	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)} = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
22	16, 21	eqtri 2787	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
23	15, 9, 22	3sstr4i 3989	. 2 ⊢ 𝑅 ⊆ 𝐶
24	12, 23	jctir 528	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ⊆ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  {crab 3416   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6523  LSubSpclss 21000  LFnlclfn 39686  LKerclk 39714  LDualcld 39752  HLchlt 39979  LHypclh 40613  DVecHcdvh 41707  ocHcoch 41976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-riotaBAD 39582

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-undef 8255  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-0g 17472  df-mre 17616  df-mrc 17617  df-acs 17619  df-proset 18328  df-poset 18347  df-plt 18362  df-lub 18378  df-glb 18379  df-join 18380  df-meet 18381  df-p0 18457  df-p1 18458  df-lat 18466  df-clat 18533  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-submnd 18820  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-sbg 18982  df-subg 19167  df-cntz 19359  df-oppg 19388  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-ring 20287  df-oppr 20388  df-dvdsr 20408  df-unit 20409  df-invr 20439  df-dvr 20452  df-nzr 20565  df-rlreg 20746  df-domn 20747  df-drng 20783  df-lmod 20931  df-lss 21001  df-lsp 21041  df-lvec 21172  df-lsatoms 39605  df-lshyp 39606  df-lcv 39648  df-lfl 39687  df-lkr 39715  df-ldual 39753  df-oposet 39805  df-ol 39807  df-oml 39808  df-covers 39895  df-ats 39896  df-atl 39927  df-cvlat 39951  df-hlat 39980  df-llines 40127  df-lplanes 40128  df-lvols 40129  df-lines 40130  df-psubsp 40132  df-pmap 40133  df-padd 40425  df-lhyp 40617  df-laut 40618  df-ldil 40733  df-ltrn 40734  df-trl 40788  df-tgrp 41372  df-tendo 41384  df-edring 41386  df-dveca 41632  df-disoa 41658  df-dvech 41708  df-dib 41768  df-dic 41802  df-dih 41858  df-doch 41977  df-djh 42024

This theorem is referenced by:  mapd1o  42277