Theorem lclkrs2 41997

Description: The set of functionals with closed kernels and majorizing the orthocomplement of a given subspace 𝑄 is a subspace of the dual space containing functionals with closed kernels. Note that 𝑅 is the value given by mapdval 42085. (Contributed by NM, 12-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrs2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrs2.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrs2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrs2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
lclkrs2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrs2.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrs2.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrs2.t	⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
lclkrs2.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lclkrs2.r	⊢ 𝑅 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑄)}
lclkrs2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrs2.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lclkrs2	⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ⊆ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑔   𝑓,𝑔,𝐹   𝑓,𝐿,𝑔   ⊥ ,𝑓,𝑔   𝑄,𝑔   𝑈,𝑔

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔)   𝐶(𝑓,𝑔)   𝐷(𝑓)   𝑄(𝑓)   𝑅(𝑓,𝑔)   𝑆(𝑓,𝑔)   𝑇(𝑓,𝑔)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐾(𝑓,𝑔)   𝑊(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem lclkrs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrs2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lclkrs2.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lclkrs2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		lclkrs2.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
5		lclkrs2.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6		lclkrs2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
7		lclkrs2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
8		lclkrs2.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
9		lclkrs2.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑄)}
10		lclkrs2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		lclkrs2.q	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	lclkrs 41996	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑇)
13		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑄) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔))
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐹 → ((( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑄) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)))
15	14	ss2rabi 4017	. . 3 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑄)} ⊆ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
16		lclkrs2.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
17		fveq2 6832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝐿‘𝑓) = (𝐿‘𝑔))
18	17	fveq2d 6836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) = ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)))
19	18	fveq2d 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))))
20	19, 17	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)))
21	20	cbvrabv 3400	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)} = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
22	16, 21	eqtri 2760	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
23	15, 9, 22	3sstr4i 3974	. 2 ⊢ 𝑅 ⊆ 𝐶
24	12, 23	jctir 520	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ⊆ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6490  LSubSpclss 20915  LFnlclfn 39514  LKerclk 39542  LDualcld 39580  HLchlt 39807  LHypclh 40441  DVecHcdvh 41535  ocHcoch 41804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-riotaBAD 39410

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8167  df-undef 8214  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-0g 17393  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-proset 18249  df-poset 18268  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18387  df-clat 18454  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19088  df-cntz 19281  df-oppg 19310  df-lsm 19600  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-oppr 20306  df-dvdsr 20326  df-unit 20327  df-invr 20357  df-dvr 20370  df-nzr 20479  df-rlreg 20660  df-domn 20661  df-drng 20697  df-lmod 20846  df-lss 20916  df-lsp 20956  df-lvec 21088  df-lsatoms 39433  df-lshyp 39434  df-lcv 39476  df-lfl 39515  df-lkr 39543  df-ldual 39581  df-oposet 39633  df-ol 39635  df-oml 39636  df-covers 39723  df-ats 39724  df-atl 39755  df-cvlat 39779  df-hlat 39808  df-llines 39955  df-lplanes 39956  df-lvols 39957  df-lines 39958  df-psubsp 39960  df-pmap 39961  df-padd 40253  df-lhyp 40445  df-laut 40446  df-ldil 40561  df-ltrn 40562  df-trl 40616  df-tgrp 41200  df-tendo 41212  df-edring 41214  df-dveca 41460  df-disoa 41486  df-dvech 41536  df-dib 41596  df-dic 41630  df-dih 41686  df-doch 41805  df-djh 41852

This theorem is referenced by:  mapd1o  42105