Theorem lclkrs2 42047

Description: The set of functionals with closed kernels and majorizing the orthocomplement of a given subspace 𝑄 is a subspace of the dual space containing functionals with closed kernels. Note that 𝑅 is the value given by mapdval 42135. (Contributed by NM, 12-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrs2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrs2.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrs2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrs2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
lclkrs2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrs2.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrs2.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrs2.t	⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
lclkrs2.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lclkrs2.r	⊢ 𝑅 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑄)}
lclkrs2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrs2.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lclkrs2	⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ⊆ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑔   𝑓,𝑔,𝐹   𝑓,𝐿,𝑔   ⊥ ,𝑓,𝑔   𝑄,𝑔   𝑈,𝑔

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔)   𝐶(𝑓,𝑔)   𝐷(𝑓)   𝑄(𝑓)   𝑅(𝑓,𝑔)   𝑆(𝑓,𝑔)   𝑇(𝑓,𝑔)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐾(𝑓,𝑔)   𝑊(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem lclkrs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrs2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lclkrs2.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lclkrs2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		lclkrs2.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
5		lclkrs2.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6		lclkrs2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
7		lclkrs2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
8		lclkrs2.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
9		lclkrs2.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑄)}
10		lclkrs2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		lclkrs2.q	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	lclkrs 42046	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑇)
13		simpl 484	. . . . 5 ⊢ ((( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑄) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔))
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐹 → ((( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑄) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)))
15	14	ss2rabi 4010	. . 3 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑄)} ⊆ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
16		lclkrs2.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
17		fveq2 6831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝐿‘𝑓) = (𝐿‘𝑔))
18	17	fveq2d 6835	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) = ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)))
19	18	fveq2d 6835	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))))
20	19, 17	eqeq12d 2757	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)))
21	20	cbvrabv 3403	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)} = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
22	16, 21	eqtri 2764	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
23	15, 9, 22	3sstr4i 3968	. 2 ⊢ 𝑅 ⊆ 𝐶
24	12, 23	jctir 526	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ⊆ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {crab 3393   ⊆ wss 3885  ‘cfv 6489  LSubSpclss 20925  LFnlclfn 39564  LKerclk 39592  LDualcld 39630  HLchlt 39857  LHypclh 40491  DVecHcdvh 41585  ocHcoch 41854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-riotaBAD 39460

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-undef 8217  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-0g 17399  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-p1 18385  df-lat 18393  df-clat 18460  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19094  df-cntz 19287  df-oppg 19316  df-lsm 19606  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-oppr 20312  df-dvdsr 20332  df-unit 20333  df-invr 20363  df-dvr 20376  df-nzr 20489  df-rlreg 20670  df-domn 20671  df-drng 20707  df-lmod 20856  df-lss 20926  df-lsp 20966  df-lvec 21097  df-lsatoms 39483  df-lshyp 39484  df-lcv 39526  df-lfl 39565  df-lkr 39593  df-ldual 39631  df-oposet 39683  df-ol 39685  df-oml 39686  df-covers 39773  df-ats 39774  df-atl 39805  df-cvlat 39829  df-hlat 39858  df-llines 40005  df-lplanes 40006  df-lvols 40007  df-lines 40008  df-psubsp 40010  df-pmap 40011  df-padd 40303  df-lhyp 40495  df-laut 40496  df-ldil 40611  df-ltrn 40612  df-trl 40666  df-tgrp 41250  df-tendo 41262  df-edring 41264  df-dveca 41510  df-disoa 41536  df-dvech 41586  df-dib 41646  df-dic 41680  df-dih 41736  df-doch 41855  df-djh 41902

This theorem is referenced by:  mapd1o  42155