Theorem lclkrs2 41945

Description: The set of functionals with closed kernels and majorizing the orthocomplement of a given subspace 𝑄 is a subspace of the dual space containing functionals with closed kernels. Note that 𝑅 is the value given by mapdval 42033. (Contributed by NM, 12-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrs2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrs2.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrs2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrs2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
lclkrs2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrs2.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrs2.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrs2.t	⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
lclkrs2.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lclkrs2.r	⊢ 𝑅 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑄)}
lclkrs2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrs2.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lclkrs2	⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ⊆ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑔   𝑓,𝑔,𝐹   𝑓,𝐿,𝑔   ⊥ ,𝑓,𝑔   𝑄,𝑔   𝑈,𝑔

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔)   𝐶(𝑓,𝑔)   𝐷(𝑓)   𝑄(𝑓)   𝑅(𝑓,𝑔)   𝑆(𝑓,𝑔)   𝑇(𝑓,𝑔)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐾(𝑓,𝑔)   𝑊(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem lclkrs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrs2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lclkrs2.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lclkrs2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		lclkrs2.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
5		lclkrs2.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6		lclkrs2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
7		lclkrs2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
8		lclkrs2.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
9		lclkrs2.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑄)}
10		lclkrs2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		lclkrs2.q	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	lclkrs 41944	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑇)
13		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑄) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔))
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐹 → ((( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑄) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)))
15	14	ss2rabi 4030	. . 3 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔) ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑄)} ⊆ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
16		lclkrs2.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
17		fveq2 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝐿‘𝑓) = (𝐿‘𝑔))
18	17	fveq2d 6848	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) = ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)))
19	18	fveq2d 6848	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))))
20	19, 17	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)))
21	20	cbvrabv 3411	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)} = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
22	16, 21	eqtri 2760	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
23	15, 9, 22	3sstr4i 3987	. 2 ⊢ 𝑅 ⊆ 𝐶
24	12, 23	jctir 520	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ⊆ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6502  LSubSpclss 20899  LFnlclfn 39462  LKerclk 39490  LDualcld 39528  HLchlt 39755  LHypclh 40389  DVecHcdvh 41483  ocHcoch 41752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-riotaBAD 39358

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-tpos 8180  df-undef 8227  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-0g 17375  df-mre 17519  df-mrc 17520  df-acs 17522  df-proset 18231  df-poset 18250  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-p1 18361  df-lat 18369  df-clat 18436  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-submnd 18723  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-sbg 18885  df-subg 19070  df-cntz 19263  df-oppg 19292  df-lsm 19582  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20093  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-oppr 20290  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-dvr 20354  df-nzr 20463  df-rlreg 20644  df-domn 20645  df-drng 20681  df-lmod 20830  df-lss 20900  df-lsp 20940  df-lvec 21072  df-lsatoms 39381  df-lshyp 39382  df-lcv 39424  df-lfl 39463  df-lkr 39491  df-ldual 39529  df-oposet 39581  df-ol 39583  df-oml 39584  df-covers 39671  df-ats 39672  df-atl 39703  df-cvlat 39727  df-hlat 39756  df-llines 39903  df-lplanes 39904  df-lvols 39905  df-lines 39906  df-psubsp 39908  df-pmap 39909  df-padd 40201  df-lhyp 40393  df-laut 40394  df-ldil 40509  df-ltrn 40510  df-trl 40564  df-tgrp 41148  df-tendo 41160  df-edring 41162  df-dveca 41408  df-disoa 41434  df-dvech 41484  df-dib 41544  df-dic 41578  df-dih 41634  df-doch 41753  df-djh 41800

This theorem is referenced by:  mapd1o  42053