Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh8 39414
Description: Part (8) in [Baer] p. 48. Given a reference vector 𝑋, the value of function 𝐼 at a vector 𝑇 is independent of the choice of auxiliary vectors 𝑌 and 𝑍. Unlike Baer's, our version does not require 𝑋, 𝑌, and 𝑍 to be independent, and also is defined for all 𝑌 and 𝑍 that are not colinear with 𝑋 or 𝑇. We do this to make the definition of Baer's sigma function more straightforward. (This part eliminates 𝑇0.) (Contributed by NM, 13-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s = (-g𝑈)
mapdh8a.o 0 = (0g𝑈)
mapdh8a.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh8a.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh8a.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh8a.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdh8h.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh8h.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh8i.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8i.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8i.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8i.xy (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdh8i.xz (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh8i.yt (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8i.zt (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8.t (𝜑𝑇𝑉)
Assertion
Ref Expression
mapdh8 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩))
Distinct variable groups:   𝑥,,   0 ,,𝑥   𝐶,   𝐷,,𝑥   ,𝐹,𝑥   ,𝐼   ,𝐽,𝑥   ,𝑀,𝑥   ,𝑁,𝑥   𝜑,   𝑅,,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,,𝑥   𝑈,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   ,𝑍,𝑥   𝑥,𝐼   ,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄()   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,)   𝐾(𝑥,)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,)

Proof of Theorem mapdh8
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.q . . . . . 6 𝑄 = (0g𝐶)
2 mapdh8a.i . . . . . 6 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
3 mapdh8a.o . . . . . 6 0 = (0g𝑈)
4 mapdh8i.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5 fvexd 6683 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ V)
61, 2, 3, 4, 5mapdhval0 39351 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 0 ⟩) = 𝑄)
7 mapdh8i.z . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
8 fvexd 6683 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ V)
91, 2, 3, 7, 8mapdhval0 39351 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 0 ⟩) = 𝑄)
106, 9eqtr4d 2776 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 0 ⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 0 ⟩))
1110adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑇 = 0 ) → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 0 ⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 0 ⟩))
12 oteq3 4769 . . . . 5 (𝑇 = 0 → ⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 0 ⟩)
1312fveq2d 6672 . . . 4 (𝑇 = 0 → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 0 ⟩))
1413adantl 485 . . 3 ((𝜑𝑇 = 0 ) → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 0 ⟩))
15 oteq3 4769 . . . . 5 (𝑇 = 0 → ⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 0 ⟩)
1615fveq2d 6672 . . . 4 (𝑇 = 0 → (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 0 ⟩))
1716adantl 485 . . 3 ((𝜑𝑇 = 0 ) → (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 0 ⟩))
1811, 14, 173eqtr4d 2783 . 2 ((𝜑𝑇 = 0 ) → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩))
19 mapdh8a.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
20 mapdh8a.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
21 mapdh8a.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
22 mapdh8a.s . . 3 = (-g𝑈)
23 mapdh8a.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
24 mapdh8a.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
25 mapdh8a.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐶)
26 mapdh8a.r . . 3 𝑅 = (-g𝐶)
27 mapdh8a.j . . 3 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
28 mapdh8a.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
29 mapdh8a.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3029adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
31 mapdh8h.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐷)
3231adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → 𝐹𝐷)
33 mapdh8h.mn . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
3433adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
35 mapdh8i.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3635adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
374adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
387adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
39 mapdh8i.xy . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
4039adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
41 mapdh8i.xz . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
4241adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
43 mapdh8i.yt . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
4443adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
45 mapdh8i.zt . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
4645adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
47 mapdh8.t . . . . 5 (𝜑𝑇𝑉)
4847anim1i 618 . . . 4 ((𝜑𝑇0 ) → (𝑇𝑉𝑇0 ))
49 eldifsn 4672 . . . 4 (𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑇𝑉𝑇0 ))
5048, 49sylibr 237 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5119, 20, 21, 22, 3, 23, 24, 25, 26, 1, 27, 28, 2, 30, 32, 34, 36, 37, 38, 40, 42, 44, 46, 50mapdh8j 39413 . 2 ((𝜑𝑇0 ) → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩))
5218, 51pm2.61dane 3021 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  Vcvv 3397  cdif 3838  ifcif 4411  {csn 4513  cotp 4521  cmpt 5107  cfv 6333  crio 7120  (class class class)co 7164  1st c1st 7705  2nd c2nd 7706  Basecbs 16579  0gc0g 16809  -gcsg 18214  LSpanclspn 19855  HLchlt 36976  LHypclh 37610  DVecHcdvh 38704  LCDualclcd 39212  mapdcmpd 39250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-riotaBAD 36579
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-ot 4522  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-tpos 7914  df-undef 7961  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-map 8432  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-fz 12975  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-0g 16811  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-proset 17647  df-poset 17665  df-plt 17677  df-lub 17693  df-glb 17694  df-join 17695  df-meet 17696  df-p0 17758  df-p1 17759  df-lat 17765  df-clat 17827  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-submnd 18066  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-sbg 18217  df-subg 18387  df-cntz 18558  df-oppg 18585  df-lsm 18872  df-cmn 19019  df-abl 19020  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-ring 19411  df-oppr 19488  df-dvdsr 19506  df-unit 19507  df-invr 19537  df-dvr 19548  df-drng 19616  df-lmod 19748  df-lss 19816  df-lsp 19856  df-lvec 19987  df-lsatoms 36602  df-lshyp 36603  df-lcv 36645  df-lfl 36684  df-lkr 36712  df-ldual 36750  df-oposet 36802  df-ol 36804  df-oml 36805  df-covers 36892  df-ats 36893  df-atl 36924  df-cvlat 36948  df-hlat 36977  df-llines 37124  df-lplanes 37125  df-lvols 37126  df-lines 37127  df-psubsp 37129  df-pmap 37130  df-padd 37422  df-lhyp 37614  df-laut 37615  df-ldil 37730  df-ltrn 37731  df-trl 37785  df-tgrp 38369  df-tendo 38381  df-edring 38383  df-dveca 38629  df-disoa 38655  df-dvech 38705  df-dib 38765  df-dic 38799  df-dih 38855  df-doch 38974  df-djh 39021  df-lcdual 39213  df-mapd 39251
This theorem is referenced by:  mapdh9a  39415  mapdh9aOLDN  39416
  Copyright terms: Public domain W3C validator