Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mapdh8 42991
Description: Part (8) in [Baer] p. 48. Given a reference vector 𝑋, the value of function 𝐼 at a vector 𝑇 is independent of the choice of auxiliary vectors 𝑌 and 𝑍. Unlike Baer's, our version does not require 𝑋, 𝑌, and 𝑍 to be independent, and also is defined for all 𝑌 and 𝑍 that are not colinear with 𝑋 or 𝑇. We do this to make the definition of Baer's sigma function more straightforward. (This part eliminates 𝑇 ≠ 0.) (Contributed by NM, 13-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s − = (-g‘𝑈)
mapdh8a.o 0 = (0g‘𝑈)
mapdh8a.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh8a.q 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh8a.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh8a.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdh8h.f (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh8h.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh8i.x (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8i.y (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8i.z (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8i.xy (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdh8i.xz (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh8i.yt (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8i.zt (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8.t (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
mapdh8 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩))
Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, −   0 ,ℎ,𝑥   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ,𝑥   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝐼   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥   𝜑,ℎ   𝑅,ℎ,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,ℎ,𝑥   𝑈,ℎ   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   ℎ,𝑍,𝑥   𝑥,𝐼   ℎ,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥, ℎ)   𝐾(𝑥, ℎ)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥, ℎ)
Proof of Theorem mapdh8
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.q . . . . . 6 𝑄 = (0g‘𝐶)
2 mapdh8a.i . . . . . 6 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
3 mapdh8a.o . . . . . 6 0 = (0g‘𝑈)
4 mapdh8i.y . . . . . 6 (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5 fvexd 6911 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ V)
61, 2, 3, 4, 5mapdhval0 42928 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 0 ⟩) = 𝑄)
7 mapdh8i.z . . . . . 6 (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
8 fvexd 6911 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ V)
91, 2, 3, 7, 8mapdhval0 42928 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 0 ⟩) = 𝑄)
106, 9eqtr4d 2801 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 0 ⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 0 ⟩))
1110adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ 𝑇 = 0 ) → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 0 ⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 0 ⟩))
12 oteq3 4865 . . . . 5 (𝑇 = 0 → ⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 0 ⟩)
1312fveq2d 6900 . . . 4 (𝑇 = 0 → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 0 ⟩))
1413adantl 487 . . 3 ((𝜑 ∧ 𝑇 = 0 ) → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 0 ⟩))
15 oteq3 4865 . . . . 5 (𝑇 = 0 → ⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 0 ⟩)
1615fveq2d 6900 . . . 4 (𝑇 = 0 → (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 0 ⟩))
1716adantl 487 . . 3 ((𝜑 ∧ 𝑇 = 0 ) → (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 0 ⟩))
1811, 14, 173eqtr4d 2808 . 2 ((𝜑 ∧ 𝑇 = 0 ) → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩))
19 mapdh8a.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
20 mapdh8a.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
21 mapdh8a.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
22 mapdh8a.s . . 3 − = (-g‘𝑈)
23 mapdh8a.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
24 mapdh8a.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
25 mapdh8a.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐶)
26 mapdh8a.r . . 3 𝑅 = (-g‘𝐶)
27 mapdh8a.j . . 3 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
28 mapdh8a.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
29 mapdh8a.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3029adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
31 mapdh8h.f . . . 4 (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
3231adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ 0 ) → 𝐹 ∈ 𝐷)
33 mapdh8h.mn . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
3433adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ 0 ) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
35 mapdh8i.x . . . 4 (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3635adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
374adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ 0 ) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
387adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ 0 ) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
39 mapdh8i.xy . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
4039adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
41 mapdh8i.xz . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
4241adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
43 mapdh8i.yt . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
4443adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
45 mapdh8i.zt . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
4645adantr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
47 mapdh8.t . . . . 5 (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
4847anim1i 627 . . . 4 ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ 0 ) → (𝑇 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ≠ 0 ))
49 eldifsn 4748 . . . 4 (𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑇 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ≠ 0 ))
5048, 49sylibr 237 . . 3 ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ 0 ) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5119, 20, 21, 22, 3, 23, 24, 25, 26, 1, 27, 28, 2, 30, 32, 34, 36, 37, 38, 40, 42, 44, 46, 50mapdh8j 42990 . 2 ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ 0 ) → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩))
5218, 51pm2.61dane 3046 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩))
Colors of variables:    wff setvar class
This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  Vcvv 3454   ∖ cdif 4048  ifcif 4485  {csn 4588  ⟨cotp 4861   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6547  ℩crio 7386  (class class class)co 7430  1st c1st 8009  2nd c2nd 8010  Basecbs 17402  0gc0g 17625  -gcsg 19161  LSpanclspn 21261  HLchlt 40553  LHypclh 41187  DVecHcdvh 42281  LCDualclcd 42789  mapdcmpd 42827
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-riotaBAD 40156
This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7703  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-tpos 8257  df-undef 8304  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-0g 17627  df-mre 17771  df-mrc 17772  df-acs 17774  df-proset 18483  df-poset 18502  df-plt 18517  df-lub 18533  df-glb 18534  df-join 18535  df-meet 18536  df-p0 18612  df-p1 18613  df-lat 18621  df-clat 18688  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-submnd 18994  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-sbg 19164  df-subg 19348  df-cntz 19546  df-oppg 19575  df-lsm 19865  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-ring 20476  df-oppr 20582  df-dvdsr 20602  df-unit 20603  df-invr 20633  df-dvr 20646  df-nzr 20778  df-rlreg 20961  df-domn 20962  df-drng 20997  df-lmod 21152  df-lss 21222  df-lsp 21262  df-lvec 21393  df-lsatoms 40179  df-lshyp 40180  df-lcv 40222  df-lfl 40261  df-lkr 40289  df-ldual 40327  df-oposet 40379  df-ol 40381  df-oml 40382  df-covers 40469  df-ats 40470  df-atl 40501  df-cvlat 40525  df-hlat 40554  df-llines 40701  df-lplanes 40702  df-lvols 40703  df-lines 40704  df-psubsp 40706  df-pmap 40707  df-padd 40999  df-lhyp 41191  df-laut 41192  df-ldil 41307  df-ltrn 41308  df-trl 41362  df-tgrp 41946  df-tendo 41958  df-edring 41960  df-dveca 42206  df-disoa 42232  df-dvech 42282  df-dib 42342  df-dic 42376  df-dih 42432  df-doch 42551  df-djh 42598  df-lcdual 42790  df-mapd 42828
This theorem is used by:  mapdh9a  42992  mapdh9aOLDN  42993
  Copyright terms: Public domain W3C validator