Theorem mapdpglem16 42351

Description: Lemma for mapdpg 42370. Baer p. 45, line 7: "Likewise we see that z =/= 0." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpglem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpglem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem3.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpglem3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpglem3.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
mapdpglem.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z	⊢ 0 = (0g‘𝐴)
mapdpglem4.g4	⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
mapdpglem4.z4	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4	⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
mapdpglem12.yn	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem16	⊢ (𝜑 → 𝑧 ≠ (0g‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑡, −   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   ⊕ (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   − (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem16

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpglem.ne	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2		mapdpglem.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		mapdpglem.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdpglem.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		mapdpglem.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		mapdpglem.s	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑈)
7		mapdpglem.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8		mapdpglem.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
9		mapdpglem.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	9	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (0g‘𝐶)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		mapdpglem.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
12	11	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (0g‘𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
13		mapdpglem.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
14	13	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (0g‘𝐶)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
15		mapdpglem1.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
16		mapdpglem2.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
17		mapdpglem3.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
18		mapdpglem3.te	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
19	18	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (0g‘𝐶)) → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
20		mapdpglem3.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
21		mapdpglem3.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
22		mapdpglem3.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
23		mapdpglem3.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
24		mapdpglem3.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
25	24	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (0g‘𝐶)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
26		mapdpglem3.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
27	26	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (0g‘𝐶)) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
28		mapdpglem4.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
29	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (0g‘𝐶)) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
30		mapdpglem4.jt	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
31	30	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (0g‘𝐶)) → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
32		mapdpglem4.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
33		mapdpglem4.g4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
34	33	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (0g‘𝐶)) → 𝑔 ∈ 𝐵)
35		mapdpglem4.z4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
36	35	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (0g‘𝐶)) → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
37		mapdpglem4.t4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
38	37	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (0g‘𝐶)) → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
39		mapdpglem4.xn	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
40	39	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (0g‘𝐶)) → 𝑋 ≠ 𝑄)
41		mapdpglem12.yn	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
42	41	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (0g‘𝐶)) → 𝑌 ≠ 𝑄)
43		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (0g‘𝐶)) → 𝑧 = (0g‘𝐶))
44	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 43	mapdpglem15 42350	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = (0g‘𝐶)) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
45	44	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 = (0g‘𝐶) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
46	45	necon3d 2985	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) → 𝑧 ≠ (0g‘𝐶)))
47	1, 46	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ≠ (0g‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  {csn 4594  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269  Scalarcsca 17313   ·_𝑠 cvsca 17314  0_gc0g 17492  -_gcsg 19002  LSSumclsm 19704  LSpanclspn 21070  HLchlt 40014  LHypclh 40648  DVecHcdvh 41742  LCDualclcd 42250  mapdcmpd 42288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-riotaBAD 39617

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8222  df-undef 8269  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-0g 17494  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-proset 18350  df-poset 18369  df-plt 18384  df-lub 18400  df-glb 18401  df-join 18402  df-meet 18403  df-p0 18479  df-p1 18480  df-lat 18488  df-clat 18555  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-subg 19189  df-cntz 19387  df-oppg 19416  df-lsm 19706  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-oppr 20419  df-dvdsr 20439  df-unit 20440  df-invr 20470  df-dvr 20483  df-nzr 20596  df-rlreg 20779  df-domn 20780  df-drng 20815  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-lsp 21071  df-lvec 21202  df-lsatoms 39640  df-lshyp 39641  df-lcv 39683  df-lfl 39722  df-lkr 39750  df-ldual 39788  df-oposet 39840  df-ol 39842  df-oml 39843  df-covers 39930  df-ats 39931  df-atl 39962  df-cvlat 39986  df-hlat 40015  df-llines 40162  df-lplanes 40163  df-lvols 40164  df-lines 40165  df-psubsp 40167  df-pmap 40168  df-padd 40460  df-lhyp 40652  df-laut 40653  df-ldil 40768  df-ltrn 40769  df-trl 40823  df-tgrp 41407  df-tendo 41419  df-edring 41421  df-dveca 41667  df-disoa 41693  df-dvech 41743  df-dib 41803  df-dic 41837  df-dih 41893  df-doch 42012  df-djh 42059  df-lcdual 42251  df-mapd 42289

This theorem is referenced by:  mapdpglem18  42353