Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem16 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mapdpglem16 39701
Description: Lemma for mapdpg 39720. Baer p. 45, line 7: "Likewise we see that z =/= 0." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s − = (-g‘𝑈)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpglem.x (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p ⊕ = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpglem3.g (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpglem3.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q 𝑄 = (0g‘𝑈)
mapdpglem.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z 0 = (0g‘𝐴)
mapdpglem4.g4 (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
mapdpglem4.z4 (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4 (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
mapdpglem12.yn (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
Assertion
Ref Expression
mapdpglem16 (𝜑 → 𝑧 ≠ (0g‘𝐶))
Distinct variable groups:   𝑡, −   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   ⊕ (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   − (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)
Proof of Theorem mapdpglem16
StepHypRef Expression
1 mapdpglem.ne . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2 mapdpglem.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 mapdpglem.m . . . . 5 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdpglem.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 mapdpglem.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
6 mapdpglem.s . . . . 5 − = (-g‘𝑈)
7 mapdpglem.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8 mapdpglem.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
9 mapdpglem.k . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
109adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑧 = (0g‘𝐶)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11 mapdpglem.x . . . . . 6 (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
1211adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑧 = (0g‘𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
13 mapdpglem.y . . . . . 6 (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
1413adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑧 = (0g‘𝐶)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
15 mapdpglem1.p . . . . 5 ⊕ = (LSSum‘𝐶)
16 mapdpglem2.j . . . . 5 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
17 mapdpglem3.f . . . . 5 𝐹 = (Base‘𝐶)
18 mapdpglem3.te . . . . . 6 (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
1918adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑧 = (0g‘𝐶)) → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
20 mapdpglem3.a . . . . 5 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
21 mapdpglem3.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
22 mapdpglem3.t . . . . 5 · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
23 mapdpglem3.r . . . . 5 𝑅 = (-g‘𝐶)
24 mapdpglem3.g . . . . . 6 (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
2524adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑧 = (0g‘𝐶)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
26 mapdpglem3.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
2726adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑧 = (0g‘𝐶)) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
28 mapdpglem4.q . . . . 5 𝑄 = (0g‘𝑈)
291adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑧 = (0g‘𝐶)) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
30 mapdpglem4.jt . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
3130adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑧 = (0g‘𝐶)) → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
32 mapdpglem4.z . . . . 5 0 = (0g‘𝐴)
33 mapdpglem4.g4 . . . . . 6 (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
3433adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑧 = (0g‘𝐶)) → 𝑔 ∈ 𝐵)
35 mapdpglem4.z4 . . . . . 6 (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
3635adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑧 = (0g‘𝐶)) → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
37 mapdpglem4.t4 . . . . . 6 (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
3837adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑧 = (0g‘𝐶)) → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
39 mapdpglem4.xn . . . . . 6 (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
4039adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑧 = (0g‘𝐶)) → 𝑋 ≠ 𝑄)
41 mapdpglem12.yn . . . . . 6 (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
4241adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑧 = (0g‘𝐶)) → 𝑌 ≠ 𝑄)
43 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑧 = (0g‘𝐶)) → 𝑧 = (0g‘𝐶))
442, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 43mapdpglem15 39700 . . . 4 ((𝜑 ∧ 𝑧 = (0g‘𝐶)) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
4544ex 413 . . 3 (𝜑 → (𝑧 = (0g‘𝐶) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
4645necon3d 2964 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) → 𝑧 ≠ (0g‘𝐶)))
471, 46mpd 15 1 (𝜑 → 𝑧 ≠ (0g‘𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  {csn 4561  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965   ·𝑠 cvsca 16966  0gc0g 17150  -gcsg 18579  LSSumclsm 19239  LSpanclspn 20233  HLchlt 37364  LHypclh 37998  DVecHcdvh 39092  LCDualclcd 39600  mapdcmpd 39638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-riotaBAD 36967
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-undef 8089  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-0g 17152  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-oppg 18950  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365  df-lsatoms 36990  df-lshyp 36991  df-lcv 37033  df-lfl 37072  df-lkr 37100  df-ldual 37138  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173  df-tgrp 38757  df-tendo 38769  df-edring 38771  df-dveca 39017  df-disoa 39043  df-dvech 39093  df-dib 39153  df-dic 39187  df-dih 39243  df-doch 39362  df-djh 39409  df-lcdual 39601  df-mapd 39639
This theorem is referenced by:  mapdpglem18  39703
  Copyright terms: Public domain W3C validator