Theorem mapdrn 42148

Description: Range of the map defined by df-mapd 42124. (Contributed by NM, 12-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdrn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdrn.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdrn.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdrn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdrn.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdrn.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdrn.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
mapdrn.t	⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
mapdrn.c	⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
mapdrn.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
mapdrn	⊢ (𝜑 → ran 𝑀 = (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝐾   𝑔,𝐿   𝑔,𝑂   𝑈,𝑔   𝑔,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝐷(𝑔)   𝑇(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝑀(𝑔)

Proof of Theorem mapdrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdrn.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdrn.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdrn.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdrn.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2740	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
6		mapdrn.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7		mapdrn.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8		mapdrn.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
9		mapdrn.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
10		mapdrn.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
11		mapdrn.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	mapd1o 42147	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀:(LSubSp‘𝑈)–1-1-onto→(𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
13		f1ofo 6781	. 2 ⊢ (𝑀:(LSubSp‘𝑈)–1-1-onto→(𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → 𝑀:(LSubSp‘𝑈)–onto→(𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
14		forn 6749	. 2 ⊢ (𝑀:(LSubSp‘𝑈)–onto→(𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → ran 𝑀 = (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
15	12, 13, 14	3syl 18	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝑀 = (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3392   ∩ cin 3889  𝒫 cpw 4536  ran crn 5626  –onto→wfo 6490  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  LSubSpclss 20928  LFnlclfn 39556  LKerclk 39584  LDualcld 39622  HLchlt 39849  LHypclh 40483  DVecHcdvh 41577  ocHcoch 41846  mapdcmpd 42123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-riotaBAD 39452

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-tpos 8173  df-undef 8220  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-0g 17402  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-proset 18258  df-poset 18277  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-p1 18388  df-lat 18396  df-clat 18463  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-subg 19097  df-cntz 19290  df-oppg 19319  df-lsm 19609  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-dvr 20379  df-nzr 20492  df-rlreg 20673  df-domn 20674  df-drng 20710  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-lvec 21100  df-lsatoms 39475  df-lshyp 39476  df-lcv 39518  df-lfl 39557  df-lkr 39585  df-ldual 39623  df-oposet 39675  df-ol 39677  df-oml 39678  df-covers 39765  df-ats 39766  df-atl 39797  df-cvlat 39821  df-hlat 39850  df-llines 39997  df-lplanes 39998  df-lvols 39999  df-lines 40000  df-psubsp 40002  df-pmap 40003  df-padd 40295  df-lhyp 40487  df-laut 40488  df-ldil 40603  df-ltrn 40604  df-trl 40658  df-tgrp 41242  df-tendo 41254  df-edring 41256  df-dveca 41502  df-disoa 41528  df-dvech 41578  df-dib 41638  df-dic 41672  df-dih 41728  df-doch 41847  df-djh 41894  df-mapd 42124

This theorem is referenced by:  mapdunirnN  42149  mapdrn2  42150