Theorem mapdrn 38787

Description: Range of the map defined by df-mapd 38763. (Contributed by NM, 12-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdrn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdrn.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdrn.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdrn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdrn.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdrn.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdrn.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
mapdrn.t	⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
mapdrn.c	⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
mapdrn.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
mapdrn	⊢ (𝜑 → ran 𝑀 = (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝐾   𝑔,𝐿   𝑔,𝑂   𝑈,𝑔   𝑔,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝐷(𝑔)   𝑇(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝑀(𝑔)

Proof of Theorem mapdrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdrn.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdrn.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdrn.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdrn.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2823	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
6		mapdrn.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7		mapdrn.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8		mapdrn.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
9		mapdrn.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
10		mapdrn.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
11		mapdrn.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	mapd1o 38786	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀:(LSubSp‘𝑈)–1-1-onto→(𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
13		f1ofo 6624	. 2 ⊢ (𝑀:(LSubSp‘𝑈)–1-1-onto→(𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → 𝑀:(LSubSp‘𝑈)–onto→(𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
14		forn 6595	. 2 ⊢ (𝑀:(LSubSp‘𝑈)–onto→(𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → ran 𝑀 = (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
15	12, 13, 14	3syl 18	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝑀 = (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3144   ∩ cin 3937  𝒫 cpw 4541  ran crn 5558  –onto→wfo 6355  –1-1-onto→wf1o 6356  ‘cfv 6357  LSubSpclss 19705  LFnlclfn 36195  LKerclk 36223  LDualcld 36261  HLchlt 36488  LHypclh 37122  DVecHcdvh 38216  ocHcoch 38485  mapdcmpd 38762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-riotaBAD 36091

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-tpos 7894  df-undef 7941  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-0g 16717  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-proset 17540  df-poset 17558  df-plt 17570  df-lub 17586  df-glb 17587  df-join 17588  df-meet 17589  df-p0 17651  df-p1 17652  df-lat 17658  df-clat 17720  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-subg 18278  df-cntz 18449  df-oppg 18476  df-lsm 18763  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-oppr 19375  df-dvdsr 19393  df-unit 19394  df-invr 19424  df-dvr 19435  df-drng 19506  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-lsp 19746  df-lvec 19877  df-lsatoms 36114  df-lshyp 36115  df-lcv 36157  df-lfl 36196  df-lkr 36224  df-ldual 36262  df-oposet 36314  df-ol 36316  df-oml 36317  df-covers 36404  df-ats 36405  df-atl 36436  df-cvlat 36460  df-hlat 36489  df-llines 36636  df-lplanes 36637  df-lvols 36638  df-lines 36639  df-psubsp 36641  df-pmap 36642  df-padd 36934  df-lhyp 37126  df-laut 37127  df-ldil 37242  df-ltrn 37243  df-trl 37297  df-tgrp 37881  df-tendo 37893  df-edring 37895  df-dveca 38141  df-disoa 38167  df-dvech 38217  df-dib 38277  df-dic 38311  df-dih 38367  df-doch 38486  df-djh 38533  df-mapd 38763

This theorem is referenced by:  mapdunirnN  38788  mapdrn2  38789